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4.1 DEFINICION. Una hipérbola es el con-
junto de todos los puntos del plano euclideano
R~ tales que que la diferencia de sus distancias
a dos puntos fijos es en valor absoluto una constante.
Así, si F, y F, son dos puntos fijos de R' y a es
un real positivo, se tiene
= { P = ( x , y ) l d ( P , F,) - d ( P ,F2) = ~ 2 a }
D X
Una hipérbola se compone de dos ramas H1 y
Hz definidas por
Hl = { P = ( x , y ) 1 d ( P ,F l ) - d ( P , 4 ) = -2a}
H, = { P = ( x , y ) 1 d ( ~ ,F,) - d ( P , ~ 2 = ) 2a}
4.2 NOTACION Y PROPIEDADES
1. Los puntos Fl y F2 se llaman focos de la hipdrbola.
- El punto medio F, = b(Fl + F2 ) del segmento F,F, se llama centro de la hipi?rbola.
3. La hipérbola M corta la recta X' que pasa por los focos en exactamente dos puntos
Vl y V. que se llaman vértices de la hiperbola. Se cumple
d ( V l ,F,) = d(V2,F, t a )
El segmento V1V2 se llama eje transversal y posee longitud 2 a.
4. Si c = d ( F , , F o ) = d ( F 2 ,F,) entonces c > a.
Hagamos b 2 = c 2 - a 2 y designe- mos por Y' la recta que pasa por F, y es perpendicular a X'. Sean B, y B2 los puntos de Y' que
distan b de F,.
Se tiene d ( B , , F o ) = d ( B , , F o ) = b
El segmento BlB2 se llama eje conjugado y tiene longitud 2b.
5. Los números a y b se denominan
semieje transversal y conjugado, respectivamente.
C El número e = - se llama excentricidad de la hipérbola. Observemos que e > 1 a
- Decimos que una hipérbola es equilátera si a = b , es decir si los semiejes trans- versal y conjugado son iguales.
Empleando la relación c = .\la2 + b2 , es fácil de ver que una hipérbola es equi- latera si y solamente si e = 6.
4.3 ECUACION DE LA HIPERBOLA C O N EJE TRANSVERSAL PARALELO A UN
EJE DE COORDENADAS CARTESIANAS
TEOREMA.
1) La ecuación de una hipérbola cuyo eje transversal es paralelo al eje X es
centro de la hipérbola: ( h ,k )
Y donde se tiene que vértices de la hipérbola:^ (h,^ k)^ y^ ( h^ +^ a ,^ k)
focos de la hipérbola: ( h -^ c,^ k)^ y^ ( h t^ c,^ k ) ;^ c^ =^ ~/m
Hipérbola con eje transversal paralelo al eje X
4.4 HIPERBOLAS CONJUGADAS
Decimos que dos hipérbolas son conjugadas si tienen los ejes transversales y conjuga- dos intercambiados.
En forma explícita, las hipérbolas H y H' son conjugadas si se cumple
V,V, = eje transversal de H = eje conjugado de H'
Y
B,B2 = eje conjugado de H = eje transversal de H'
Por ejemplo,,las hipérbolas
son conjugadas.
Dos hipérbolas conjugadas tienen las mismas asíntotas.
Hipérbolasconjugadas
4.5 PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los vértices de la elip-
se 25x2 + g y 2 = 255 y cuyos vértices son los focos de la elipse.
La Hipérbola 93
X 2 y 2 SOLUCION. De la ecuación de la elipse - + = 1 9 25 obtenemos a^2 -25, b 2 = 9 y c^2 = 1 6.
Por lo tanto, vértices de la elipse: (0, - 5), (0,5);
focos de la elipse: (^) (o, - 4) , (o, 4) ;
Luego se tiene focos de la hipérbola: (^) (0, - 5), ( 0 , 5 ) ;
vértices de la hipérbola: (0, - 4), (0,4) ;
centro de la hipérbola: (0,O). La ecuación tiene la forma
donde A = 4 , C = 5 y B =. / m =. / m = 3
y 2 X
2 Se sigue entonces que (^) - - - = 1 es la ecuación requerida.
y 2 x
2 RESPUESTA. - - - = 1
PROBLEMA 2. El costo de producción de
un artículo es $12 menos por unidad en
un punto A que en un punto B. Si la
distancia de A a B es de 100 Kms., la ruta de entrega está a lo largo de una línea recta y el transporte cuesta $0. por unidad por Km; ¿cual es la curva en cualquier punto de la cual cueste lo
mismo un artículo transportado desde A
o B?
SOLUCION. Tracemos un sistema rec- tangular de coordenadas como se muesra en la figura
Designemos los siguientes costos por unidad de artículo
p = costo de producción en B
CA = costo en P de mercancía proveniente de A
CB = costo en P de mercancía proveniente de B
Desde que costo total = costo de producción + costo de transporte
( Y + + ) 2 ( X - I ) ~
RESPUESTA. Una ecuación es 324 - - = 81 1
que representa una hipérbola con centro en (1,-y), eje transversal paralelo al eje Y
y semiejes transversal y conjugado $ y 9, respectivamente.
PROBLEMA 4. Sea k +. O. Probar que la ecuación xy = k es la ecuación de una hipér-
Sola equilatera efectuando la rotación de 45" del sistema de coordenadas XY dada por:
SOLUCION. Sustituyendo las expresiones de x , y, dadas por las ecuaciones de cambio
de coordenadas en xy = k , obtenemos
que representa una hipérbola equilátera con eje transversal X' o Y' según sea k > O o
k < O.
PROBLEMA 5. Sean e un número real > 1, F un punto fijo y L una recta que no con-
tiene a F.
1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia del punto F es e veces la dis-
tancia de la recta L, forman una hipérbola.
2) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de la hipérbola y si
c =Jn, probar que c = e a.
Nota. Llamamos foco al punto F, excentricidad al número e y directriz a la recta L.
SOLUCION.
1) Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en el punto F
tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y orientamos X positivamente en el
sentido de la recta L al punto F.
Se tiene así F=(O,O), L: x = - d ,
donde d = d ( F , L).
Designemos con P = (x,y ) un punto tal que (^) d ( P ,F ) = ed(P,L).
Se tiene entonces
2 e 2 d 2 complendo c a a d o s (^) (1 - [.- 71 + y = - 2 1 - e 1 - e
e2d y dividiendo entre 7 se obtiene 1 - e
2
El primer denominador es >O, y el segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y
1 - e 2 <O. Por lo tanto, la ecuación representa una hipérbola con centro en
[q , O) y eje transversal paralelo al eje x 1 - e
2 ) Si a y b son los semiejes transversal y conjugado de la hipérbola respectivamente,
de acuerdo a lo que se acaba de establecer, se debe cumplir que
Luego
Por lo tanto c = e a.
PROBLEMA 6. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asintotas son y = k*(x - 1)+ 2 ,
y que pasa por el punto (5,- 912)
PROBLEMA 8. Probar que el producto de las distancias de un punto cualquiera de una hipérbola a sus asíntotas es constante.
2
SOLUCION. Consideremos la hipérbola^ x^ - - y2 = 1
a b
con asíntotas
b b
L,: y = - x o y - - x = o
a a
b b
L2:y = - - x o y + - = O
a a
Sea P = ( x , y) un punto cualquiera de la hipérbola. Se tiene
b
d , = d ( P ,L,) =
Luego
teniendo en cuenta que =^^1 ,^ pues^ P^ es un punto de la hipérbola.
a2b
Así, hemos demostrado que d,d2^ =^ - --^ constante. a2 + b
PROBLEMA 9. Sean A y B dos puntos fijos cuya distancia es d. Probar que el conjunto
de los puntos P tales que el dngulo PAB es dos veces el &ngulo ABP, es una hip6rbola con excentricidad
SOLUCION. Supongamos que (^) 't
Sea P =(%,y) un punto tal que
áPAB = 2 U P y hagamos a = U P
Se tiene -^ Y^ = tg 2a =^2 tg^ a
x 1-tg2a A = ( O , O)
La Hipérbola 99
Y Sustituyendo tg a en la primera ecuación - = (^2)
X 1- --
(d:%)
Y 2 - 3 ~ 2 + 4 d + = d 2 ,
y completando cuadrados
2 7d
que es la ecuación de una hipérbola con a = -
7d
, b2=- ; y calculando la excen-
tricidad e: c2^ =^ a^2^^ + b 2 =^ - d 2 ,^28
PROBLEMA 10. Sea H una hipérbola con centro C. Si P es punto culquiera de H y L
es la asíntota más próxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a cero si
d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple d(P,L,)+O cuando
d ( P , C) + +m
SOLUCION. Por simplicidad vamos a suponer que C = (0.0) y que la ecuación de la
hipérbola es
b b
Las ecuaciones de las asintotas son: L, : y - - x = O, L2: y + - x = 0.
a a
Sea P = (x, y) un punto de la hipérbola.
De (1)se tiene que Y = &A,/= (2) a
Supongamos que P = (x, y) se encuentra en la parte superior de la rama derecha de la
hipérbola, es decir que se cumple x 2 a , y 2 0.
Demostraremos que d ( ~ ,L,) tiende a O
cuando d(P,O) = Jm = x 1+- tiende a m, i o'
El centro de la hipérbola es el punto de intersección de las asíntotas. Resolviendo las
ecuaciones (3) y (4) obtenemos
x = 3 y = 2.
4.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1. Hallar los focos, vértices, excentricidad y asíntotas de la hipérbola
25x2 - gY2= 225
PROBLEMA2. Hallar la ecuación de una hipérbola cuyas asíntotas son
5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = O , y que pasa por el punto (-8,3).
Sugerencia. Usar la propiedad de que si P es un punto de la hipérbola y d(P, L,) y
d ( P ,L2) son las distancias de P a las asíntotas, entonces
d ( P ,L, ) x d ( P ,L2) = constante = k (Ver problema resuelto N%).
PROBLEMA 3. Hallar la ecuación de una hipérbola con eje transversal paralelo al eje
X, excentricidad 513 ,y que pasa por los puntos (4, O), (-2,2) y (- 1 i/4,5)
PROBLEMA 4. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera cuyo centro es el origen
y que tiene sus focos sobre la recta y = *x a una distancia 5 del origen.
PROBLEMA 5. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en^ (-1 O), sus focos en el
eje X y que pasa por los puntos (4, O) y ( 5 f i - $12)
PROBELMA 6. Si 4x2 + 5xy + + 3x + 2y - 7 = 0 es la ecuación de una hipbrbola,
hallar las asíntotas y el centro de la hipérbola.
PROBLEMA 7. Probar que no existe ninguna recta y = mx que corta a la hipérbola
x^2 - y^2 = 1 en exactamente un punto.
PROBLEMA 8. Las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de 60' con el eje
transversal. Hallar la excentricidad de la hipérbola.
PROBLEMA 9. Se llama lado recto o cuerda foca1 de una hipérbola a la cuerda que
pasa por el foco y es perpendicular al eje transversal. Probar que la longitud del lado
2b
recto es - , donde a y b son los ejes transversal y conjugado, respectivamente. a
PROBLEMA 10. La hipérbola H tiene las asíntotas (^) 2x - 3y + 12 = O y 2x + 3y = O. Si un vértice de H es (0,2), hallar la ecuación de H.
PROBLEMA 11. Sea la hipérbola 4x2 - 3y2 = 36. Hallar la ecuación de la cuerda cuyo
punto medio es ($,3).
RESPUESTAS.
1. focos: (-a,O), (a,O); vertices: (-3, O), (3, O);
excentricidad: e = & / 3 ; asíntotas: y = *$x.
6. Asíntotas: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; Centro: (--$,+).
