Investigación de Operaciones: Un Enfoque Práctico para Estudiantes de Negocios, Ejercicios de Análisis de Riesgo

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Investigación

de operaciones

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Rodolfo Valentín Muñoz Castorena

Centro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas

Universidad de Guadalajara

María Bernardett Ochoa Hernández

Centro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas

Universidad de Guadalajara

Manuel Morales García

Centro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas

Universidad de Guadalajara

Investigación

de operaciones

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos

Editor sponsor: Jesús Mares Chacón Coordinadora editorial: Marcela Rocha Martínez Editora de desarrollo: Karen Estrada Arriaga

Supervisor de producción: Zeferino García García

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Primera edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2011, respecto de la primera edición por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0598-

All rights reserved

1098765432 1098765432101

Impreso en México Printed in Mexico

• UNIDAD 1 ¿Qué es la investigación de operaciones? Introducción VIII
• 1.1 Origen de la investigación de operaciones
• 1.2 Modelo
  • Clasificación de los modelos
  • Ventajas y desventajas del empleo de modelos matemáticos
• 1.3 Optimización..................................................................................................
  • Problemas de optimización
• Unidad II Programación lineal
• 2.1 Concepto de programación lineal
• 2.2 Planteamiento de problemas en términos de programación lineal
• 2.3 Estructura general de un modelo de programación lineal
• 2.4 Método gráfico...............................................................................................
• 2.5 Teoría del método símplex
• 2.6 Dualidad
• Unidad III Transporte y asignación
• 3.1 Modelos de transporte
  • 3.1.1 Método de la esquina noroeste
  • 3.1.2 Método del costo menor.....................................................................
  • 3.1.3 Método Vogel
• 3.2 Método de cruce de arroyo o de piedra rodante
  • Pasos para resolver el método de arroyo
• 3.3 Modelo de asignación
  • Pasos para aplicar el método húngaro.........................................................
• Unidad IV Modelos de optimización de redes
• 4.1 Modelos de redes
  • Ruta
  • Lazo dirigido
• 4.2 Algoritmo de la ruta más corta
  • Algoritmo de Dijkstra.....................................................................................
  • Algoritmo de Floyd.........................................................................................
• 4.3 Modelo de flujo máximo
  • 4.3.1 Características del modelo de flujo máximo
  • de flujo máximo Algoritmo de la trayectoria de aumento en el caso del problema
• 4.4 CPM y PERT
  • Representación de las redes PERT y CPM
  • Cálculo de la ruta crítica (CPM)
• Ejercicios
• Problema 1.............................................................................................................
• Problema 2.............................................................................................................
• Problema 3.............................................................................................................
• Problema 4.............................................................................................................
• Problema 5.............................................................................................................
• Problema 6.............................................................................................................
• Glosario
• Bibliografía
• Índice

VII

Mtro. Rodolfo Valentín Muñoz Castorena

Es maestro en Tecnologías de Información por la Universidad de Guadalajara; actual-

mente cursa el Doctorado en Educación en la misma institución.

Es profesor de asignatura A en el Centro Universitario de Ciencias Económico

Administrativas (CUCEA), así como del Departamento de Métodos Cuantitativos y asis-

tente del Programa de Formación Docente en el CUCEA.

Además, desde el 2005 se desempeña como Secretario y Presidente de la Academia

de Optimización.

Mtra. María Bernardett Ochoa Hernández

Es licenciada en Economía por la Universidad de Guadalajara, maestra en Investiga-

ción Educativa por el Centro de Estudios Pedagógicos y Sociales de la Secretaría de

Educación Jalisco y actualmente cursa estudios de Doctorado en Educación en dicha

universidad.

Se desempeña como profesor investigador titular B de tiempo completo en el Cen-

tro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA).

Ha sido Presidente de la Academia de Investigación y Desarrollo del Departamento

de Administración por ocho años consecutivos (desde el 2003 hasta el 2010). Actual-

mente es profesora de los Departamentos de Administración y Métodos Cuantitativos y

Responsable del Programa de Formación Docente en el CUCEA.

En tres ocasiones ha contado con el perfil PROMEP y es autora de diversos libros

y artículos en revistas internacionales, además ha dirigido tesis a nivel licenciatura y

maestría.

Mtro. Manuel Morales García

Es licenciado en Economía por la Universidad de Guadalajara y maestro en Economía

y Administración de Empresas por el ESADE en Barcelona, España.

Hasta mayo del 2010 se desempeñó como Jefe del Departamento de Métodos Cuan-

titativos de la División de Economía y Sociedad del CUCEA. Actualmente es profesor

Titular B del Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas.

De 2001 a 2007 se desempeñó como Secretario de la Dirección de Finanzas de la

Universidad de Guadalajara. Además participó como miembro del Gabinete Econó-

mico Universitario, del Consejo Técnico de Planeación Universitario y del Comité de

Calidad de la Dirección de Finanzas.

Actualmente funge como titular del Órgano Técnico de Hacienda Pública de la

Comisión de Hacienda y Presupuestos en la LIX Legislatura del Congreso de Jalisco.

AcErcA dE l Os A utOrEs

¿Qué es la investigación

de operaciones?

Unidad

I

Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de:

explicar qué se entiende por investigación de operaciones. describir qué es un modelo. mencionar algunas aplicaciones de la investigación de operaciones. explicar los diferentes tipos de modelos. diseñar modelos para casos específicos.

Unidad

I

La investigación de operaciones (IO) es la disciplina que enfrenta un problema concreto, lo divide en pequeñas partes, lo cual facilita el análisis de cada una de ellas, para obtener un problema abstracto o, mejor aún, un modelo, todo ello mediante una investigación del sistema donde ocurre el problema, con el fin de ofrecer acciones o alternativas de solución. […]La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de producir soluciones que sirvan mejor a los objetivos de la organización…^1 Algunos autores utilizan el término ciencias de la administración como sinónimo de inves- tigación de operaciones.^2 La IO se define como un conjunto de modelos matemáticos aplicables a la solución de ciertos proble- mas orientados a la toma de decisiones, en los que se involucran variables de decisión en los cuales se desea optimizar:

1. El uso de los recursos para lograr un determinado fin cuantificable. 2. Los problemas más o menos complejos que se presentan en una organización social cuya solución empírica resulta demasiado costosa e inadecuada.

(^1) Francisco J., González Hernández, Breve introducción a la investigación de operaciones , pp. 7 y 8. (^2) Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones , pp. 2 y 3.

Investigación de operaciones (IO). Disciplina que divide un problema con- creto en pequeñas partes que analiza para obtener un problema abstracto o un modelo y así ofrecer acciones o alternativas de solución.

2 UNIDAD I ¿Qué es la investigación de operaciones?

1.1 Origen de la investigación de operaciones

Los primeros esfuerzos por estructurar esta disciplina se realizaron durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la administración militar convocó a un grupo de científicos de distintas áreas del conocimiento para que estudiaran y ofrecieran soluciones viables a pro- blemas tácticos y estratégicos asociados con la defensa del país. Aparentemente, la investigación de operaciones (IO) fue bautizada así debido a que el equipo realizaba una investigación de operaciones militares. Un grupo importante de administradores militares de Estados Unidos inició algunas in- vestigaciones similares, motivados por los resultados alentadores que obtuvieron los equipos británicos. Para llevarlas a cabo, reunieron a varios especialistas, quienes lograron resultados tan sorprendentes que obligaron a concentrar la atención en este nuevo enfoque científico. En sus estudios se incluyeron problemas logísticos complejos, tales como la planeación de minas en el mar y la eficaz utilización de equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los éxitos que consiguieron los estrategas militares, algunos administradores industriales comenzaron a aplicar esta herramienta para resolver los problemas que originaban el tamaño y la complejidad de las industrias. En un principio se acreditó a Gran Bretaña el mérito de haber utilizado la IO como una nueva disciplina, pero Estados Unidos tomó pronto el liderazgo en este campo creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio fue el método símplex de programación lineal , desarrollado en 1947 por el matemático esta- dounidense George B. Dantzig. Desde entonces, se han incorporado nuevas téc- nicas y otras se han perfeccionado gracias al esfuerzo y cooperación de expertos interesados tanto en el área académica como en la industrial. En el progreso impresionante de la investigación de operaciones fue deter- minante el desarrollo de la computadora digital, que con sus enormes capacida- des de velocidad de cómputo, almacenamiento y recuperación de información, permitió a los tomadores de decisiones actuar con rapidez y precisión. De no haber sido por la computadora digital, esta disciplina que plantea grandes problemas de computación no hubie- ra crecido hasta el nivel en el que se encuentra hoy en día. En la actualidad, la IO se aplica a distintas actividades, que trascienden los ámbitos milita- res e industriales, para incluir actividades tales como la salud pública, instituciones financieras, bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización. 3 Cabe mencionar que la IO ha sido un factor de primera importancia en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones alrededor del mundo, y su aplicación ha contribuido en gran medida al incremento de la productividad de la economía de algunos países.

1.2 Modelo

Un modelo se define como una representación simplificada o idealizada de una parte de la realidad; o, según el Diccionario de la lengua española es: […]un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su compren- sión y el estudio de su comportamiento[…].^4 Los modelos, que se definen como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables alternativas de decisión del problema (véase figura 1.1), deben conte- ner los siguientes tres elementos:

Método símplex de programación lineal. Primer procedimiento matemáti- co ampliamente aceptado en la inves- tigación de operaciones, basado en la iteración para ir mejorando la solución a cada paso.

Modelo. Representación simplificada o idealizada de una parte de la realidad.

(^3) Op. cit. , p. 3. (^4) Real Academia Española, Diccionario de la lengua española , vigésima segunda edición, http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta? TIPO_ BUS=3&LEMA=modelo, consultado el 4 de octubre de 2010.

4 UNIDAD I ¿Qué es la investigación de operaciones?

Además de la clasificación anterior, existen otras que son independientes de los modelos matemáticos que se mencionaron y que pueden agruparse bajo la perspectiva de uno o varios de los términos que aparecen en la tabla 1.1. Tabla 1.1 Términos de los modelos matemáticos

Tabla 1.2 Ventajas y desventajas de los modelos matemáticos

Término Definición Modelos físicos Se representan a escala y se construyen con base en problemas concretos. Modelos abstractos Se les denomina así debido a que es impredecible usar expresiones simbólicas para representar el comportamiento del sistema; es decir, se construyen mediante el empleo de gran cantidad de símbolos. Modelos estáticos Representan la realidad en una determinada unidad de tiempo. Modelos dinámicos Interpretan la evolución de una parte de la realidad en un tiempo determinado. Modelos determinísticos Representan un fenómeno que se comporta regularmente a intervalos iguales y, por consiguiente, es factible predecir su comportamiento con un cierto margen de error aceptable o tolerable. Modelos aleatorios Describen un fenómeno que se comporta regularmente en intervalos diferentes; por lo tanto, predecir su comportamiento es muy difícil.

Ventajas Desventajas Permiten apreciar cuáles son las variables importan- tes del problema y cómo se relacionan entre sí.

Pueden llevar a simplificaciones exageradas o excesivas si se pretende que el modelo se aplique a situaciones muy diversas, lo que puede provocar la omisión de variables que puedan ser importantes. Ayudan a operacionalizar las variables con base en ciertos patrones o indicaciones.

Su implementación puede ser demasiado costosa o compleja. Suministran una base cuantitativa para la toma de decisiones.

Optimizar. Logro de mayores beneficios con una mínima inversión de recursos.

Es necesario destacar que, a pesar de la existencia de otras importantes clases de modelos, el objetivo principal de esta sección es el estudio de los modelos matemáticos.

Ventajas y desventajas del empleo de modelos matemáticos

Cuando se utilizan modelos matemáticos para representar el comportamiento de una situación en particular, se presentan las ventajas y desventajas de la tabla 1.2.

1.3 Optimización

Se considera que optimizar es la función de lograr mayores beneficios con la mínima cantidad de recursos invertidos; es decir, buscar la mejor manera de realizar una actividad. Arsham Hosseim, experto en el tema, explica que la …también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporcio- na el mejor resultado, la que obtiene mayores ganancias, mayor producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la mane- ra más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los

Actividades de la unidad I 5

El problema: Minimizar: Z = x 1 + x 2

Sujeto a: x 1 – x 2 = 3 x 2 ≥ 2

Maximizar Z = 4 x 1 + 5 x 2

Sujeto a: 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 15 2 x 1 + 3 x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0

Cabe señalar que la última restricción, de no negatividad, indica que las variables que se utilizaron en el modelo deben ser positivas o ceros puesto que, si se deseara producir, por ejemplo, dulces, no se podrían producir –4 dulces.

1. Construya su propia definición de investigación de operaciones.
2. Relacione la investigación de operaciones con las materias del contenido curricular de su carrera o nivel educativo. Conteste: a ) ¿Cómo se relaciona? b ) ¿Para qué sirve?

(^6) Arsham Hosseim. Modelos deterministas: optimización lineal, http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/spanishD.htm#rop, consultado el 4 de octubre de 2010.

problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables…^6

Problemas de optimización

En un problema se trata de maximizar o minimizar una cantidad específica llamada objetivo, la cual depende de un número finito de variables de entrada. Éstas pueden ser independientes entre sí o relacionarse a través de una o más restricciones.

Éste es un problema de optimización del objetivo z , en el que las variables de entrada son x 1 y x 2. Se desean obtener valores de las variables de entrada que minimicen el objetivo principal, sujetos a las limitaciones impuestas por las restricciones. Un programa matemático como el del ejemplo anterior es lineal si f ( x 1 , x 2 , …, x (^) n ) y cada g (^) i ( x 1 , x 2 , …, xn ) donde ( i = 1, 2, …, m ) se dan como funciones matemáticas y como ilaciones funcionales (como sucede en el primer ejemplo).

Programación

lineal

Unidad

II

Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de:

explicar qué entiende por programación lineal. exponer los pasos para plantear un problema dado. explicar cómo se forman las restricciones y la función objetivo. mencionar la estructura general de un modelo de programación lineal. resolver e interpretar problemas mediante el empleo del concepto de método gráfico. resolver e interpretar problemas mediante el empleo del concepto de método símplex.

2.1 Concepto de programación lineal

La programación lineal , que es un procedimiento matemático que ayuda a asig- nar de manera óptima los recursos escasos, consta de una o más funciones obje- tivo, un conjunto de restricciones y una restricción de no negatividad. Esta herramienta es una técnica de modelado matemático diseñada para optimizar el empleo de los recursos limitados. Se aplica con éxito en el ejército, la agricultura, la industria, el transporte, la economía, los sistemas de salud e, incluso, en las ciencias conductuales y sociales.^1

2.2 Planteamiento de problemas en términos de programación lineal

Los modelos de programación lineal son normativos y poseen tres conjuntos básicos de elemen- tos, a saber:

• Variables de decisión y parámetros
• Conjunto de restricciones
• Una o más funciones objetivos

(^1) Hamdy A. Taha, Investigación de operaciones , 7a. ed., p. 11.

Programación lineal. Procedimiento matemático con una o más funciones objetivo, un conjunto de restricciones y una restricción de no negatividad para determinar la asignación óptima de recursos escasos.

8 UNIDAD II Programación lineal

Variables de decisión. Cantidades que se desconocen y que deben determi- narse en la solución de un problema cuyo modelo se plantea.

Recurso básico Mano de obra

Escritorios

Mesas

Figura 2.1 Distribución de mano de obra.

Parámetros. Valores que especifican la relación entre las variables de decisión.

Producto Horas laboradas Operación

Total de horas a la semana Mesa (^6 6) x 1 + 8 x 2 ≤ 80 Escritorio 8

Tabla 2.1 Reunión de datos importantes de una restricción

Conjunto de restricciones. Son las limi- taciones que restringen las variables de decisión que consumirán valores permisibles en el modelo.

Las variables de decisión son las cantidades desconocidas que deben deter- minarse en la solución de un problema cuyo modelo se plantea. Un ejemplo para definir una variable de decisión podría ser la cantidad de un determinado producto que debe fabricarse en una operación de producción que involucra diversos productos a partir de un mismo recurso básico (véase figura 2.1).

En la figura 2.1 se indica que, a partir de un recurso básico, que en este ejemplo es la mano de obra, pueden fabricarse diversos productos (escritorios y mesas). Los parámetros son los valores que describen la relación entre las variables de decisión y que permanecen constantes en cada problema, pero varían en problemas distintos. Por ejemplo, las horas de mano de obra que se requieren para elaborar cada uno de estos productos. Supongamos que en la producción de cada mesa se emplean 6 horas y en la de cada escritorio, 8 horas; en conse- cuencia, la relación función de mano de obra es la siguiente:

Mano de obra para fabricar los productos 6 x 1 + 8 x 2

lo cual nos da el tiempo total que se consume en el proceso de fabricación.

Conjunto de restricciones. Para incluir las limitaciones que se presentan en el problema cuyo modelo se plantea, éste debe contener cualquiera de las res- tricciones que limiten las variables de decisión que consumirán valores permisi- bles. Por ejemplo, supongamos que el departamento de fabricación de mesas y escritorios trabaja 80 horas por semana; entonces, la restricción correspondien- te a esta limitante sería:

6 x 1 + 8 x 2 ≤ 80 horas

Si reunimos toda la información descrita en una tabla, ésta tendría la forma y los conteni- dos siguientes:

La función objetivo define la eficacia del modelo en función de las variables de decisión. Por ejemplo, si el objetivo debe definir éstas en términos de las varia- bles de decisión en forma matemática indica que se obtiene una utilidad de 210 unidades monetarias por cada mesa y una utilidad de 360 por cada escritorio que se fabrique y se venda.

Función objetivo. Define la eficacia del modelo en función de las variables de decisión.

10 UNIDAD II Programación lineal

La frase “La compañía obtiene una utilidad de $2 000 por cada comedor tipo 1 y $2 400 por cada comedor tipo 2” refleja con claridad cuántas variables de decisión se usarán y, a su vez, cuál será la función objetivo. Otro aspecto que debe definirse con claridad es el objetivo del problema que se va a resolver; en este caso, se tiene:

Objetivo = maximizar utilidades

Por lo tanto, las utilidades totales se obtienen mediante la siguiente ecuación:

2 000 x 1 + 2 400 x 2

sujeta a las restricciones de tiempo disponible para construcción y pintura. En el caso de la construcción de comedores existe la siguiente restricción:

6 x 1 + 12 x 2 ≤ 120

Para la pintura, la restricción es:

8 x 1 + 4 x 2 ≤ 64

Luego de reunir todos los datos y de acuerdo con la estructura general de un MPL, se obtiene lo siguiente:

Maximizar z = 2 000 x 1 + 2 400 x 2 Sujeto a: 6 x 1 + 12 x 2 ≤ 120 8 x 1 + 4 x 2 ≤ 64 x 1 , x 2 ≥ 0

Una compañía de zapatos, especialista en la fabricación de botas, no vende en forma directa al público, sino que lo hace a través de tiendas al menudeo. Según las fluctuaciones de los costos de la materia prima la empresa ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro. Debido a esas variaciones y a que el costo unitario del manejo y almacenamiento es de $11.00 por mes, la compañía considera que resulta conveniente fabricar pares de botas demás en algunos meses para venderlos en meses posteriores. Los administradores han pronosticado la demanda y los costos de producción de los siguientes 8 me- ses. Además, desean programar la producción de este periodo para minimizar los costos totales de produc- ción y almacenamiento, como se muestra en la tabla 2.2.

Mes Costo proyectado por par Demanda pronosticada 1 360 150 000 2 420 110 000 3 380 180 000 4 400 100 000 5 350 200 000 6 390 180 000 7 370 110 000 8 410 170 000

Tabla 2.2 Costos proyectados por mes

2.3 Estructura general de un modelo de programación lineal 11

Plantee el modelo de programación lineal correspondiente.

Solución:

En primer término , deben definirse las variables de decisión.

Sea:

xij = pares de botas que se fabrican en el mes i y se venden en el mes j.

Después, debe tenerse bien delimitado el objetivo del problema. Objetivo: Minimizar costos de fabricación y almacenamiento.

Min z = 360 x 1, 1+371 x 1,2+382 x 1,3+393 x 1,4+404 x 1,5+415 x 1,6+426 x 1, +437 x 1,8+420 x 2,2+431 x 2,3+442 x 2,4+453 x 2,5+464 x 2,6+475 x 2, +486 x 2,8+380 x 3,3+391 x 3,4+402 x 3,5+413 x 3,6+424 x 3,7+435 x 3, +400 x 4,4+411 x 4,5+422 x 4,6+433 x 4,7+444 x 4,8+350 x 5,5+361 x 5, +372 x 5,7+383 x 5,8+390 x 6,6+401 x 6,7+412 x 6,8+370 x 7,7+381 x 7, +410 x 8,

En este caso, tomemos, por ejemplo, el 360 x 1,1 donde i = 1 y j = 1, es decir, el costo de las botas fabrica- das en el mes 1 y vendidas en el mes 1 es de $360.00 Bajo el supuesto de que en ese mes no se vendan todas las botas, las tendrán que vender en el mes 2 con un costo adicional de $11.00 por almacenamiento, lo cual significa que las botas fabricadas en el mes 1 y vendidas en el mes 2 tendrán un costo total de $371, esto es, $360 + $11, lo que da como resultado la variable “371 x 1, 2”. Una vez que hayamos determinado la función objetivo, tendremos que definir las restricciones a las cuales se encuentra sujeta.

Sujeta a:

x 1,1 ≥ 150 000 x 1,2 + x 2,2 ≥ 110 000 x 1,3 + x 2,3 + x 3,3 ≥ 180 000 x 1,4 + x2,4 + x 3,4 + x 4,4 ≥ 100 000 x 1,5 + x 2,5 + x 3,5 + x 4,5 + x 5,5 ≥200 000 x 1,6 + x 2,6 + x 3,6 + x 4,6 + x 5,6 + x 6,6 ≥ 180 000 x 1,7 + x 2,7 + x 3,7 + x 4,7 + x 5,7 + x 6,7 + x 7,7 ≥ 110 000 x 1,8 + x 2,8 + x 3,8 + x 4,8 + x 5,8 + x 6,8 + x 7,8 + x 8,8 ≥ 170 000 x (^) i, j ≥ 0

Para obtener dichas restricciones se tomaron en cuenta las siguientes consideraciones:

Por ejemplo, en el mes 2, la restricción es:

x 1,2 + x 2,2 ≥ 110 000

Esta restricción indica que las botas que no se vendieron en el mes 1 y se guardaron para venderse en el mes 2 ( x 1,2) se suman a las que se fabricaron en el mes 2 ( x 2,2), con lo cual tenemos:

x 1,2 + x 2,

Ahora, si en el mes 2 la demanda pronosticada es de 110 000 pares, se obtiene la restricción de ese mes:

x 1,2 + x 2,2 ≥ 110 000

Es así como se obtuvieron las restricciones de este problema.