Modelado de Sistemas de Líneas de Espera: Aplicaciones y Ejemplos - Prof. Hernández, Apuntes de Investigación de Operaciones

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UNIDAD 9

MODELO DE LÍNEAS DE ESPERA

servicio.

de servicio.

Unidad 9

el modelo de líneas de espera que tiene una llegada de clientes con función de distribución de probabilidad tipo Poisson y un tiempo de servicio con función de distribución de probabilidad exponencial.

9.1. Terminología

Un problema de líneas de espera se forma cuando los clientes^1 llegan a una estación a solicitar un servicio. Si el tiempo de atención es mayor al número de clientes que llegan a solicitar el ser vicio, entonces se for ma una línea de espera. Algunos ejemplos de líneas de espera son:

- La llegada de llamadas telefónicas a un conmutador de un hospital. - La llegada de equipos electrónicos al área de control de calidad dentro de una fábrica.

• La llegada de trabajos a la cola de impresión en una computadora.
• La llegada de pacientes a un consultorio.
• La llegada de operaciones computacionales a un microprocesador.

Un sistema de líneas de espera se forma por

clientes que llegan a solicitar un servicio, que forman los clientes para esperar el servicio, y estaciones de servicio que atienden a los clientes, los cuales después de ser atendidos salen del sistema (ver figura 9.1).

(^1) La palabra cliente se utili za para denotar una persona o un objeto.

FILA MECANISMODE SERVICIO

Fila

Llegadas Salida

Figura 9.1.

Disciplina de la

Investigación de operaciones

Existen sistemas de líneas de espera que están formados por una sola fila y una sola estación de servicio, por ejemplo, la llegada de operaciones al microprocesador en una computadora. Otros pueden estar formados por varias f ilas y varias estaciones de servicios, por ejemplo: las computadoras que tienen varios microprocesadores conectados en paralelo. O bien, en algunos centros de atención telefónica existe un único número telefónico y las llamadas se distribuyen al operador que esté desocupado. En este caso existen varios centros de servicio pero se forma una sola fila. En otros centros se dispone de diferentes números telefónicos, con lo cual se forman diferentes f ilas en cada uno de ellos.

Existen varias combinaciones posibles, las cuales estudiaremos más adelante.

Para poder analizar los modelos de líneas de espera, es importante def inir la terminología que vamos a utilizar.

Los parámetros más importantes de una línea de espera son:

1. Tasa de llegada. Es el número de clientes que llegan a solicitar el servicio. Esta tasa puede ser determinística o probabilística. Si es probabilística, se debe determinar la función de distribución de probabilidades que la modela. Por ejemplo:

La llegada de llamadas a un conmutador, la llegada de operaciones al microprocesador de la computadora, la llegada de trabajos de impresión a una computadora, etc.

2. Tasa de servicio. Es el tiempo que se tarda el cliente en la estación de servicio. Este tiempo, al igual que la tasa de llegada, puede ser determinístico o probabilístico. Si es probabilístico, se debe determinar la función de distribución de probabilidades que lo modela. Por ejemplo:

El tiempo de atención del conmutador a una llamada, el tiempo que dura un despachador en llenar el tanque de gasolina de un automóvil, el tiempo que tarda el microprocesador en realizar una operación, el tiempo que tarda la impresora en imprimir un archivo, etc.

Investigación de operaciones

FCFS = El primero que llega el primero que se atiende. LCFS = El último que llega el primero que se atiende. SIRO = Servicio en orden aleatorio. GD = Disciplina general (es decir cualquier tipo de disciplina).

Por ejemplo:

En la cola de impresión de una computadora, el primer trabajo en llegar es el primero en ser impreso, mientras que en el microprocesador no necesariamente la primera operación en ser solicitada es la primera en ser atendida, ya que existen ciertas prioridades.

Una notación adecuada para resumir las características de un sistema de líneas de espera es la siguiente: ( a / / c ) : ( d / e / ),

donde:

a Es la f unción de distribución de probabilidades de las llegadas. Es la función de distribución de probabilidades del tiempo de atención. c Número de estaciones de servicio en paralelo. d Disciplina de la línea de espera. e Número máximo de clientes en el sistema. Tamaño de la población.

Ejemplo 1

En un sistema de línea de espera cuyas llegadas siguen una distribución de Poisson, el tiempo de atención sigue una distribución exponencial, con 3 estaciones de servicio en paralelo, con una disciplina de que el primero en llegar es el primero es ser atendido, con una capacidad en la fila infinita y una población infinita, se representa como:

(P,E,3) : (FCFS, , ).

Una vez que estudiamos la terminología referente a líneas de espera, surge la siguiente pregunta:

Unidad 9

¿Por qué debemos estudiar las líneas de espera?

existen costos relacionados con el proceso.

Los dos costos más signif icativos son:

Esperar signif ica desperdicio de algún recurso activo que bien pudiera ser aprovechado. Por ejemplo:

En una empresa el tiempo que deben esperar los productos terminados en el departamento de control de calidad representa un costo, ya que la mercancía no puede ser comercializada para recuperar la inversión y las ganancias.

En un banco el tiempo que debe esperar una persona para cambiar un cheque tiene un costo, ya que la persona podría estar haciendo algo más productivo. Para el primer problema podríamos determinar el costo de espera en función de los intereses que nos daría un banco si depositáramos el costo de las mercancías. Este costo se daría entonces en pesos por unidad de tiempo. Para el segundo caso resulta más complicado poder determinar el costo de espera, ya que inf luye el comportamiento humano.

Es el costo en el que incurre la empresa por poner y mantener en operación las estaciones de servicios. Por ejemplo:

Para una compañía de telefonía celular las estaciones de servicio son las antenas que debe colocar en toda la región de cobertura, pero cada una de ellas tiene un costo, además de que una vez en operación se debe dar mantenimiento, pagar servicios, etc.

Otro empleo es el costo asociado al sueldo de los empleados que deben atender la caseta de herramientas en una fábrica.

Para determinar los costos de servicio y de espera se recurre a economistas que realizan los estudios necesarios para estimarlos.

Desde el punto de vista económico , podemos resumir el problema de líneas de espera de la siguiente manera:

Unidad 9

5. La forma como se atiende a los _____________en la fila se llama disciplina de la fila.

9.2. Modelado de los procesos de llegada y de servicio

Para poder determinar el comportamiento de una fila, es indispensable conocer la forma como llegan los clientes al sistema y el tiempo que se tardan en la estación de servicio. En la sección anterior mencionamos que estos procesos en general son aleatorios, por lo tanto necesitamos la teoría de probabilidades que estudiamos en el libro de Estadística y Probabilidad de esta misma serie. En particular vamos a ocupar dos funciones de distribución de probabilidades, una discreta y otra continua, las cuales están estrechamente relacionadas:

Empecemos con el proceso de llegada de los clientes al sistema, el cual vamos a considerar aleatorio. En consecuencia, necesitamos definir variables aleatorias para poder medirlo. Las llegada pueden ser las siguientes:

a) Sea t el tiempo que transcurre entre la llegada de un cliente y otro. En este caso ésta es una variable aleatoria continua.

b) Sea n el número de clientes que llegan en la unidad de tiempo. En este caso ésta es una variable aleatoria discreta.

Ejemplo 2

En una central telefónica las llamadas llegan de manera aleatoria. Podemos medir el tiempo que transcurre entre una llamada y otra o bien podemos medir el número de llamadas que se reciben, por ejemplo, en una hora.

Para poder analizar el comportamiento de un sistema de líneas de espera es más práctico utilizar la segunda variable, es decir, medir el número de

Investigación de operaciones

clientes que llegan en la unidad de tiempo. Entonces el experimento que tenemos es el siguiente:

Deseamos medir el número de “éxitos” (llegadas de clientes) en un intervalo de tiempo, además los resultados que se obtienen en intervalos de tiempos disjuntos son totalmente independientes, la probabilidad de que ocurran n llegadas en un intervalo de tiempo depende de la longitud del mismo. Todo esto se ajusta a la def inición de un experimento de Poisson*, por lo tanto la llegada de clientes la vamos a modelar utilizando:

El M odelo de Poisson

Sea n la variable aleatoria discreta que mide el número de clientes que llegan a un sistema de líneas de espera, entonces la probabilidad de que n = k está dada por:

P n k

t e

k

k

k t

Donde es el promedio de éxitos en la unidad de tiempo.

Teorema. La esperanza matemática y la varianza de esta función de distribución está dada por:

E n t

V n t

Ejemplo 3

La llegada de trabajos a una impresora compartida es una variable aleatoria discreta con distribución de Poisson con un promedio de 5 trabajos por hora. Determinar la probabilidad de que:

a) Lleguen 8 trabajos en la próxima hora. b) Lleguen 3 trabajos en la próxima hora. c) Lleguen 2 trabajos o menos en la próxima hora. d) Lleguen 3 trabajos o más en la próxima hora. e) Llegue un trabajo en los próximos 10 min.

• (^) UNITEC, Estadística y probabilidad , p. 237.

Investigación de operaciones

La variable que es más útil para el análisis de los sistemas de líneas de espera es la primera, por lo tanto vamos a utilizar esta variable para llevar a cabo el desarrollo del modelo. Necesitamos determinar la función de distribución de probabilidades para esta variable, considerando la siguiente propiedad:

Que el tiempo que duró el servicio anterior no afecte en nada al tiempo del próximo servicio.

En el libro de Estadística y Probabilidad se estudió el modelo exponencial, el cual se def inió de la siguiente manera:

El modelo exponencial

Dada t una variable aleatoria continua del experimento realizado, se dice que tiene distribución exponencial con parámetro en el intervalo (^) [ , 0 )donde su función de densidad de probabilidad es:

f t

e

t

t

t

( )

Como t es una variable aleatoria continua, no tiene ningún caso preguntarnos por la probabilidad de que t sea igual a algún valor en particular, ya que esta probabilidad es igual a cero, en lugar de ello nos interesa determinar la probabilidad de que la variable t esté dentro de un intervalo [0, a ]. Para determinar esta probabilidad tenemos que resolver la siguiente integral:

P t a e dt e

a t a ( 0 )

Unidad 9

Teorema. En un sistema de líneas de espera la variable representa el tiempo promedio que dura el servicio. La esperanza y varianza de esta función de distribución exponencial está dada por:

E(t) = V(t) = 2

Ejemplo 4

Un conmutador tarda en promedio 10 seg. desde que acepta la llamada hasta que la transfiere a la extensión deseada. El conmutador sólo puede atender una llamada a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el conmutador se tarde menos de 15 segundos en transferir la siguiente llamada?

Nos indican que el valor de =10 seg., y que a = 15 seg.

P t e dt e

t ( 15 )... %

0 10 1 1 0 2231^ 0 7769^ 77 69

(^15 )

El parámetro determina el tiempo promedio que tardan las estaciones de servicio en atender a un cliente. Este parámetro está íntimamente ligado al parámetro , valor promedio de la función de distribución de probabilidades de Poisson. Matemáticamente esta relación se escribe como:

Esto quiere decir que el parámetro mide el tiempo que transcurre entre el tiempo de un éxito y otro, mientras que mide el número de éxitos en la unidad de tiempo, por lo tanto las dos variables que definimos para ambos procesos son equivalentes, ya que podemos medir el número de

Unidad 9

Ejercicio 2

1. En el modelo Poisson la variable que mide el número de clientes que llegan por unidad de tiempo, es una variable:

a) Determinística b) Continua c) Aleatoria discreta d) Aleatoria continua

2. La función de distribución de probabilidades para el proceso de llegada es:

a)

t e

k

k t

b)

t e

k

k t

c) (^ )

t e

k

k t

d) (^ )

t e

k

k t

3. En el modelo exponencial la fdp del tiempo de servicio está dada por:

a)

e t 0

t

b) e t

t

c) e t

t

d)

e t 0

t

Investigación de operaciones

4. En el modelo exponencial, el tiempo de servicio es una variable:

a) Discreta. b) Aleatoria continua. c) Determinística continua. d) Determinística.

5. Si el tiempo de servicio en una gasolinera es de 0.05 hrs. por cliente, ¿cuántos clientes se atienden en una hora?

a) 15 clientes. b) 18 clientes. c) 22 clientes. d) 20 clientes

9.3. Tiempos de llegada Poisson con servicio exponencial

En esta sección desarrollamos los modelos matemáticos para los sistemas de líneas de espera formados por una sola fila y una única estación de servicio. Presentamos sin demostración cómo este modelo se puede adaptar al caso en el que existe una sola f ila y varias estaciones de servicio e indicamos de manera general el comportamiento de sistemas con varias f ilas (multifila) y con varias estaciones de servicio (multiservicio).

El primer modelo de líneas de espera que vamos a estudiar es el que está formado por una estación de servicio y una única f ila. Empezamos analizando la parte estable del sistema, es decir, el comportamiento del sistema a largo plazo, una vez que ya pasó el periodo de estabilización o transitorio, el cual es más difícil de estudiar.

Investigación de operaciones

Si analizamos el comportamiento del sistema en un intervalo de tiempo suf icientemente pequeño, tenemos las siguientes tres opciones:

a) Que llegue un cliente y salga ninguno. Entonces el sistema tendría n + clientes, ver f igura 9.4.

b) Que salga un cliente y llegue ninguno. Entonces el sistema tendría n - clientes, ver f igura 9.5.

c) Que llegue un cliente y que también salga un cliente. Entonces el sistema permanece con n clientes:

Clientes en la fila

Estación de servicio.

Cliente en la estación de servicio

Figura 9.5.

Cliente que abandonó el sistema

n = 3

Clientes en la fila

Nuevo cliente Estación de servicio.

Cliente en la estación de servicio

Figura 9.4.

Unidad 9

Estos cambios en el sistema sólo dependen de las tasa de entrada (^) n y de la tasa de salida (^) n y nos indican que el estado con n clientes sólo puede cambiar a los estados n – 1 y n +1, por lo tanto, para mantener el sistema en estado estable de n clientes, existen tres eventos mutuamente excluyentes que son:

a) Que el sistema esté en el estado n – 1 y entonces debe existir una entrada al sistema. La probabilidad de este evento es el producto de que el sistema esté en el estado n – 1 ( (^) Pn 1 ) por la tasa de entrada:

P Evento ( 1 ) (^) n 1 * Pn 1

b) Que el sistema esté en el estado n+1 y entonces debe existir una salida del sistema. La probabilidad de este evento es:

P Evento ( 2 ) (^) n 1 * Pn 1

Los dos casos anteriores se consideran f lujo de entrada al estado n , por lo tanto, la tasa esperada de f lujo de entrada al estado n es:

tasa esperada de flujo de entrada al estado n n 1 P n^ 1 n 1 P nn 1

c) Que el sistema esté en el estado n y ocurra una entrada y una salida del sistema. La probabilidad de este evento es:

4

Clientes en la fila

Estación de servicio.

Cliente en la estación de servicio

Figura 9.6.

Cliente que abandonó el sistema

Nuevo cliente