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Asignatura: Investigacion de Operaciones

Catedrático: Ing. Juan Etzael Vázquez Ceballos

Alumna: Maria Guadalupe Oviedo Guerrero

No. de Control: 18201033

Rioverde S.L.P. a lunes 25 de mayo de 2 020

Método de Asignación.

Estructura básica de los modelos de línea de espera.

Un servidor, una cola.

N servidores, una cola.

N servidores, n colas.

Criterios bajo la distribución de Poisson y Exponencial para la selección

del modelo apropiado de líneas de espera.

Aplicación de modelos de decisión en líneas de espera.

Modelos de pronósticos.

Modelos de pronósticos para un nivel constante.

Efectos estacionales en los modelos de pronósticos.

Suavizado exponencial en modelos de tendencia lineal.

Errores en los pronósticos.

Pronósticos causales con regresión lineal.

Definición y tipos de inventarios.

Ventajas y desventajas de los inventarios.

Costos de inventarios.

Modelos determinísticos.

Modelos probabilísticas.

Planeación de requerimientos de materiales.

Gráfica de Gantt.

Método de la ruta crítica (PERT/CPM).

Terminología.

Construcción de una red.

Determinación de la ruta crítica.

Compresión de redes.

Análisis de una red PERT.

Programación y control de proyectos basados en costos.

6. Localizar el menor elemento de la matriz que no esté cubierto por ninguna línea, el cual deberá restarse a cada elemento no cubierto por ninguna línea y sumarse a cada elemento cubierto por 2 líneas. (de aquí regresamos al 4 paso). La solución también se puede obtener sumando (P1-Pn)+(q1-qn)

Ejemplo 1

El jefe de turno de una fábrica está buscando la manera óptima de asignar 6 trabajadores a 5 tareas distintas. Dispone de una tabla en la que agrupa los tiempos en minutos que tarda cada trabajador para efectuar cada tarea.

Sean Pi y qj los costos mínimos del renglón i y la columna j.

Trabajador 1 2 3 4 5 6 Tarea 3 5 2 1 Ficticia 4 Tiempo 56 49 57 59 0 60 Total 281 min

Ejemplo 2

Los hijos de Joe Klyne y Terri, quieren ganar algo de dinero para sus gastos personales durante un viaje de la escuela al zoológico. El señor Klyne a destinado 3 tareas para sus hijos: podar el pasto, pintar la cochera, y lavar los automóviles de la familia. Para evitar discusiones, les pide que presenten ofertas (secretas) de lo que crean que es un pago justo para cada una de las tareas. Y su papa le asignara una de ellas a cada uno.

John pintar cochera $10 lavar automóviles $9 podar el pasto $ Karen lavar automóviles $10 pintar cochera $15 podar el pasto $ Terri podar el pasto $10 lavar los automóviles $8 pintar la cochera $

Podar Pintar Lavar John 15 10 9 Karen 9 15 10 Terri 10 12 8

Respuesta: John va a pintar la cochera, Karen podar el pasto y Terri lavar los automóviles, teniendo un costo total de $

Ejemplo 3

Supongamos que el ejemplo anterior cambia a 4 hijos y 4 tareas asumiendo que ya leímos y escribimos de manera correcta la tabla se tomara la siguiente como el acomodo de los datos.

1 2 3 4

Respuesta: El primer hijo hará la primer actividad, el segundo hijo la tercera, el tercer hijo la segunda y el cuarto hijo la cuarta actividad, teniendo un costo total de $

2. Una línea o fila de espera formada por los clientes.
3. La instalación de servicio, constituida por una persona (o una cuadrilla), una máquina (o grupo de máquinas) o ambas cosas si así se requiere para proveer el servicio que el cliente solicita.
4. Una regla de prioridad para seleccionar al siguiente cliente que será atendido por la instalación de servicio.

La fuente de insumos para el sistema de servicio es una población de clientes. Si el número potencial de nuevos clientes para el sistema de servicio resulta afectado notablemente por el número de clientes que ya se encuentran en el sistema, se dice que esa fuente de insumos es finita.

En forma alternativa, la población de clientes infinita es aquella en la que el número de clientes que entran al sistema no afecta la tasa a la cual dicha población genera nuevos clientes.

En el contexto de los problemas de líneas de espera, un cliente paciente es el que entra al sistema y permanece allí hasta ser atendido; un cliente impaciente es el que o bien decide no entrar al sistema (arrepentido) o sale de éste antes de haber sido atendido (desertor). Para simplificar los métodos, en este suplemento utilizaremos como supuesto que todos los clientes son pacientes.

Número de filas. Las filas de espera se diseñan en forma de una sola fila o filas múltiples. En general, se utiliza una sola fila en mostradores de aerolíneas, cajas de los bancos y algunos restaurantes de comida rápida, mientras que las filas múltiples son comunes en los supermercados y espectáculos públicos como teatros o canchas de fútbol. El diseño de filas múltiples es preferible cuando algunos de los servidores proveen un conjunto de servicios limitado.

Disposición de instalaciones de servicio. Las instalaciones de servicio consisten en el personal y/o el equipo necesario para proporcionar dicho servicio al cliente.

a) Un solo canal, una sola fase: todos los servicios solicitados por un cliente suelen impartirse por una instalación con un solo servidor. En ese caso, los clientes forman una sola fila y circulan uno por uno a través de la instalación de servicio.

b) Un solo canal, múltiples fases: se usa cuando es más conveniente que los servicios se impartan en secuencia por varias instalaciones, pero el volumen de la clientela y otras restricciones limitan el diseño a un solo canal.

c) Múltiples canales, una sola fase: se usa cuando la demanda es suficientemente grande para justificar que se suministre el mismo servicio en más de una instalación, o bien, cuando los servicios ofrecidos por las instalaciones son diferentes.

d) Múltiples canales y múltiples fases: se presenta cuando los clientes pueden ser atendidos por una de las instalaciones de la primera fase, pero después requieren los servicios de una instalación de la segunda fase, y así sucesivamente. En algunos casos, los clientes no pueden cambiar de canales después de iniciado el servicio; en otros sí pueden hacerlo.

La regla de prioridad determina a qué cliente se deberá atender a continuación. En la mayoría de los sistemas de servicio que conocemos, se aplica la regla de «a quien llega primero, se atiende primero». El cliente que está en primer lugar en la fila de espera tiene la más alta prioridad, y el que llega al final tiene la prioridad más baja.

Una disciplina prioritaria consiste en una regla que permite a un cliente de más alta prioridad interrumpir el servicio de otro cliente. Por ejemplo, en la sala de emergencias de un hospital, los pacientes que llegan con heridas que representan amenazas más graves para la vida son atendidos primero, sin importar en qué orden hayan llegado.

La variabilidad en los intervalos de llegada de los clientes a menudo se describe por medio de una curva de distribución de Poisson, la cual especifica la probabilidad de que n clientes lleguen en T periodos de tiempo:

La distribución de Poisson es una distribución discreta; es decir, las probabilidades corresponden a un número específico de llegadas por unidad de tiempo.

:

Para especificar con más detalle el modelo, haremos las siguientes suposiciones:

1. La población de clientes es infinita y todos los clientes son pacientes.
2. Los clientes llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y con una tasa media de llegadas de λ
3. La distribución del servicio es exponencial, con una tasa media de servicio de 𝜇
4. A los clientes que llegan primero se les atiende primero.
5. La longitud de la fila de espera es ilimitada.

A partir de ellas, podemos aplicar varias fórmulas para describir las características de operación del sistema:

:

Tenemos s servidores idénticos, y la distribución del servicio para cada uno de ellos es exponencial, con un tiempo medio de servicio igual a 1/μ

:

En este caso, la población de clientes es finita, porque sólo existen N clientes potenciales. El modelo con fuente finita es el que más conviene utilizar. Las fórmulas que se usan para calcular las características de operación del sistema de servicio son:

1. Tasas de llegada. Es frecuente que la administración tenga la posibilidad de influir en la tasa de llegada de los clientes, λ, ya sea por medio de publicidad, promociones especiales o precios diferenciales.
2. Número de instalaciones de servicio. Al aumentar el número de recursos o instalaciones de servicio, la gerencia logra acrecentar la capacidad del sistema.
3. Número de fases. Los gerentes pueden optar por asignar tareas de servicio a fases secuenciales, si consideran que dos instalaciones de servicio secuenciales son más eficientes que una sola. Un cambio en la disposición de la instalación suele incrementar la tasa de servicio, μ, de cada recurso y la capacidad de todo el sistema.
4. Número de servidores por instalación. Los gerentes influyen en la tasa de servicio al asignar más de una persona a una misma instalación de servicio.
5. Eficiencia del servidor. Mediante un ajuste de la razón entre el capital y la mano de obra, la gerencia puede elevar la eficiencia de los servidores asignados a una instalación de servicio. Los cambios de ese tipo se reflejan en μ.
6. Regla de prioridad. Los gerentes establecen la regla de prioridad que debe aplicarse, deciden si cada instalación de servicio deberá tener una regla de prioridad diferente.
7. Disposición de las filas. Los gerentes pueden influir en los tiempos de espera de los clientes y en la utilización de servidores, al decidir si habrá una sola fila o si cada instalación tendrá su respectiva fila en el curso de una fase o servicio determinado.

2. El departamento de control de calidad el empresa envases plásticos de Rioverde llegan

cada hora 4 lotes de envases para su inspección, que se realiza por parte de los encargados, cada uno de los cuales tarda 34 minutos en la revisión, en un turno de 8 horas.

a. ¿Cuántos botes de envases en espera de ser revisados habrá final del mismo? 6 lotes en espera

b. ¿Cuál será el número promedio de lotes en la línea de espera a lo largo del turno? 2.875 lotes promedio en espera

0 en espera: 26+18+10+2= 56 minutos

2 en espera: 34+34+34+34+28+20+12+4= 200 minutos

4 en espera: 8+16+24+32+34+34+34= 182 minutos

6 en espera: 6+14+22= 42 minutos

Este modelo se aplica a sistemas de líneas de espera cuyas llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson; sus tiempos de servicios se representan por medio de la distribución exponencial negativa, tiene un solo servidor, la capacidad del sistema es infinita y la disciplina de la línea es del tipo PEPS.

Para este tipo de modelos es usual aplicar la metodología de la simulación.

En estos sistemas para que haya estabilidad λ deberá ser menor que μ, ya que si fuese mayor, la longitud de la línea de espera se volvería muy grande con el lapso del tiempo.

Ejemplo

El propietario de un minisúper desea saber las características de la fila qué se hace en la única caja que dispone su negocio. Se ha hecho observaciones sobre el sistema de línea de espera del establecimiento, llegando a la conclusión de que puede describirlo mediante modelo M/M/1, con una tasa de llegada de 9 clientes por hora y una tasa promedio de servicio de 12 clientes por hora. En esta situación:

a) ¿Cuáles serán las características de la línea de espera?

b) ¿Cuál sería la probabilidad de que un cliente permanezca 10 minutos en espera?

c) ¿Cuál sería la probabilidad de que un cliente permanezca 30 minutos en el sistema?

d) ¿Cómo cambiarían estos parámetros se modificará la tasa de servicio?

μ

= 0.333 ℎ𝑟𝑠 = 20 min 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

= 0.25 ℎ𝑟𝑠 = 15 min 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜

) = 0.455 = 45.5% 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢𝑟𝑒 10 min 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎

) = 0.233 = 23.3% 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢𝑟𝑒 30 min 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Actividad 3

De acuerdo con el ejemplo anterior, ¿cómo cambian estos parámetros si se modifica la tasa de servicio a 15, 14, 13, 11 y 10 clientes por hora?

15 clientes por hora:

P= 60% del sistema está ocupado Po= 40% de probabilidad de que este vacio L= 1.5 clientes en el sistema Lq= 0.90 clientes en espera W= 10 min en el establecimiento

Este modelo es igual al anterior excepto en el tercer parámetro ya que ahora se tendrán S servidores, cada uno de los cuales atenderá a los clientes con la misma tasa promedio de servicio μ. El sistema de la línea de espera formada será estable cuándo λ sea menor al producto de S por μ. Las fórmulas descriptivas de las características del sistema son más complicadas que las del modelo anterior. El factor de utilización del sistema P, vendrá dado por:

𝑝 =

𝑆μ Por su parte la probabilidad de que el sistema este vacío Po será:

𝑝𝑜 =

𝑛 𝑛! +^

𝑆 𝑛=

La probabilidad de que el sistema esté ocupado, Pso, ocurrirá cuando el número de clientes en el sistema n, sea mayor o igual que S, y se puede obtener con la siguiente formula:

El número promedio de clientes en la línea de espera Lq, será:

Por su parte, el número promedio de clientes en el sistema L vendrá dado por:

𝐿 = 𝐿𝑞 + 𝑝𝑆

Mientras que los tiempos promedio que tarda un cliente en el sistema w, o en la línea de espera wq, vendrán dados por las ecuaciones 13.12 y 13.13, respectivamente. Por su parte, la probabilidad de que un cliente pase un tiempo igual o mayor que t en espera será:

Y la probabilidad de que el cliente pase un tiempo igual o mayor que t en el sistema será:

𝑡=𝐸𝑥𝑝(−𝜇𝑡)[1+𝑝𝑠𝑜1−𝐸𝑥𝑝[−𝜇𝑡(𝑠−1−𝑝𝑠−1−𝑝𝑠 𝑠)]]

Ejemplo:

Un banco cuenta con 3 cajas de servicio atendidas cada una de ellas por un servidor. Cada caja tiene su propia línea de espera, pero un ingeniero que es amigo del gerente del banco le ha sugerido que sería mejor si hubiese una sola línea de espera, en la que se formasen todos los clientes que van al banco, para de allí ser atendidos luego por alguno de los tres cajeros, quienes atenderán a la única línea de espera. Si la tasa promedio de llegada de los clientes en días normales es de 36 por hora y la tasa media de servicio de cada servidor es de 15 clientes por hora, lo que hace un tiempo promedio de servicio de 4 minutos por cliente, ¿será razonable lo que el ingeniero propone al gerente?

Solución : como el banco funciona hoy puede considerarse como tres sistemas idénticos de líneas de espera de tipo M/M/1 en paralelo, con λ= 36/3= 12 clientes/h en cada fila. Entonces las características de cada uno de estos sistemas se calculan con las ecuaciones 13.7 a 13.14 para obtener:

μ

Por su parte, lo que el ingeniero propone al gerente del banco es un sistema M/M/S, para el que se calculan sus características mediante las formulas:

((3)(0.8)^3 0.

3 𝑛=

Donde la sumatoria será:

(2.4)^0

3

𝑛=

(2.4)^1

(2.4)^2

(2.4)^3

Con lo cual, Po será:

Entonces Pso es:

(2.4)^3

Por su parte, los restantes parámetros son:

El pronóstico es un proceso de estimación de un acontecimiento o fenómeno, regularmente económico en el cual se involucra el tiempo, proyectando hacia el futuro datos del pasado, para realizar una estimación cuantitativa del comportamiento del fenómeno estudiado hacia el futuro.

La predicción, previsión o adivinación, es un proceso de estimación de un suceso futuro basándose en consideraciones subjetivas diferentes a los simples datos provenientes del pasado; estas consideraciones subjetivas no necesariamente deben combinarse de una manera predeterminada. Es decir, cuando se base en suposiciones subjetivas y no existen datos del pasado, se requiere una predicción, y de lo contrario, se necesita un pronóstico.

Los pronósticos son la base de la planificación corporativa a largo plazo. El personal de producción y de operación utiliza pronósticos para tomar decisiones periódicas con respecto a la selección de procesos, a la planificación de la capacidad, a la planificación de la producción, a la programación de actividades y al inventario.

:

Los pronósticos se pueden clasificar en cuatro tipos básicos: cualitativos, análisis de series de tiempo o cuantitativos, relaciones causales y simulación.

El análisis de series de tiempo se basa en la idea de que se pueden usar los datos relacionados con la demanda del pasado para realizar pronósticos.

Los pronósticos causales suponen que la demanda está relacionada con uno o más factores subyacentes del ambiente.

Los modelos de simulación permiten al pronosticador recorrer una gama de suposiciones sobre la condición del pronóstico.

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Promedio Móvil Simple: Se promedia un periodo que contiene varios puntos de datos, dividiendo la suma de los valores de los puntos entre el número de puntos. Así, cada punto tiene la misma influencia.

Promedio Móvil Ponderado: Ciertos puntos se ponderan más o menos que otros, según se considere conveniente de acuerdo con la experiencia.

Suavizamiento o suavización Exponencial: Los puntos de datos más recientes tienen mayor peso; este peso se reduce exponencialmente cuantos más antiguos son los datos.

Análisis de Regresiones : Ajusta una línea recta a datos pasados, por lo general relacionando el valor del dato con el tiempo. El método de ajuste más común es el de mínimos cuadrados, permite identificar la tendencia de la serie de tiempo analizada.

Análisis de series de tiempo : Pronosticar series de tiempo significa extender los valores históricos en el futuro con mediciones que aún no se encuentran

disponibles. El pronóstico se realiza generalmente para optimizar áreas como los niveles de inventario, la capacidad de producción o los niveles de personal.

Existen dos variables estructurales principales que definen un pronóstico de serie de tiempo:

El período, que representa el nivel de agregación. Los períodos más comunes son meses, semanas y días en la cadena de suministro (para la optimización del inventario). Los centros de atención telefónica utilizan períodos de cuartos de hora (para la optimización del personal).

El horizonte, que representa la cantidad de períodos por adelantado que es necesario pronosticar. En la cadena de suministro, el horizonte es generalmente igual o mayor que el tiempo de entrega.

Los métodos más simplistas para pronosticar la demanda ∑ +1𝑖 son:

último valor

promedio

promedios móviles

exponencial

1. Este es el más simple de los métodos de pronóstico y considera el valor de la variable aleatoria. 𝐹𝑡 + 1 = 𝑋𝑡 Muy simple, pero útil únicamente en acotados casos. 2. Pronostica como valor de la variable aleatoria. 𝐹𝑡+1 = ∑

𝑥𝑡 𝑛

𝑡 𝑡=1 Esta puede ser una buena estimación cuando se trata de un proceso muy estable o que cambia muy poco en el tiempo.

3. Los promedios móviles solucionan, en parte, el hecho de que el proceso cambia en el tiempo y considera únicamente las últimas k observaciones, por lo que 𝐹𝑡+1 = ∑

𝑥𝑡 𝑘

𝑡 𝑡=𝑡−𝑘−1. De esta forma, mejoramos el método anterior, aunque seguimos asignando el mismo peso relativo a las observaciones más viejas que alas más actuales.

4. El método exponencial o de suavizado exponencial, soluciona este problema introduciendo una constante de suavizado,∝ .0 <∝< 1 y calcula el nuevo valor dela variable aleatoria como: 𝐹𝑡+1 =∝ 𝑋𝑡 + (1−∝)𝐹𝑡

Estos métodos muestran el hecho fundamental de que los procesos son cambiantes y están sujetos a factores externos que deben ser tenidos en cuenta a la hora de realizar el modelo. Una de estos factores, el que suscita nuestro interés en este momento, es el factor estacional. Por ejemplo, las necesidades de nuestro insumo tinta, se verán afectadas por la demanda del producto, la cual tendrá grandes variaciones a lo largo del año si se trata por ejemplo de un juguete muy popular que verá incrementadas sus ventas durante las festividades de reyes, día del niño y navidad. Este factor estacional hace que nuestra serie de tiempo viole la suposición de que el modelo es de nivel constante. Para poder utilizar estos métodos deberemos primero eliminar el factor estacional de nuestra serie de tiempo.