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Departamento de Matemáticas
Asignatura: Cálculo Integral 2025 - 1
Laboratorio III
Competencias: RM2, C2, CM2, R2 y PA
Ruis Luis
Jeronimo Carreño
Pablo Guladron
Objetivo general
Analizar el comportamiento de la acidez volátil en vinos y la dinámica de mezclas en siste-
mas de solera mediante el estudio de sucesiones y series, aplicando modelos matemáticos para
predecir su evolución temporal y optimizar los procesos de producción y conservación.
Administrando un viñedo
La producción de vino es una actividad ancestral que combina tradición, ciencia y arte.
Desde el cultivo de la vid hasta el embotellado, el proceso requiere un control cuidadoso de
múltiples factores como la temperatura, el tiempo de fermentación, el almacenamiento y la
mezcla de los vinos a través de los años. La química y la microbiología juegan un papel fun-
damental, pero también lo hace la matemática, especialmente cuando se busca optimizar la
calidad del producto final a través del tiempo.
Recientemente, una reconocida bodega ha decidido innovar sus procesos mediante el uso de
modelos matemáticos que permitan anticipar y controlar fenómenos clave en la producción del
vino, como el aumento de la acidez volátil o la dinámica de mezclas mediante el sistema de
solera.
Para esta tarea, han sido seleccionados como administradores del viñedo. Su rol será
VIGILADA
MINEDUCACIÓN
analizar matemáticamente distintos aspectos del proceso de producción y almacenamiento, con
el fin de garantizar que el vino cumpla con los más altos estándares de calidad
(a) Considerar una solera que tiene cinco hileras k , numeradas k = 1, 2, 3, 4 y 5. En
1990 ( n = 0 ), la mitad de cada barril en la fila de arriba (fila 1) se llenó con el vino
nuevo. ¿Cuánto de este vino se extrajo de la solera en 1991? ¿En 1992? ¿En 1993?
…¿En 2005? ¿Durante qué año(s) se extrajo de la solera la mayor cantidad del vino
de 1990?
(b) De acuerdo con el apartado (a), sea a n
la cantidad de vino de 1990 que es extraído
de la solera en el año n. Calcular
∞
a n
n = 0
SOLUCION
a)
Para saber la acidez que va a tener el vino después de 8 años, vamos a hacer proporciones de la
forma:
x
En la anterior proporción tenemos que x es el 5% de 2/5, lo que es equivalente al 5% de 0.4g/L. Pero
ese porcentaje solo es para el final del primer año, dado eso formulamos la siguiente proporción para
saber cual es el 5% de acides que aumentara para cualquier año:
T
n − 1
a
n
Donde
a
n
es el año al que queremos encontrar el % de acedes extra que tendrá a final de es año y
T
n − 1
es el % total de acidez del año pasado. Por último, ya que encontramos el % de acides al final
del año, solo necesitaríamos encontrar la ecuación para la acides final de cada año.
Para lo anterior utilizaremos la formula encontrada para saber el % de acidez extra al final del año
para al final sumarlo con el total de acidez al inicio del año, nos quedaría:
T
n − 1
= a
n
T
n
= a
n
+ T
n − 1
T
n
T
n − 1
+ T
n − 1
T
n
21 ∗ T
n − 1
Encontramos una ecuación recurrente para encontrar el % de acides de cada año, y sabemos que:
T
0
el cual representa el inicio del primer año. Realizando la ecuación recurrente nos queda la
siguiente tabla hasta el año 8:
Si el vino no es tratado, la ecuación que modela la acides según el año indica que entre mayor sea el
n mayor va ser la acidez, por tanto, se podría alcanzar a superar el limite de acidez para mantener la
calidad del vino.
Para saber en que año n se alcanza ese límite, realizamos el siguiente procedimiento:
n
n
ln
(
)
= n ∗ln (
ln
(
)
ln (
= n
n =16.
Este resultado nos indica que a finales del año numero 16 el vino superaría el límite de acidez, ósea
el año 17 el vino ya no será aceptable, por tanto, el año máximo para dejar el vino sin tratamiento es
a inicios de 16 año.
a)
Segundo punto taller
Comprendiendo a profundidad el problema planteado, vemos que la ecuación:
f
n , k
n − 1
k − 1
n + 1
, k ≤ n
Esta ecuación nos da exclusivamente la cantidad de vino retirada po año(s), Pero el en enunciado 2.a
nos indican que la mitad de cada barril de la fila de arriba se llenó, por lo tanto y asumiendo que por
cada extracción baja la mitad superior, desde un inicio no extraería nada de dicho vino El modelo
matemático que describe la cantidad de vino de un año específico (por ejemplo, 1990) que es
extraído de la solera en el año n, en una solera de k.
Tenemos una solera con k=5 hileras de barriles. En 1990 (n=0), la mitad de cada barril en la fila
superior (fila 1) se llenó con vino nuevo. Queremos saber cuánto de este vino original de 1990 se
extrae en los años siguientes (1991, 1992, ..., 2005) y determinar en qué año se extrajo la mayor
cantidad de este vino.
f ( n , k )=
(
n − 1
k − 1
)
(
)
n + 1
, k ≤ n
Entonces, esta función representa la cantidad de vino de n años que se extrae de la solera con k
hileras cada año.
Podemos interpretar que el vino de 1990 es el vino original que se encuentra en la fila superior en
n=0 y buscamos cuanto se extrae en el año. Dado que el vino original solo puede ser extraído cuando
k≤n, y en este caso k=5, entonces el vino de 1990 comenzará a ser extraído a partir del año n=5, lo
que corresponde al año 1995.
an = f ( n , 5 )=
(
n − 1
)
(
)
n + 1
, n ≥ 5
Como se mencionó anteriormente desde el año1990 hasta 1994 no se presenta ninguna extracción
pero a partir de 1995 podemos decir que:
1995(n=5):
f ( 5 , 5 )=
(
)
(
)
6
1996(n=6):
f ( 6 , 5 )=
(
)
(
)
7
1997(n=7):
f ( 7 , 5 )=
(
)
(
)
8
1998(n=8):
f
(
)
(
)
9
1999(n=9):
f ( 9 , 5 )=
(
)
(
)
10
2000(n=10):
f ( 10 , 5 )=
(
)
(
)
11
2005(n=15):
f ( 10 , 5 )=
(
)
(
)
16
En resumidas cuentas en la tabla podemos evidencia la extracción correspondiente al año:
Año Cantidad extraída
a 5 0.
a 6 0.
a 7 0.
a 8 0.
a 9 0.
a 10 0.
a 15 0.01527.
