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Tipo: Tesis
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Trabajo de grado para obtener el título de Licenciados en Matemáticas
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. 2016
3. Fuentes Para la realización de este trabajo se consultaron diversas fuentes en los cuales lográramos identificar aspectos sobre el desarrollo histórico de la integral y documentos especializados en la relación “Historia de las Matemáticas – Educación Matemática”. A continuación mostramos algunas de estas fuentes:
Bobadilla, M. L. (2012). Constitución histórica de la teoría de la medida y la integral de Lebesgue: Un tránsito entre lo geométrico y lo analítico. Tesis de doctorado. Universidad del Valle, Santiago de Cali. Escudero, M. (1997). Fermat y Arquímedes en la clase de integrales. SUMA, 24 , 77–79. Fernández, L. (2011). La Historia como herramienta didáctica : el concepto de integral. Tesis de Maestría. Universidad de Cantabria, España. Flashman, M. E. (1996). Historical Motivation For A Calculus Course: Barrow‟s Theorem. In R. Calinger (Ed.) Vita Mathematica: Historical research and Integration with Teaching (pp. 309 - 316). Washington D. C: The Mathemetical Association of America.. Gellasch, A. Shell. (2011). Integration a la Fermat. In D. Jardine & A. S. Gellasch (Eds.), Mathemtical Time Capsules (pp. 111 – 116). Washington D. C.: The Mathemetical Association of America. Haverhals, N., & Roscoe, M. (2010). The History of Mathematics as a Pedagogical tool: Teaching the integral of the secant via Mercator‟s projection. Montana Mathematics Enthusiast, 7 (2- 3), 339–368. Montilla Erazo, J. D. (2014). El problema del área: De la medida relativa a la medida abstracta. Tesis de pregrado. Universidad del Valle, Santiago de Cali. Prabhu, V., & Czarnocha, B. (2008). Los indivisibles en el cálculo contemporáneo. Educación Matemática, 20 (1), 53–88. Sauerheber, R. D. (2010). Geometric Demonstration of the Fundamental Theorems of the Calculus. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 41 (3), 397–403. Sauerheber, R. D. (2012). Teaching the Calculus. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 43 (1), 85–100.
4. Contenidos El documento se organizó en cuatro capítulos, descritos a continuación:
Capítulo 1: Se presenta la justificación de estudio de las matemáticas a través de la historia y en particular de la integral a través de su desarrollo histórico; también planteamos los objetivos y la metodología que direccionó el desarrollo del trabajo.
Capítulo 2: En este se plantea el desarrollo histórico del concepto de integral señalando algunos momentos de la historia en los cuales aparece, lo que nos permitimos considerar como etapas o interpretaciones de la integral. Esta descripción histórica empieza con los antiguos griegos,
quienes al enfrentarse al problema de las cuadraturas permiten gestar, por algunos de sus más ilustres representantes, ideas geniales que a la postre fueron el alba del concepto de integral; seguidamente se plantea el trabajo de Kepler, Cavalieri, Wallis, Newton y Leibniz, entre otros personajes que abordaron el estudio de la integral.
Capítulo 3: Inicia el tercer capítulo con la presentación de las revistas, libros y demás fuentes bibliográficas que se consultaron en la búsqueda de propuestas de enseñanza de la integral que hicieran uso de la historia de desarrollo de la misma, las cuales se organizan en forma de tabla; a continuación y producto de tal revisión, se presenta una nueva tabla en la que se presentan las propuestas que consideramos hacen uso de algunos elementos de la historia de la integral para la enseñanza de la misma y se finaliza tal capítulo con la descripción de cada una de las propuestas y su correspondiente análisis a la luz de las siguientes cuestiones: ¿Qué se usó de la historia de las matemáticas? y ¿Cómo se usó la historia de las matemáticas?
Capítulo 4: Se finaliza el cuerpo del documento con el análisis global de las propuestas estudiadas y las conclusiones del trabajo frente a los aportes académicos, profesionales y personales que producto de tal trabajo se obtuvieron.
5. Metodología Como primera etapa de la metodología realizamos un trabajo de consulta y estudio de documentos que abordaran el desarrollo histórico del concepto de la integral, describiendo los conceptos y teorías que a través del tiempo han surgido en el marco del estudio de tal objeto matemático. En segundo lugar se efectuó la búsqueda de diferentes propuestas para la enseñanza de la integral que contemplaran como eje central el desarrollo histórico del concepto. Tercero, se recopilaron, describieron y analizaron dichas propuestas teniendo en cuenta, qué y cómo fue usada la historia de la integral en cada una de ellas, para finalmente organizar el presente documento que reporta el trabajo realizado y que consideramos puede ser usado por profesores de Matemáticas en ejercicio o formación, para el diseño de actividades que favorezcan el aprendizaje de la integral en la Educación Media e inicios de la Educación Superior. 6. Conclusiones A continuación mostramos las conclusiones que se refieren a nuestra formación profesional después de la realización de este trabajo y que enunciamos como “conclusiones formativas”: Antes de realizar este trabajo, nuestro conocimiento en cuanto a la historia del Cálculo y en específico la historia de la integral era escaso, percibiendo quizás que la integral fue solamente una idea repentina asociada al estudio de unos muy pocos hombres y cuyos legados son el inicio y el final de la historia; sin embargo durante el estudio del desarrollo histórico, comprendimos que la historia de la integral no inicia con los descubrimientos de los matemáticos de los siglos XVII y encontramos que muchos investigadores coinciden
El presente trabajo de grado es producto de la investigación, organización y análisis de diversas propuestas didácticas enmarcadas en el campo de la Educación Matemática, en las cuales la Historia de las Matemáticas ha sido eje fundamental para el desarrollo del concepto de integral; trabajo conseguido a través del desarrollo de los siguientes objetivos específicos:
Decantar hitos fundamentales en el desarrollo histórico del concepto de la integral, desde sus orígenes hasta las diferentes nociones en la actualidad. Identificar y analizar documentos que contengan propuestas didácticas en la cuales la historia de la integral sea el fundamento u ocupe un lugar destacado. Catalogar las propuestas anteriormente identificadas.
Dentro de la metodología de investigación se realizó una consulta del desarrollo histórico del concepto de integral, seguido de una búsqueda de las diferentes propuestas para su enseñanza fundamentadas en el desarrollo histórico del concepto; también se recopilaron dichas propuestas y se analizaron teniendo en cuenta, qué y cómo fue usada la historia de la integral en cada una de ellas, para finalmente organizar el presente documento que reporta el trabajo realizado y que consideramos puede ser usado por profesores de Matemáticas en ejercicio o formación, para el diseño de actividades que favorezcan el aprendizaje de la integral en la Educación Media e inicios de la Educación Superior.
Este documento se organizó en cuatro capítulos, empezando con la justificación de estudio de las matemáticas a través de la historia y en particular de la integral a través de su desarrollo histórico; también planteamos los objetivos y la metodología que direccionó el desarrollo del trabajo. En el segundo capítulo, se presenta el desarrollo histórico del concepto en el que se señalan algunos momentos de la historia en los cuales aparece lo que nos permitimos considerar como etapas o interpretaciones de la integral; este desarrollo histórico se realiza con base en una interpretación protomatemática del concepto de Integral y es por esto que no se aborda el trabajo de Riemann, quien hace del concepto de integral un objeto de estudio dentro del marco de una teoría establecida. Esta descripción histórica empieza con los antiguos griegos, quienes al enfrentarse al problema de las cuadraturas permiten gestar, por algunos de sus más ilustres representantes, ideas geniales que a la postre fueron el alba del concepto de integral; seguidamente se plantea el trabajo relacionado con los conceptos indivisible e infinitesimal y su relación con el problema de las cuadraturas, señalando a Kepler, como uno de los precursores del concepto de
infinitesimal y a Cavalieri quien es reconocido por su método de los indivisibles y quien en la Geometría de los indivisibles, presenta un método utilizando procesos algebraicos para calcular cuadraturas de regiones limitadas por curvas, evitando las limitaciones que presentaba el método de exhaución de los griegos; también retomamos a Wallis quien continuando con los trabajos realizados por Descartes y Cavalieri, propone un método para hallar la cuadratura de curvas por medio del método de “inducción incompleta”, en el cual se aritmetiza la geometría de Cavalieri. Continuando con el recorrido histórico, se da la aparición de dos de los más importantes personajes en la historia de la integral, Newton y Leibniz, quienes encuentran de manera independiente la relación que existe entre el cálculo de cuadraturas y tangentes. Se finaliza tal capítulo mostrando cómo se va dando al concepto de integral un estatus de noción matemática propiamente dicho, puesto que se amplía el dominio de las funciones integrables más allá de las funciones continuas, dejando de lado la interpretación de la integral como el cálculo de anti-derivadas y mostrando como Cauchy a través de una formalización de conceptos como el de límite, proporciona una definición analítica de la integral y termina por separar la derivada de la integral, definiendo esta última como un límite de sumas.
Inicia el tercer capítulo con la presentación de las revistas, libros y demás fuentes bibliográficas que se consultaron en la búsqueda de propuestas de enseñanza de la integral que hicieran uso de la historia de desarrollo de la misma, las cuales se organizan en forma de tabla; a continuación y producto de tal revisión, se presenta una nueva tabla en la que se presentan las propuestas que, consideramos hacen uso de algunos elementos de la historia de la integral para la enseñanza de la misma y se finaliza tal capitulo con la descripción de cada una de las propuestas y su correspondiente análisis a la luz de las siguientes cuestiones:
¿Qué se usó de la historia de las matemáticas? ¿Cómo se usó la historia de las matemáticas?
Este “que se usó” está estrechamente ligado al desarrollo histórico planteado en el segundo capítulo y a las interpretaciones que en él se lograron identificar; el “cómo se usó” se ve orientado por un documento del profesor Edgar Alberto Guacaneme Suarez en el cual se clasifica el uso de la historia en la enseñanza de las matemáticas de la siguiente manera:
Alusión a la historia de las matemáticas Integración de la historia de las matemáticas Determinación de la enseñanza a partir de la historia de las matemáticas
Existen diversas opiniones sobre si es o no conveniente enseñar Matemáticas con su historia, por ejemplo Zapico (2006) manifiesta varias razones a favor de esta postura. Al parecer, cuando se muestra la manera como las Matemáticas se van generando y evolucionando a través de los tiempos y se dan a conocer algunos de sus creadores o mayores representantes, esta se muestra como un producto de la actividad humana que se realizó a partir de diferentes intereses (como resolver problemas de la vida cotidiana – problemas prácticos– y necesidades intelectuales – teorización–). En su argumentación este autor cita a de Guzmán (1992), quien afirma que los matemáticos y los profesores de Matemáticas de cualquier nivel deberían tener conocimientos sobre la Historia de las Matemáticas, no solo con la intención de usarlos como instrumento de su propia enseñanza, sino porque la perspectiva histórica conduce de una matemática casi exclusivamente algorítmica, a una llena de grandes historias de hombres con distintas motivaciones y distintas situaciones que la ha ayudado a surgir y desarrollarse.
Por otra parte, tenemos un interés particular en el concepto de integral puesto que este es parte fundamental en el desarrollo del Cálculo y ha estado ligado a la solución de diferentes problemas a lo largo de la historia; el origen del concepto de integral se dio hace varios siglos cuando se presentó la necesidad de resolver problemas de tipo geométrico relacionados con hallar el área de figuras curvas hasta que nuevos problemas relacionados con los fenómenos físicos y los aportes de diferentes matemáticos, propiciaron la evolución de la integral hasta las concepciones actuales. Adicionalmente se ha evidenciado según Azcárate, Bosch, Casadevall, & Casellas (1996) que en la educación secundaria los estudiantes poseen cierto nivel en cuanto a la manipulación de los algoritmos cuando realizan cálculos de primitivas de funciones y sin embargo presentan dificultades frente a la conceptualización de la integral. En su argumentación estos autores citan a Orton (1980) quien afirma que “muchos estudiantes demuestran saber lo que tienen que hacer pero cuando se les pregunta acerca de su método no saben realmente por qué lo hacen de esta manera ”.
Teniendo en cuenta lo anterior, se realizó un estudio sobre el desarrollo histórico o evolución del concepto de integral según diferentes autores para reconocer, entre otros asuntos, la manera en que este surgió, las necesidades a las que obedeció, las diferentes nociones o estados que le caracterizaron y le caracterizan.
Como parte central de nuestro trabajo, – bajo el entendido de que en la literatura especializada en la relación “Historia de las Matemáticas – Educación Matemática” existen estrategias, propuestas y experiencias que involucran la historia de la integral en la enseñanza de la misma, nos interesa recopilar estas, para analizarlas y catalogarlas de acuerdo con los aspectos históricos contemplados.
Se espera así contar con un banco de propuestas a las que recurra el profesor y que al ser llevadas al aula, le permitan a los estudiantes construir algunos aspectos del concepto de integral, quizá de forma similar a como surgió en la historia de la humanidad y abordando necesidades semejantes a las que en su momento atendió. Con ello se estaría ofreciendo al estudiante la posibilidad de conocer las diferentes aspectos de la integral y los problemas a los que daban solución cada una de estas; quizá de esta manera los estudiantes logren identificar el concepto de integral como un objeto/proceso en continuo desarrollo; puesto que según González-Urbaneja (2004) citando a Nolla (2001) los conceptos e ideas matemáticas que se tratan en la educación secundaria son presentados a los estudiantes como algo cerrado, acabado, ajeno y alejado de los diversos tipos de problemas prácticos o teóricos pertenecientes a otras disciplinas o a la propia matemática.
Suponemos entonces que la historia de la integral se convierte a través de tales propuestas y tareas, en un agente activo en la enseñanza de la integral y evita la trivialización de este concepto y la pérdida de sus significados. Con respecto a esto podemos señalar que a partir de un estudio realizado en el curso “Tópicos de Historia de las Matemáticas” del programa de licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional desarrollado en el segundo semestre de 2014, hemos reconocido que ello puede suceder con otros conceptos en la Educación Básica y Media, puesto que se ha evidenciado que en el colegio se degrada el Teorema de Pitágoras a un simple algoritmo que me permite hallar la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo a partir de la longitudes de los otros dos lados, sin dimensionar, por ejemplo, el hecho de que es el teorema que más y más variadas demostraciones tiene y es un teorema que tiene generalizaciones realmente interesantes.
Con base en lo anterior y siendo conscientes de la pertinencia del uso de la historia de las matemáticas en la enseñanza de las mismas, las propuestas aquí recopiladas servirán de consulta para profesores de Matemáticas en formación o en ejercicio.
1.2 OBJETIVOS
Para la realización del presente trabajo planteamos inicialmente el objetivo general y los específicos, en los cuales podemos distinguir cada una de las tareas específicas que debemos realizar, como por ejemplo la consulta del desarrollo histórico del concepto de
En este capítulo encontramos el desarrollo histórico asociado al concepto de integral, en el cual presentamos algunos hechos y personajes que realizaron numerosos trabajos en diferentes épocas y culturas a través de la historia, los cuales aportaron a las diferentes etapas en la constitución del concepto de integral; sin embargo no se abordan los trabajos de Riemann, puesto que en ellos el concepto de Integral es un objeto de estudio dentro del marco de una teoría establecida y es de nuestro interés identificar las etapas protomatemáticas del concepto de Integral y en consecuencia las primeras versiones de algunos teoremas fundamentales asociados a este concepto. Para la realización de este capítulo se tomaron como referencias principales los trabajos de Bobadilla (2012) y Montilla Erazo (2014), los cuales tienen como eje común el análisis, desde una visión histórico-epistemológica, del problema de la medida de superficies, el cual está directamente relacionado con el desarrollo del concepto de integral. Estos autores presentan los métodos y resultados de los matemáticos más representativos que trataron este problema, desde los antiguos griegos hasta la modernidad. Algunas de las demostraciones, que se presentan en este capítulo, fueron realizadas con base en los trabajos de diferentes autores como los ya mencionados, sin embargo fue necesario agregar pasos intermedios para lograr una mayor comprensión.
Para realizar este capítulo se tuvo en cuenta los resultados de los matemáticos desde la antigua Grecia hasta los matemáticos del siglo XIX, en este recorrido histórico podremos observar que con la aparición de nuevos conceptos e ideas, fue necesario renovar algunas teorías establecidas, para así obtener nuevas posibilidades de estudios; un ejemplo de ello es el caso de la aparición del concepto de inconmensurabilidad, en la antigua Grecia, el cual dio paso a nuevas teorías que lograron capturar este concepto con las cuales surgió particularmente el método de exhaución el cual fue pilar en el proceso de hallar la cuadratura de una curva. También podremos encontrar que los trabajos presentados por algunos matemáticos no siempre fueron aceptados por la comunidad académica, aunque algunos de estos fueron fundamentales para sus sucesores; es el caso del trabajo sobre los indivisibles presentados por Cavalieri, el cual le valió a este fuertes críticas por parte de otros matemáticos, dado que ellos se fundamentaban en que toda magnitud geométrica es homogénea, es decir que la suma de segmentos es un segmento y la suma de planos es un plano y la idea de Cavalieri contradecía tales proposiciones. En general en este capítulo encontraremos algunos de los trabajos que contribuyeron al desarrollo del concepto de integral y se evidenciará como el problema de las cuadraturas pasó de ser un problema de
tipo geométrico a uno de tipo analítico. El recorrido histórico está dividido en cuatro partes, teniendo en cuenta la época histórica y las diferentes acepciones que creemos tuvo el concepto de integral a medida que evolucionaba históricamente.
En la primera parte reunimos los trabajos de los griegos que más se destacaron en la búsqueda de cuadraturas; entre ellos se encuentran: Hipócrates, el cual buscó la cuadratura de las lúnulas en un intento de lograr la cuadratura del círculo; Eudoxo, quien encuentra una salida a los problemas planteados por el infinito y lo inconmensurable por medio de una nueva definición de igualdad de razones, el axioma de continuidad y el método de exhaución y Arquímedes, quien retoma y potencializa las ideas del método de exhaución de Eudoxo, logrando calcular áreas de figuras curvilíneas, como es el caso del segmento de parábola; Arquímedes también usa para calcular área de figuras curvilíneas el método mecánico, el cual combina la Geometría con las leyes de la mecánica; estos dos métodos originan las concepciones de los infinitesimales e indivisibles respectivamente.
En la segunda parte presentamos los conceptos de indivisibles e infinitesimales, los cuales ofrecen diferentes perspectivas para abordar el problema de las cuadraturas. Entre los matemáticos que presentaron estos conceptos encontramos a: Kepler, quien sin duda es uno de los precursores del concepto de infinitesimal; Cavalieri, quien es reconocido por su método de los indivisibles y quien en la Geometría de los indivisibles , presenta un método utilizando procesos algebraicos para calcular cuadraturas de regiones limitadas por curvas, evitando las limitaciones que presentaba el método de exhaución de los griegos; y Wallis, quien continuando con los trabajos realizados por Descartes y Cavalieri, propone un método para hallar la cuadratura de curvas por medio del método de “inducción incompleta”, en el cual observamos cómo se aritmetiza la Geometría de Cavalieri; es decir que asocia números a los elementos indivisibles. Con Wallis se produce un gran salto conceptual en cuanto a medir áreas, puesto que establece el área de un rectángulo, como el producto de la base por la altura y dado a este producto es la primera vez que a la superficie se le asigna un número como su medida.
En la tercera parte observamos que debido a la buena aceptación del trabajo de Descartes por parte de otros matemáticos, las expresiones algebraicas se impusieron frente a las representaciones geométricas y se estableció una relación entre la Geometría y el joven Análisis. Debido a esto se amplió en gran consideración el conjunto de curvas y en consecuencia era necesario generar nuevos métodos para encontrar la cuadratura de estas curvas. Es en este contexto en el que hacen aparición dos de los más importantes personajes en la historia de la integral, Newton y Leibniz, quienes encuentran de manera independiente la relación que existe entre el cálculo de cuadraturas y tangentes. Newton y Leibniz
