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Este documento proporciona una introducción detallada al cálculo vectorial, incluyendo definiciones, operaciones y aplicaciones tanto en matemáticas como en física. Cubre temas como la definición de vectores en el plano y el espacio, la suma y diferencia de vectores, el producto escalar y vectorial, y la ecuación de rectas y planos. Además, se explican las aplicaciones de los vectores en áreas como la determinación de fuerzas resultantes, el cálculo de trabajo, la velocidad relativa y la rapidez. Una sólida base conceptual y ejemplos prácticos para comprender y aplicar el cálculo vectorial en diversas disciplinas.
Tipo: Resúmenes
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Un vector libre, geométricamente puede ser caracterizado por un segmento orientado en el espacio, el cual contiene: Un origen , a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector. Una dirección o línea de acción, coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela. Un sentido , que viene determinado por la punta de echa localizada en el extremo del vector. Definición de un vector en R2 , R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.
La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que VECTORES EN R 3 Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: Geométricamente a un vector de R 3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector. Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.
Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante. Si se tienen dos vectores #«a y #«b , con magnitud diferente de cero y en un plano, de- fingimos geométrica mente la suma del vector #«a con el vector #«b cuando colocamos en el final del vector #«a con el origen del vector #«b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del vector #«a y termina en el final del vector #«b , tal resultante la denotamos como #«a + #«b , este procedimiento se llama regla del triángulo, ahora si se forma un paralelogramo con los dos vectores y realizamos la operación suma tal este proceso se denomina la regla del paralelogramo, de esta figura se observa que #«a + #«b = #«b + #«a ; siendo esta propiedad denominada conmutativa de la suma de vectores Adherencia vectorial Una de las características que emplearemos en el desarrollo de la Geometría vectorial es la de poder adherir un figura geométrica un grupo de vectores de tal manera que se pueda realizar un estudio de propiedades y llegar a demostraciones geométricas,a muestra un polígono sin adherencia vectorial, y deseamos estudiarlo no desde una visión geométrica sino vectorial, entonces llegamos a la figura (b). La gráfica de un pentágono de lados a, b, c, d, e si adherimos o asociamos a cada lado del polígono un vector cuya magnitud corresponde a la longitud de cada lado y cuya dirección se ajusta a forma de la figura (el sentido se escoge libremente), entonces quedan claramente definidos los vectores
EJEMPLO (producto vectorial): Para los vectores
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) (en un plano cartesiano ), con abscisas (x) y ordenadas (y). Ecuación pendiente ordenada Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula: y = mx + n m: Pendiente n: Ordenada al origen de la recta Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en el eje de las ordenadas (y). Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda, m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa), y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). Ecuación Punto - Pendiente Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma
¿Qué condición debe cumplir un punto P(x,y,z) para estar en el plano π? Si armamos el vector −−−→P 0 P→, éste debe ser paralelo al plano, o sea perpendicular al vector normal del plano: P(x,y,z)∈π⇔−−−P 0 P⊥⃗ n⇔−−→P 0 P.⃗ n= 0 (x–x 0 ,y–y 0 ,z–z 0 ).(a,b,c)= a(x–x 0 )+b(y–y 0 )+c(z–z 0 )= ax+by+cz+d=0 Ecuación general o implícita del plano Ejemplo Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector ⃗n=(3,2,1)→=(3,2,1) que pasa por el punto P 0 (1,1,–1) Las componentes de ⃗n→ nos indican los coeficientes a, b y c de la ecuación del plano: π:3x+2y+z+d=
coeficiente que faltaba:
El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las Matemáticas. El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y además es un concepto importante en Física. Aplicación de los Vectores en Física Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1 , F2 ,F3 y así sucesivamente hasta Fn actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+ … + Fn. Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. Trabajo: Si una partícula se desplaza desde el punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza , entonces el trabajo W realizado por el vector fuerza F está dado por W = F. AB , lo cual es igual a |F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza). Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y , respectivamente, entonces la velocidad de B respecto a A es - y la velocidad de A respecto a B es -. Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vector velocidad. Dado un vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial. Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una
