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1. Texto: Notas sintéticas de introducción a la IO La IO se ocupa fundamentalmente del análisis de problemas de decisión. Un problema de decisión implica que, para desarrollar alguna actividad, es preciso seleccionar entre varios cursos de acción o políticas. Origen formal de la IO: Se produjo en los grupos que se formaron en la Marina americana durante la 2da GM, con el objetivo de asistir a los Comandos sobre el mejor uso de los nuevos equipos y sobre diversos problemas operativos y logísticos. Estos grupos habían sido constituidos con profesionales de distintas especialidades (ingenieros, físicos, químicos, matemáticos, médicos, psicólogos), con el objeto que cada uno de ellos pueda aportar su particular metodología para el análisis de los problemas planteados y con ello que puedan surgir enfoques y métodos de solución más eficaces. De esta manera, esta metodología utilizada para el análisis científico de problemas militares, trascendió las más diversas ramas de la actividad humana.
Concepto de IO:
El gráfico muestra la esencia de la IO, esta es intentar atacar los problemas de la realidad empleando una metodología científica.
Es donde ocurren los problemas
Es donde se estudian los problemas
Es el problema original. A veces sabemos cuál es, otras veces no.
Dado que la realidad es demasiado compleja para ser representada, se presentan hipótesis simplificativas que permiten entender con precisión el problema.
Es un modelo que se establece con las hipótesis
Una vez planteado el problema ideal (modelo), se extrae de él una solución ideal por medio de un proceso lógico formal (ej: algoritmo matemático). Es la solución del problema ideal, no del problema real.
Para asegurar que la solución ideal constituye una solución real del problema real, se realiza un proceso de verificación, ej: prueba piloto. Si no resulta, se deben revisar las hipótesis
En principio no existe forma de pasar de uno a otra
Es un método científico para proveer a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa referente a la performance de las operaciones bajo su control.
Cada problema que se aborda es analizado abstrayendo las características del mismo que se consideren más importantes, construyendo así un modelo del problema en cuestión. Significa que la IO tiene la finalidad de asesorar a quien/es deben tomar decisiones Base: los elementos suministrados para asesorar no representan la totalidad de los factores necesarios de considerar. Cuantitativa: lo que se pretende es traducir según alguna escala de medida el relativo mérito Consecuencias de los distintos cursos de acción El asesoramiento tiene sentido si se aplica a aquellas operaciones que están efectivamente bajo el control de quienes toman las decisiones
2. Texto: El problema general de programación matemática
Cuando se presenta un problema lo que se hace es definir: Mi política. Soluciones factibles/cursos de acción. Restricciones.
Si el problema planteado presenta múltiples (miles) soluciones factibles , se debe elegir entre ellos la mejor, o sea, cuál tiene un costo mínimo, un mayor beneficio, etc. Es decir, se elige el “ criterio de óptimo” , el cual no siempre puede traducirse en una sola solución factible, sino a varias. Estos problemas se denominan de optimización, en donde el objetivo puede estar representado por uno o más criterios de óptimo (análisis multicriterio). En algunos problemas puede que el criterio de óptimo no pueda definirse adecuadamente, por lo que no conviene aplicar el enfoque de optimización, pero sí el de modelos descriptivos, que expliquen el funcionamiento de las operaciones o del sistema, como ocurre en la física. Las restricciones pueden ser: de presupuesto, de lugar, de espacio, peso (por ejemplo, en un avión). Definen qué es lo que se puede hacer, o sea la factibilidad de la solución. Las soluciones factibles son aquellas que satisfacen las restricciones.
Ejemplo: Mantener operativa una flota de camiones, para lo cual hay tener en cuenta las piezas/repuestos que son necesarias reemplazar en forma programada o accidental, con lo que es necesario contar con un stock de repuestos. Se debe tener en cuenta: fijar un presupuesto máximo para las compras a efectuar, selección adecuada de los repuestos y cantidades que deben mantenerse en stock, o sea, evitar al máximo los agotamientos. Un agotamiento se produce cuando se requiere de un repuesto y no se encuentra en stock.
Aquí se define “número esperado de agotamientos del ítem i” :
𝑓𝑖(ℎ𝑖) = ∑ [
+∞
𝑥=ℎ𝑖+𝑠𝑖+
𝑥 − (ℎ𝑖+𝑠𝑖)]𝑝𝑖(𝑥)
i = 1, 2,…… son los distintos repuestos.
Si x > (hi + si) se produce agotamientos. Luego, se pondera esta función fi(hi) con constantes Ci , que se relacionan con la criticidad de los diferentes ítems. Queda definido el “número total esperado de agotamientos (para todos los ítems del inventario) ponderado con la criticidad” :
𝑓𝑖(ℎ 1 ; ℎ 2 ; …. ℎ𝑛) = ∑ 𝐶𝑖
𝑛
𝑖=
𝑓𝑖(ℎ𝑖)
Para obtener un comportamiento deseado de la solución, es conveniente partir definiendo: Ítem crítico: Si falta, impide la operación del equipo. Ítem medianamente crítico: Su falta solamente disminuye algunas de las capacidades del equipo.
Stock inicial antes de las nuevas compras de repuestos i
Probabilidad de requerir x unidades de repuestos i
Cantidad a comprar de repuestos i (en general puede ser (hi=0,1,2,…)
Stock resultante, suponiendo la incorporación instantánea de las compras al stock
Demanda de x unidades
(1)
Gráfico 2
Este procedimiento se conoce como método de los puntos extremos y supone buscar el beneficio en cada uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles posibles, respaldado por la teoría matemática que afirma que la solución óptima se encontrará en uno de los extremos. Una vez que se han determinado los vértices de la región factible, se sustituyen en la función objetivo para calcular el máximo beneficio o mínimo costo. En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución. Si hay una única solución óptima, ésta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay infinitas soluciones óptimas, se encontraran en un lado de la región factible. Es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente, como se aprecia en el Gráfico 2.
Teorema 1: El conjunto de soluciones factibles de un problema de programación lineal es un conjunto convexo (en 1, 2, 3……n dimensiones).
Teorema 2: El criterio óptimo de un problema de programación lineal se alcanza al menos en un vértice.
El método gráfico para resolver los problemas de programación lineal es bastante engorroso cuando aumenta el número de restricciones e impracticable para más de dos dimensiones. Para resolver estos problemas se aplica el método simplex. Este método resuelve la programación lineal en iteraciones y busca mejorar la función objetivo evaluando la misma en las intersecciones de las restricciones. Cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se pueden obtener mejoras. El algoritmo define variables adicionales, que se introducen en las restricciones de desigualdad, convirtiéndolas en restricciones de igualdad, estas variables se denominan variables flojas. Se pasa de inecuaciones a ecuaciones. Al agregar las variables flojas, sobre cada lado del polígono de soluciones factibles se anula una variable y, por lo tanto, dos en cada vértice. La búsqueda de la solución parte de un vértice hacia otro vértice adyacente mejorando el funcional, y así hasta llegar al óptimo. Cada vértice se caracteriza por la posición de sus ceros y se pasa de un vértice a otro adyacente haciendo cero una variable no cero y no cero una variable cero.
Combinación convexa de puntos: Una combinación convexa es una combinación lineal de puntos (los cuales pueden ser vectores, escalares o más en general puntos en un espacio afín) donde todos los coeficientes son no-negativos y suman 1.
Combinación lineal convexa: SI tenemos los puntos P1, P2, ... , Ph de un espacio afín de dimensión m, se dirá que el punto P es una combinación lineal convexa de ello si existen h escalares λ1, λ2, ... , λh tales que:
Segmento: Un segmento de extremos P1 y P2 es el conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de los puntos P1 y P2. Conjuntos convexos: Un conjunto C es convexo si y sólo si para cualquier pareja de puntos P1 y P2, de C, cualquier combinación lineal convexa de éstos es también un punto de C. Es decir, un conjunto es convexo si contiene al segmento que une cualquier pareja de puntos de éste.
Gráficamente y en una espacio afín de dimensión 2 (el plano) quedaría así:
Vértice: Un punto P de un conjunto C es un vértice si no puede expresarse como combinación lineal convexa de otros dos puntos cualesquiera de C distintos de P. Máximo de una función lineal: Toda función lineal definida sobre un conjunto convexo tomará sus valores máximo o mínimo sobre los vértices de dicho conjunto. Si alguno de estos valores extremos se alcanza en más de un vértice entonces toma ese mismo valor en toda combinación lineal convexa de los vértices.
Gradiente: Puede ser mirado como un vector cuyos componentes son las derivadas parciales. Si lo multiplico por un vector incremento (Δx 1 , Δx 2 ) obtengo aproximadamente la variación de una función cuando pasa de un punto a un punto incrementado, o sea, obtengo el incremento de una función.
