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LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Y SU INCORPORACIÓN EN EL AULA
UNA SÍNTESIS DE ALGUNAS PROPUESTAS
Roberto Vidal Cortés Universidad Alberto Hurtado. Chile. Mario Quintanilla Gatica Pontificia Universidad Católica de Chile. Resumen Un gran ausente en la Educación Matemática por muchos años ha sido su propia historia y cuando aparece, se vincula generalmente a la narración de anécdotas o biografías que no prestan mayor aporte a la construcción e conocimientos matemáticos. Rastreando en la Historia de la Matemática, se encuentra el “lado humano” de éstas, aparecen controversias y pugnas entre científicos, debates que significaron no sólo avances sino también retrocesos de teorías en desarrollo, estancamientos teóricos, pruebas refutadas después de varios años de aceptación, modificación, evolución y complementación de conceptos, y en particular emerge el sentido y contexto desde los que se originaron las problemáticas de diversas épocas e intereses que llevaron a los matemáticos a construir sus objetos, sus teorías, y también a fracasar con ciertas ideas. En este artículo, se presenta la importancia de incorporar la Historia de la Matemática en el aula de Matemáticas, mostrando las propuestas e ideas de algunos autores e investigadores que han difundido y trabajado en ello, además de dar cuenta de la importancia, las razones y necesidades que han originado su recuperación, que hoy se ve fortalecido por la formación de grupos de trabajo en esta área.
Abstract A major absentee in the Mathematics Education for many years has been its own history and when it appears, is usually linked to the narration of anecdotes or biographies that does not lend greater contribution to the construction and mathematical knowledge. Tracking the History of Mathematics, is the "human side" of these disputes and conflicts appear between scientific debates that meant not only progress but also setbacks in developing theories, deadlocks theoretical evidence refuted after several years of acceptance , Change, evolution and complementation of concepts, and in particular the meaning and context emerge from the problems that originated from different eras and interests that led to the mathematicians to build their objects, their theories, and also to fail with certain ideas. In this article we focus on the importance of incorporating the History of Mathematics in the classroom of Mathematics, showing the proposals and ideas of some authors and researchers who have known and worked on that, in addition to account for the importance, the reasons and needs that have resulted in their recovery, which today is strengthened by the formation of working groups in this area.
La historia de la matemática y su incorporación en el aula. Una síntesis de algunas propuestas
Introducción
Imaginemos por un momento que no tenemos historia, que pasamos por la vida sin dejar huella alguna. Lamentable sería si cada generación de seres humanos debiera de reconstruir lo ya hecho por otros en la más espléndida ignorancia. Sin embargo, esta situación descrita si tiene al menos un representante: la enseñanza de la Matemática. El que ésta ciencia se haya convertido para el hombre común en un inalcanzable, incomprensible y abstracto tema para él, se remite probablemente a un desencanto que es el mismo que tienen muchos niños y jóvenes de múltiples generaciones que han recibido una matemática escolar llena de definiciones, propiedades, operaciones y fórmulas en forma de islas de contenidos y sin historia.
Permítaseme mostrar un ejemplo concreto. Tan concreto como la propia experiencia de vida. Recuerdo que en primaria y secundaria, los profesores ponían énfasis en los cálculos, los algoritmos, el uso de recetas en lugar de propiedades o teoremas, tanto así que tuve un profesor que colocaba en el pizarrón “receta” para resolver algún ejercicio o uno que otro problema por cierto, “estereotipado”, de solución existente y única. Nunca se nos permitió conocer el origen de algún objeto matemático que estudiásemos y por tanto lo tragábamos como un conocimiento impuesto por alguna razón también desconocida, o que sólo se nos indicaba que tenía relación con el desarrollo del razonamiento lógico – matemático.
En el pre-grado, abundaban las demostraciones de teoremas, en una presentación axiomática y evidentemente a-histórica. Por dar un ejemplo, me llamó mucho la atención que teníamos que aprender de memoria las demostraciones, las mismas que los propios profesores copiaban de una carpeta en que llevaban la sesión preparada. Lo preocupante de aquello está en que nosotros que estudiábamos para profesor de matemática, tuviéramos ese modelo, en que no hay actividad matemática alguna, claro que a esas alturas, nadie se preguntaba por la metodología de clase del maestro que se tiene al frente, pues supone que así ha de ser la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
La historia de la matemática y su incorporación en el aula. Una síntesis de algunas propuestas
momento, su cambio conceptual en el tiempo, y comprender esto para utilizarlo como base orientadora de la planificación de clases.
La Historia de la Ciencia muestra distintas formas de estudiar un episodio en los sentidos descritos, tal como Toulmin en su obra “La comprensión Humana” de 1977, nos invita a comprender el cambio conceptual, por medio de un abordaje vertical (en relación al tiempo, mirar su evolución) u horizontal (en un tiempo determinado establecer sus conexiones con aspectos sociales, institucionales, etc).
La visión historiográfica a la cual adherimos es la diacrónica, en oposición a la presentista o anacrónica. Proponemos una incorporación de la Historia de la Matemática en que los docentes y alumnos se impliquen en ella, como si fueran parte de ella^1. Esto da sentido a la comprensión de los objetos matemáticos y de su construcción paulatina, acercando la Matemática a los estudiantes.
De la importancia de la recuperación de la Historia de la Matemática y su utilización.
Santaló (1994), describe la importancia de la Historia de la Matemática en el aula, para producir este anhelado acercamiento de algunos estudiantes que se verán atraídos por este enfoque, lo que puede ser propicio para no todos los contenidos según el nivel al que corresponden en los Programas de Matemáticas escolares:
“...Pero lo que si cabe y es recomendable, es aprovechar los temas que se presten para ello, para informar sobre la historia de su origen y los alicientes y dificultades con que se encontraron sus creadores.. La presentación histórica de muchos temas de Matemática, es un complemento a los mismos que seguramente interesará a algunos alumnos, a los cuales se podrá suministrar información complementaria para ayudar a satisfacer su interés natural y tal vez despertar vocaciones por la historia o la epistemología de las ciencias. La escuela debe abrir el máximo de ventanas al conocimiento, para que cada alumno dirija su atención hacia lo que más le atraiga”.
(^1) En realidad, son parte de una actividad matemática, entendiéndose que forman parte de propias historias de vida y por tanto, con significado para sus protagonistas.
Vidal, R.; Quintanilla, M.
Kazim (1980) citado por Santaló (1994), da algunos elementos para incorporar la Historia de la Matemática en la enseñanza media:
a) Ejemplos de casos en que la matemática ha progresado gracias a la idea de generalizar resultados conocidos. Observar que casi todos los grandes descubrimientos tienen sus precursores. b) Existencia de problemas que se enuncian fácilmente y que sin embargo, todavía no han podido ser resueltos. c) Lenta evolución de los conceptos de las distintas clases de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, complejos) y sus métodos de cálculo. Discusiones que se originan y dificultades que aparecen cada vez que se introduce un nuevo concepto, generalmente de manera oscura, hasta su paulatina clarificación. d) Ejemplos de resultados que nacieron como puramente teóricos y que luego resultaron de mucho interés práctico. e) Importancia de un simbolismo adecuado para el progreso de la matemática. f) Existencia de grandes matemáticos cuya ocupación no era la de un matemático profesional , sino que tenían otras profesiones.
A esta lista podemos agregar:
g) Conocimiento de otras civilizaciones y de sus formas de calcular, sus tipos de construcciones arquitectónicas, su arte, su escritura, y en general, generar actividades integradas con otros subsectores de aprendizaje.
h) Conocer pugnas, controversias, y otros estados de desacuerdos entre científicos y matemáticos, intereses personales de los científicos, de las instituciones, modos de divulgar la ciencia. Al respecto comienzan a crearse en el mundo en un período posterior a la Reforma de las Matemáticas Modernas, (reforma que impuso los contenidos con carácter a-histórico), una serie de grupos de investigadores en Historia de la Matemática. La sistematización que
Vidal, R.; Quintanilla, M.
Otro autor que trabaja esta línea es Fauvel (1991), quien entrega once puntos u orientaciones para con los alumnos:
- Mencionar anécdotas matemáticas del pasado
- Presentar introducciones históricas de los conceptos que son nuevos para los alumnos
- Fomentar en los alumnos la comprensión de los problemas históricos cuya solución a dado lugar a los distintos conceptos que aparecen en clase.
- Impartir lecciones de Historia de la Matemática
- Idear ejercicios utilizando textos matemáticos del pasado
- Fomentar la creación de posters, exposiciones u otros proyectos con un tema histórico
- Realizar proyectos en torno a una actividad matemática local del pasado
- Usar ejemplos del pasado para ilustrar técnicas o métodos
- Explorar errores del pasado para ayudar a comprender y resolver dificultades de aprendizaje
- Idear aproximaciones pedagógicas al tópico de acuerdo con su desarrollo histórico
- Idear el orden y estructura de los temas dentro del programa de acuerdo con su desarrollo histórico
Por su parte, citado por Maz (2003), algunas de las razones para la su utilización son:
- Ayuda e incrementa la motivación para el aprendizaje
- Muestra el aspecto humano de las matemáticas
- Cambia en los alumnos su percepción de las matemáticas
- Ayuda al desarrollo de un acercamiento multicutural
- Provee la posibilidad de un trabajo interdisciplinario con otros maestros.
- El desarrollo histórico ayuda a ordenar la presentación de los tópicos en el currículo
- Indica cómo los conceptos fueron desarrollándose, ayudando esto a su comprensión
La historia de la matemática y su incorporación en el aula. Una síntesis de algunas propuestas
- Los alumnos sienten bienestar al realizar esto, y no hacerlo únicamente con unos problemas.
Chávez y Salazar (2003), realizan con estudiantes de secundaria de Costa Rica, una experiencia en que utilizan la Historia de la Matemática como recurso metodológico para la enseñanza – aprendizaje de las ecuaciones cuadráticas. De dicho trabajo concluyen:
En cuanto a la enseñanza, la Historia de la Matemática:
- Promueve de un cambio de actitud hacia la matemática
- Ayuda para explicar y superar obstáculos epistemológicos
- Incentiva la reflexión y una actitud crítica del estudiante
- Funciona como integrador de la matemática con otras disciplinas
- Debe estar presente en la formación de educadores de la matemática
- Fomenta el interés y la motivación de los alumnos hacia la matemática.
En cuanto a los procesos de aprendizaje permite:
- La contextualización histórica de un concepto o tema
- La correlación entre el estudio de un concepto y su evolución histórica
- La recreación de problemas matemáticos históricos
- La utilización de material concreto y de recursos visuales
- El despliegue de material anecdótico y biográfico de personajes matemáticos
- Asignar trabajos extra-clase (exposiciones, diseño de representaciones)
- Introducir expresiones literarias históricas referidas a la matemática (versos, diálogos, metáforas, proverbios y analogías)
Para Maz (1999), el por qué y el para qué de la incorporación de la Historia de las Matemáticas en el aula, tiene relación con el aspecto cultural, humanístico, interdisciplinar y su posibilidad de organizar el currículo. En su artículo, presenta las siguientes interrogantes elaboradas por el matemático Alemán Hans Freudenthal en 1981:
- ¿Debe un profesor de matemáticas saber algo sobre la historia de las matemáticas?,
La historia de la matemática y su incorporación en el aula. Una síntesis de algunas propuestas
docentes toman un curso de perfeccionamiento en alguna temática, digamos por ejemplo, acerca de los Números Enteros, en cuyo curso se les aproxima al saber erudito por medio de la construcción de tales números como clases de equivalencia, y luego llegan a su clase de octavo grado entregándoles la misma información a sus alumnos^3.
- Comunicar la Matemática, lo que destaca el rol mediador del profesor, quien prepara el escenario para que su alumno se desenvuelva en él y se apropie de los conocimientos que su maestro le ha dispuesto, en oposición al rol de mero transmisor o replicador de conocimientos.
Ahora bien, como señalé al inicio de este artículo, la propia historia que devela su formación y su propia episteme, relacionada claro está, con el paradigma predominante de la institución formadora, originan su forma de tratar e interpretar los contenidos matemáticos y todo lo que rodea así al proceso de su enseñanza y aprendizaje. Citando una vez más a D’Amore:
“Sólo una fuerte preparación de los docentes en Epistemología de la Matemática (y en Didáctica de la Matemática) puede, de una parte, fortalecer las convicciones positivas de los profesores sobre estos temas, y, de otra, hacerlos didácticamente activos”. Cabe en este momento hacer una aclaración al lector que pueda verse algo complicado al hablar de Historia y de Epistemología casi sin distinción. Entendemos que para incorporar la Historia de la Matemática al aula en el sentido que lo hemos descrito, es condición necesaria y suficiente el considerar una reflexión epistemológica. Como decía Kant “La Filosofía sin la Historia es vacía, la Historia sin la Filosofía es ciega”. De tal modo, el cruce entre estas dos ramas es inevitable. Apoyando a esto, D’Amore, manifiesta que la Historia es clave para entender la epistemología, y entonces, se valida la necesidad imperiosa de un análisis histórico – epistemológico para la enseñanza, el aprendizaje e incluso el proceso de la evaluación en matemáticas. Precisamente, este es otro de los factores profesionales a los que
un perfeccionamiento docente de durante dos semanas, curso que estaba preparado por una reconocida Universidad. 3 D’Amore ejemplifica muy bien esto en su artículo haciendo ver que los profesores que no tienen formación epitemológica, no hacen diferencia entre lo que él denomina el problema de los “elementos primarios”, esto es, comprender que la reflexión epistemológica permite comprender porqué hay distancia (en términos de Chevallard) entre los elementos primarios del estudiante al inicio de su formación escolar y los elementos primarios situados en el edificio matemático.
Vidal, R.; Quintanilla, M.
hace referencia Bruno D’Amore, en el sentido que evaluar implica elección de criterios y toma de decisiones, siendo que ambas requieren de una preocupación epistemológica.
Ya en 1991, en la Revista española “Enseñanza de las Ciencias”, publicada en 1991, en su número 3, trae un artículo llamado “Historia de la Matemática: Integración cultural de las Matemáticas, Génesis de los conceptos y orientación de su enseñanza”, elaborado por P.M. González. De este trabajo se desprenden los siguientes puntos que nos interesa destacar:
- La Historia de la Matemática la propone como un instrumento didáctico, haciendo alusión a su uso por medio del “Método Genético”, el que se funda en la premisa de que para comprender un concepto, los estudiantes deben pasar por similares episodios por los que ha marchado la evolución del concepto en cuestión. El Método es utilizado por algunos grandes matemáticos que se ocuparon también de la educación matemática como Henri Poincaré, Félix Klein y el historiador Morris Kline. Pone cuidado si en no confundir una simulación (que es lo a lo que se refiere esta posición) con una imitación o copia fiel de lo dictado por la historia.
- La Historia de la Matemática como fuente de inspiración, de autoformación permanente y de orientación de la actividad docente. Aunque ya lo hemos señalado antes, González explica este punto dando cuenta que la forma en que el profesor conciba la matemática, es como también se transfiere a sus alumnos. Además expresa los siguientes puntos para justificar su utilización:
a) La perspectiva histórica da una visión panorámica de los distintos problemas y permite priorizar en el currículo. b) Favorece la comprensión profunda de los problemas matemáticos c) Apoya un aprendizaje activo, apela a la discusión, el trabajo en equipo, la investigación, hacer ciencia. d) Permite la erradicación de creencias espurias, como creer que es más matemático el que utiliza mayor simbología o exceso de rigor o también, creer que la matemática es infalible.
Vidal, R.; Quintanilla, M.
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La historia de la matemática y su incorporación en el aula. Una síntesis de algunas propuestas
Disponible en http://www.pna.es/Numeros/pdf/Maz2007Situaciones.pdf. Maz, A. Rico, L. (2007): “Situaciones asociadas a los Números Negativos en textos de Matemáticas españoles de los siglos XVIII y XIX”. Revista de Investigación en Didáctica de la Matemática PNA 1(3), 113-123. España. Fauvel, J. (1991): “History in the mathematical classroom”. The IREM papers. The MathematicalAssociation. Francia. Ruiz, A. (2001). “Asuntos de método en la Educación Matemática”. Publicación del Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas de la Universidad de Costa Rica, Costa Rica. Santaló, L. (1994). “La Enseñanza de las Matemáticas en la Educación intermedia”. Tratado de Educación Personalizada dirigido por V. García de la Hoz. Ediciones RIALP, Madrid, España. Sierra, M. (1997). “Notas de Historia de las Matemáticas para el currículo de secundaria”. En “La Educación Matemática en la enseñanza secundaria”. Cuadernos de formación del profesorado, V. 12. Editorial Horsori. 2º edición. Barcelona, España.
