Universidad Vizcaya de las Américas
Plantel Tijuana
Tarea #2 Intervalos de confianza
Kate Itati Lozano Vivez
1912001
IPM5A
Control de calidad
Profesora Rosangela Hernández Fonseca
Tijuana B.C, a 19 de enero del 2021
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Introducción a los Intervalos de Confianza: Conceptos y Aplicaciones, Resúmenes de Estadística Empresarial
basicos de intervalos 1. Acercate a Jesús ♥♥♥ 2. Llenate de Su amor ♥♥♥♥♥ 3. Creele cuando te dice que nunca te abandonará ♥♥♥♥♥♥♥ 4.... sin spoilers, inicia tu aventura www.yesheis.com/espanol/ www.bible.com
Tipo: Resúmenes
2020/2021
1 / 10
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Universidad Vizcaya de las Américas Plantel Tijuana Tarea #2 Intervalos de confianza Kate Itati Lozano Vivez 1912001 IPM5A Control de calidad Profesora Rosangela Hernández Fonseca Tijuana B.C, a 19 de enero del 2021 INDICE
Intervalos de confianza................................................................................................................ 2 Intervalos de confianza para la media varianza desconocida....................................................... 4 Intervalos de confianza para la varianza....................................................................................... 5 Intervalos de confianza para una proporción............................................................................... 6 Intervalos de confianza para la diferencia de medias................................................................... 7 Intervalos de confianza para la diferencia de medias con varianzas conocidas....................... 7 Intervalos de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas.................. 7 Intervalos de confianza para el cociente de 2 varianzas............................................................... 8 Bibliografía................................................................................................................................... 9
Intervalos de confianza
El intervalo de confianza describe la variabilidad entre la medida obtenida en un estudio y la medida real de la población, que se conoce como el valor real. Corresponde a un rango de valores, y en el cual se encuentra con alta probabilidad el valor real de una variable determinada que sea ha establecido por consenso sea del 95%. Por lo que un intervalo de confianza del 95% nos indica que dentro del rango dado se encuentra el valor real de un parámetro con 95% de certeza.ajá En este caso la línea negra horizontal representa el valor fijo de la media desconocida de la población, μ. Los intervalos de confianza azules verticales que se sobreponen a la línea horizontal contienen el valor de la media de la población y el que tiene el color rojo no lo contiene. un intervalo del 95% indica que 19 de 20 muestras de la misma población reproducir un intervalo de confianza que contendrá el parámetro de la población. Un ejemplo sencillo sería Si un fabricante toma una muestra aleatoria de lápices y determina que su longitud media es de 52 mm y el intervalo de confianza es del 95% es decir entre 50 y 54. por lo tanto todos los lápices se encontrarán entre 50 y 54 mm como su longitud media. Estimación de punto Este valor individual estima un parámetro de población usando los datos de la muestra. Margen de error
Intervalos de confianza para la media varianza
desconocida
Supongamos en este caso que la varianza no la conocemos y el objetivo es calcular el intervalo de confianza para la media de dicha variable. Para ello, se cuenta con una media aleatoria que va de X1... Xn de tamaño n de valores de la variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ y de varianza S, ambas desconocidas, y la fórmula del cálculo es: donde tn-1 es el valor crítico de la distribución t con n-1 grados de libertad para un área de α/2 en la cola superior. La distribución t supone que la población está distribuida normalmente. Esta suposición es particularmente importante para n (usualmente próximo a 0), que indica30. Pero cuando la población es finita y el tamaño de la muestra constituye más del 5% de la población, se debe usar el factor finito de corrección para modificar las desviaciones estándar. Por lo tanto, si cumple y se aplica la ecuación: Siendo N el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra. Ahora veamos un ejemplo; un fabricante de papel para computadora tiene un proceso de producción que opera continuamente a lo largo del turno. Se espera que el papel tenga una media de longitud de 11 pulgadas. De 500 hojas se selecciona una muestra de 29 hojas con una media de longitud del papel de 10,998 pulgadas y una desviación estándar de 0, pulgadas. Calcular la estimación del intervalo de confianza del 99%. Los datos del problema son: Como en los datos aparece el tamaño de la población, se debe verificar si el tamaño de la nuestra es mayor que el 5% para emplear la fórmula con el factor finito de corrección. Se remplaza valores en la siguiente fórmula: Por lo tanto se debe utilizar la fórmula con el factor finito de corrección. Calculando la proporción de la cola superior e inferior de la distribución se obtiene:
Nivel de confianza = (usualmente próximo a 0), que indica1 - α )* 100% calculando los grados de libertad se obtiene: Con lectura en la tabla para un área de 0.005 y 28 grados de libertad se obtiene una t que equivale a la distribución student de 2.7633. reemplazando valores y realizando los cálculos se obtiene:
Intervalos de confianza para la varianza
Si s^2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal, un intervalo de confianza de (usualmente próximo a 0), que indica1-α9 *100% para S es: Para construir el intervalo de confianza para la varianza de la población necesitamos la cuasivarianza de la muestra (usualmente próximo a 0), que indicas^2 ) y los cuantiles de orden α/2 y 1 − α/2 en un modelo χ (^2) n−. Usando los datos de apartados anteriores, construiremos un intervalo de confianza para la varianza de las tallas masculinas de adultos en el país donde se ha extraído la muestra, a un nivel de confianza del 90 %. La cuasivarianza en la muestra se obtuvo en apartados anteriores s^2 = 54,12. Por tanto, solo es necesario determinar los cuantiles en el modelo χ 2 14 Los valores de los cuantiles son χ (^2) 0,05 = 6,58 y χ^2 0,95 = 23,8. Por tanto, sustituyendo en la expresión del intervalo Tenemos una confianza del 90 % de que la varianza en la población esté comprendida entre 31,86 y 115,25.
Intervalos de confianza para la diferencia de medias
Intervalos de confianza para la diferencia de medias con
varianzas conocidas
Si X 1 y X 2 son dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas: X 1 ~ N (usualmente próximo a 0), que indicaμ1, σ 12 ), X 2 ~ N (usualmente próximo a 0), que indicaμ2, σ 22 ) y suponemos que las varianzas son conocidas. Un IC para la diferencia de medias de nivel 1-α es: Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente para máquinas lavaplatos. Se sabe que las desviaciones estándar de volumen de llenado son σ 1 = 0.10 onzas de líquido y σ 2 = 0.15 onzas de líquido para las dos máquinas respectivamente. Se toman dos muestras aleatorias, n1 = 12 botellas de la máquina 1 y n2 = 10 botellas de la máquina 2. Los volúmenes promedio de llenado son X 1 = 30.87 onzas de líquido y X 1 = 30.68 onzas de líquido. Asumiendo que ambas muestras provienen de distribuciones normales Construya un intervalo de confianza de nivel 90% para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Como 1 - α = 0.90 entonces α = 0.10 por lo tanto
Intervalos de confianza para la diferencia de medias con
varianzas desconocidas
Si X 1 y X 2 son dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas: X 1 ~ N (usualmente próximo a 0), que indicaμ1, σ 12 ), X 2 ~ N (usualmente próximo a 0), que indicaμ2, σ 22 ) y suponemos que las varianzas son desconocidas y distintas. Un IC para la diferencia de medias de nivel aproximadamente 1 - α es: Ahora veamos un ejemplo:
Una muestra de 6 soldaduras de un tipo tenía promedio de prueba final de resistencia de 83. ksi y desviación estándar de 5.2. Y una muestra de 10 soldaduras de otro tipo tenía resistencia promedio de 71.3 ksi y desviación estándar de 3.1. supongamos que ambos conjuntos de soldaduras son muestras aleatorias de poblaciones normales. Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las medias de las resistencias de los dos tipos de soldaduras. Ambos tamaños muestrales son pequeños y las muestras provienen de poblaciones normales. No podemos asumir igualdad de varianzas. Por lo tanto el intervalo es:
Intervalos de confianza para el cociente de 2
varianzas
Si se tienen 2 poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas, σ 12 , σ 22 respectivamente, entonces un intervalo de nivel 1 - α para el cociente de las dos varianzas σ 12 / σ 22 es: Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las operaciones consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con una aleación de titanio. Pueden emplearse dos procesos de esmerilado, y ambos pueden producir partes que tienen la misma rugosidad superficial promedio. Interesaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para esto se toma una muestra de 12 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar muestral S1 = 5.1 micropulgadas, y una