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Se describen los diagramas de Bode de sistema de primer, segundo y tercer orden
Tipo: Ejercicios
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Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez Departamento. de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Ingeniería Electrónica Carretera Panamericana Km. 1080, 29050 6 de noviembre 2024 Control II Unidad 1: Respuesta a la frecuencia Interpretación de gráficas de respuesta a la frecuencia GRF Sarmiento Alvarado Leonardo 21270918 Ingeniería Electrónica MC. Raúl Moreno Rincon
Ancho de Banda (AB) El ancho de banda es el rango de frecuencias en el cual un sistema puede responder con precisión a los cambios de una señal de entrada sin distorsión significativa. Un ancho de banda amplio permite que el sistema reaccione rápidamente a variaciones rápidas en la entrada, lo que es esencial para aplicaciones que requieren una respuesta inmediata. Sin embargo, un mayor ancho de banda también puede aumentar el ruido y comprometer la estabilidad del sistema, por lo que en el diseño de sistemas de control se busca equilibrar un ancho de banda suficiente para una buena velocidad de respuesta sin afectar la precisión ni la estabilidad. Frecuencia de corte Es el punto en el que la respuesta de un sistema comienza a decaer de manera significativa; en otras palabras, es la frecuencia a partir de la cual la salida se reduce a un nivel específico, comúnmente al 70.7% de su valor máximo. En control y en circuitos, la frecuencia de corte define el límite superior o inferior del rango de frecuencias (ancho de banda) en el que el sistema responde de manera efectiva y con precisión. Ganancia (K) Es una medida de cuánto amplifica (o atenúa) la salida en respuesta a una señal de entrada. Es decir, representa la relación entre la amplitud de la salida y la de la entrada. En términos matemáticos, la ganancia es el factor multiplicador que convierte una entrada en la respuesta del sistema: una ganancia alta indica que el sistema amplifica la señal de entrada significativamente, mientras que una ganancia baja indica que el sistema reduce la señal. La ganancia afecta tanto el comportamiento como la estabilidad de un sistema. Una ganancia adecuada permite que el sistema responda con precisión a cambios en la señal de entrada, mientras que una ganancia demasiado alta puede hacer que el sistema sea inestable, generando oscilaciones o incluso llevando a la sobreexcitación. En el diseño de
sistemas de control, ajustar la ganancia permite optimizar el rendimiento, logrando un balance entre velocidad de respuesta y estabilidad. Desfasamiento (Ф)
Frecuencia de Corte (Wc) La frecuencia de corte de un sistema de primer orden se obtiene en una magnitud de - 3dB, en este caso vemos que es 4. 98 𝑒 + 03 𝑟𝑎𝑑 𝑠 , y vemos que es muy aproximado al que se ve en la función de transferencia la cual es de 5 𝑒 + 03 𝑟𝑎𝑑 𝑠 , la diferencia se debe a los decimales^ que hace^ Matlab a la hora de graficar. Comportamiento Como se explicó anteriormente las frecuencias mayores al valor de la frecuencia de corte tienden a 0, es decir a valores más grandes negativos en forma de dB, por lo que su comportamiento es de un filtro pasa bajos. Calidad Todo sistema de primer orden tiene una calidad de ± 20 𝑑𝐵 por década, dependiendo el tipo de filtro que sea, en este caso se observa en la imagen que tiene una calidad de− 20 𝑑𝐵, y podemos saber que es verdad debido a que se trata de un filtro pasa bajos. Ganancia (K) La ganancia se puede obtener viendo a la función de transferencia de un sistema de primer orden tipo pasa bajos de la siguiente manera: 𝐹𝑇 =
Si tenemos que nuestra función de transferencia es: 𝐹𝑇 =
Igualamos los numeradores y despejamos 𝑘:
Sabemos que 𝑤𝑛 = 5000 , así que sustituimos este valor en la fórmula obtenida: 𝑘 =
Desfasamiento (Ф) Todo sistema de primer orden tiene un desfase de 45° en su frecuencia de corte, y vemos que se cumple es la gráfica.
Ancho de Banda (AB) Con un rango de [ 71 𝑟𝑎𝑑 𝑠
Frecuencia de Corte (Wc) Una frecuencia de corte 𝑤𝑐 = 71 𝑟𝑎𝑑 𝑠 , este, debe coincidir con − 6 𝑑𝐵 y se observa que si. Comportamiento El comportamiento de este circuito es de un filtro pasa altos, ya que no deja pasar las frecuencias bajas. Calidad Todo sistema de segundo orden tiene una calidad de ± 40 𝑑𝐵 por década, y en la imagen se puede apreciar que si tiene una calidad de + 40 𝑑𝐵 Ganancia (K) En este caso en particular, el numerador tiene el factor de 𝑠^2 y como no tiene un coeficiente de valor diferente a 1, entonces la ganancia es igual a 1. Desfasamiento (Ф) Todo sistema de segundo orden tiene que tener un desfase de 90° en la frecuencia de corte, en este caso el desfase es muy aproximado a 90.
La función de transferencia a analizar es el siguiente: Al ser de tercer orden sabemos que su frecuencia natural está elevada al cubo, es decir: 𝑤𝑛^3 = 1000 Por lo tanto: 𝑤𝑛 = √ 1000 3 = 10
Diagrama de Bode Ancho de Banda Tiene un rango de 0 𝑟𝑎𝑑 𝑠 a 10 𝑟𝑎𝑑 𝑠
Desfasamiento En la frecuencia de corte, se puede observar que el desfasamiento es de −135° con - 9dB y coincide con su frecuencia de corte.
Las gráficas de Bode son de mucha importancia porque nos brindan mucha información de los sistemas de cualquier orden, dicha información nos sirve para poder predecir como se comporta el sistema, por ejemplo, en el desfase nos indica el tiempo de retardo en el que el sistema empieza a responder a la frecuencia. En este reporte lo más valioso fue que se comprendió que la gráfica de Bode es de vitalidad para el análisis de sistemas.
