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8.3 Integrales trigonométricas
■ Resolver integrales trigonométricas que contienen potencias de seno y coseno. ■ Resolver integrales trigonométricas que contienen potencias de secante y tangente. ■ Resolver integrales trigonométricas que contienen los productos de seno-coseno con ángulos diferentes. SHEILA SCOTT MACINTYRE (1910-1960) Sheila Scott Macintyre publicó su primer trabajo sobre los periodos asintóticos de las funciones integrales en 1935. Recibió el doctorado en la Universidad de Aberdeen, donde fue profesora. En 1958 aceptó un puesto como investigadora invitada en la Universidad de Cincinnati. Integrales que contienen potencias de seno y coseno En esta sección se estudiarán las técnicas para evaluar integrales de los tipos ∫ sen m x cos n x dx y ∫ sec m x tan n x dx donde m o n es cualquier entero positivo. Para encontrar la antiderivada o primitiva para estas expresiones, intentar separarlas en combinaciones de integrales trigonométricas a las que puede aplicarse la regla de la potencia. Por ejemplo, evaluar ∫^ sen 5 x cos x dx con la regla de la potencia haciendo u = sen x
. Entonces, du =cos x dx (^) y tiene ∫ sen 5 x cos x dx =∫ u 5 du = u 6 6
+ C =
sen 6 x 6
+ C.
Para separar ∫^ sen m x cos n x dx en formas a las que se puede aplicar la regla de la potencia, usar las identidades siguientes. sen 2 x +cos 2 x = 1 Identidad pitagórica. sen 2 x = 1 −cos 2 x 2 Identidad del ángulomedio para s en 2 x. cos 2 x = 1 +cos 2 x 2 Identidad del ángulo medio para cos 2 x. Estrategia para evaluar integrales que contienen senos y cosenos
1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e integrar. 2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e integrar. 3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades. sen 2 x = 1 −cos 2 x 2 y cos 2 x = 1 +cos 2 x 2 para convertir el integrando a potencias impares del coseno. Entonces procédase como en la estrategia 2. EJEMPLO 1 La potencia del seno es impar y positiva Encontrar ∫ sen 3 x cos 4 x dx. Solución Ya que se espera usar la regla de la potencia con u =cos^ x^ , conservar un factor para formar du^ y convertir los factores del seno restantes a cosenos. ∫ sen 3 x cos 4 x dx =∫ sen 2 x cos 4 x ( sen x ) dx Reescribir. ¿∫ (^1 −cos 2
x )^ cos
4 x ( sen x ) dx Identidad trigonométrica. ¿∫ (^ cos 4 x −cos 6
x )^ (^ sen x )^ dx Multiplicar.
¿∫ cos 4 x ( sen x ) dx −∫cos 6 x ( sen x ) dx Reescribir. ¿−∫ cos 4 x (− sen x ) dx +∫cos 6 x (− sen x ) dx ¿− cos 5 x 5
cos 7 x 7
¿[
( sen x ) 1 / 2 1 / 2
( sen x ) 5 / 2
5 / 2 ]^
π / 3 π / 6
√ 3
1 / 2 −
5 (^
√ 3
5 (^2) −√ 2 + √^32 80 ≈ 0. La figura 8.4 muestra la región cuya área es representada por esta integral. EJEMPLO 3 La potencia del coseno es par y no negativa Encontrar
∫cos
4 x dx Solución Porque m y n son pares y no negativos ( m =^0 ) ,^ se puede reemplazar cos 4 x (^) por ( 1 +cos 2 x )/ 2 ¿ 2 ¿.
∫cos
4
x dx =∫(
1 +cos 2 x
2 dx Identidad del ángulo mitad.
cos 2 x 2
cos 2 2 x
dx Expandir.
[
cos 2 x 2
4 (^
1 +cos 4 x
2 )]
dx Identidad del ángulomitad ¿
∫ dx^ +^
∫ 2 cos^2 x^ dx +^
∫ 4 cos^4 x^ dx^ Reescribir^.
3 x 8
sen 2 x 4
sen 4 x 32
- C Integrar. Usar un sistema de derivación simbólica para verificar esto. ¿Se puede simplificar la derivada para obtener el integrando original? En el ejemplo 3, si se evaluara la integral definida de 0 a π^ /^2 , se obtendría
∫ 0 π / 2 cos 4 x dx = [ 3 x 8
sen 2 x 4
sen 4 x 32 ] π / 2 0 ¿ ( 3 π 16
)
3 π 16 Notar que el único término que contribuye a la solución es 3 x / 8
. Esta observación se generaliza en las fórmulas siguientes desarrolladas por John Wallis. Wallis hizo mucho de su trabajo en cálculo antes que Newton y Leibniz e influyó en el pensamiento de ambos. Wallis es también creador de la introducción del símbolo (
) para denotar infinito. LAS FÓRMULAS DE WALLIS
1. Si n es impar ( n^ ≥^^3 )^ ,^ entonces ∫ 0 π / 2 cos n x dx =(
3 )(^
5 )(^
7 ) … ( n − 1 n )
2. Si n es impar ( n^ ≥^^2 )^ ,^ entonces ∫ 0 π / 2 cos n x dx =(
2 )(^
4 )(^
6 ) … ( n − 1 n )(^ π 2 )
Solución Debido a que se espera usar la regla de la potencia con u = sec x , conservar un factor de ( sec x tan x ) para formar du y convertir los factores tangentes restantes a secantes. ∫ tan 3 x √ sec^ x^ dx =∫(^ sec x ) − 1 / 2 tan 3 x dx x secx tan ¿ ¿ ¿∫ ( sec x ) − 3 / 2 tan 2 x ¿ x secx tan ¿ ¿ ¿∫ ( sec x ) − 3 / 2
( sec^2 x − 1 ) ¿
x secx tan¿ ¿ ¿∫ [ ( sec x ) 1 / 2 −( sec x ) − 3 / 2 ] ¿ ¿
( sec x ) 3 / 2
- 2 ( sec x ) − 1 / 2
- C EJEMPLO 5 La potencia de la secante es par y positiva Encontrar ∫ sec 4 3 x tan 3 3 x dx Solución Sea u =tan 3 x , entonces du =^3 se^ c 2 3 x dx (^) y se pueden escribir ∫ sec 4 3 x tan 3 3 x dx =∫ sec 2 3 x tan 3 3 x ( sec 2 3 x ) dx ¿∫ ( 1 +tan 2
3 x ) tan
3 3 x ( sec 2 3 x ) dx ¿
∫ (^ tan 3 3 x +tan 5
3 x ) ( 3 sec
2 3 x ) dx ¿
3 (^ tan 4 3 x 4
tan 6 3 x 6 )
+ C
tan 4 3 x 12
tan 6 3 x 18
+ C.
EJEMPLO 6 La potencia de la tangente es par Evaluar ∫ 0 π / 4 tan 4 x dx Solución Debido a que no hay factor secante, se puede empezar convirtiendo un factor tangente cuadrado en un factor secante cuadrado. ∫ tan 4 x dx =∫ tan 2 x ( tan 2 x ) dx ¿∫ tan 2 x ( sec 2 x − 1 ) dx ¿∫ tan 2 x sec 2 xdx −∫ tan 2 x dx sec (¿¿ 2 x − 1 ) dx ¿∫ tan 2 x sec 2 xdx −∫¿ ¿ tan 3 x 3 −tan x + x + C Evaluar la integral definida como sigue ∫ 0 π / 4 tan 4 x dx =[ tan 3 x 3 −tan x + x + C (^) ] π^ /^4 0 ¿ π 4
El área representada por la integral definida se muestra en la figura 8.5. Probar usando la regla de Simpson para aproximar el valor de esta integral. Con n = 18 , se debe obtener una aproximación con un error menor que 0.00001.
¿−( sen x ) − 1
- C ¿− csc x + C Integrales que contienen los productos seno-coseno de ángulos diferentes Las integrales que contienen los productos de senos-cosenos de dos ángulos diferentes ocurren en muchas aplicaciones. En tales casos usar las identidades de producto suma. sen mx sen nx =
( cos^ [ (^ m − n^ )^ x^ ]−cos^ [(^ m + n^ )^ x^ ] ) sen mx cos nx =
( sen^ [ (^ m − n^ )^ x^ ] + sen^ [ (^ m + n^ )^ x^ ] ) cos mx cos nx =
(cos [ ( m − n ) x ] +cos [ ( m + n ) x ] ) EJEMPLO 8 Uso de identidades de producto y suma Encontrar ∫ sen^^5 x^ cos^4 x^ dx Solución Considerando la segunda identidad del producto suma, escribir sen x (¿+ sen 9 x ) dx ∫ sen^^5 x^ cos^4 x^ dx^ =
∫¿ ¿
2 ( −cos x − cos 9 x 9 )
+ C
cos x 2
cos 9 x 18
+ C
8.3 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, usar la derivación para adaptar la antiderivada con la integral correcta. [Se etiquetan las integrales a ), b ), c ) y d ).] a ¿∫ sen x tan 2 x dx b ¿ (^8) ∫ cos 4 x dx
c ¿∫ sen x sec 2 x dx d ¿∫ tan 4 x dx
- y = sec x Solución: R
- y =cos x + sec x Solución: R
- y = x −tan x +
tan 3 x Solución: R
- y = 3 x + 2 sen x cos 3 x + 3 sen xcos x Solución: R En los ejercicios 5 a 18, encontrar la integral. 5.∫cos 5 x sen x dx Solución:
R
9.∫ sen 3 x co s 2 x dx Solución: R 10.∫cos 3 x 3 dx Solución: R 11.∫ sen 3 2 θ (^) √cos 2 θ dθ Solución: R
12.∫ cos 5 t √ sen^ t^ dt Solución: R 13.∫cos 2 3 x dx Solución: R 14.∫ se n 5 5 x dx Solución: R 15.∫ co s 4 3 α dα Solución: R 16.∫ se n 4 6 θ dθ Solución:
R
En los ejercicios 19 a 24, usar las fórmulas de Wallis para evaluar la integral.
- (^) ∫ 0 π / 2 cos 7 x dx Solución: R
- (^) ∫ 0 π / 2 cos 9 x dx Solución: R
- (^) ∫ 0 π / 2 cos 10 x dx Solución: R
- (^) ∫ 0 π / 2 sen 5 x dx Solución: R
- (^) ∫ 0 π / 2 sen 6 x dx Solución: R
- (^) ∫ 0 π / 2 sen 8 x dx Solución: R En los ejercicios 25 a 42, encontrar la integral conteniendo secante y tangente. 25.∫ sec 7 x dx Solución: R 26.∫ sec 2 ( 2 x − 1 ) dx Solución: R 27.∫ sec 4 5 x dx Solución:
R
32.∫ tan 3 πx 2 sec 2 πx 2 dx Solución: R 33.∫ sec 2 x tan x dx Solución: R 34.∫ tan 3 2 t sec 3 2 t dt Solución: R 35.∫ tan 2 x sec 4 x dx Solución:
R
36.∫ tan 5 2 x sec 4 2 x dx Solución: R 37.∫ sec 6 x tan x dx Solución: R 38.∫ sec 2 x 2 tan x 2 dx Solución: R 39.∫ sec 5 x tan 3 x dx Solución: R 40.∫ tan 3 3 x dx Solución: R
