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Prof. Mg. Carlos Deudor Gomez
Matemática IV
Métodos Numéricos
NIVEL 1:
I. Aproxima las siguientes integrales usando el
Método del Trapecio.
3
3
1
; n = 8 𝑅𝑝𝑡𝑎. : 𝐼 ≅ 22. 5
𝑥
3 1
0
𝑥
3
1
ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑛 = 8 𝑅𝑝𝑡𝑎. : 𝐼 ≅ 14. 27
𝑒
𝑥
𝑥
9
2
II. Aproxima las siguientes integrales usando el
Método de Simpson 1/3.
6
0
; n = 8 𝑅𝑝𝑡𝑎. : 𝐼 ≅ 15. 285
𝜋
0
𝑥
2 1
0
2
2
1
cos 𝑥
𝑥+ 1
6
0
𝜋
0
1. Calcular usando el método de trapecio y Simpson con 5 cifras decimales
a.
65
5
.
ln
ln
dx
x
x x
x x
para n = 8
b.
25
0
.
ln.
tan
dx
x
x
para n = 8
c.
1
0
4
dx
x
sen x
para n = 8
d.
−
1
0
2
dx
x
e
x
para n = 8
e.
0
2
2
dx
x
x
cos
sen
para n = 8
f.
( )
−
2
0
2
dx
e
x
sen x
sen
para n = 8
g.
17
02
2
2
.
.
sen
dx
x
e x
x
para n = 8
h.
1
1
2
2
1
dx
x
x ln x
para n = 8
2. Considere la ecuación diferencial =
4
dy
dt
t
Con la condición de contorno y (0)=0. Intégrese esta ecuación diferencial hasta t = 0.5 con pasos
de integración h = 0.1, usando el método de Euler. Compárese el resultado con la evaluación
numérica de la integral ( )
4
0
y
t
3. Dada la tabla de valores:
x - 1 - 0.9 - 0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 0
y 0.37 0.49 0.64 0.83 1.04 1.28 1.55 1.84 2.14 2.44 2.
Ficha de
Trabajo
Indica las instrucciones que utilizarías para hallar la integral usando la fórmula de Simpson
simple con los valores adecuados y después la compuesta con todos los valores. Calcula en
ambos casos el resultado.
4. A partir de la siguiente tabla de valores
Determinar la mejor aproximación posible al valor de la integral ( )
7
1
f x dx
5. Un cuerpo está sometido a la fuerza conservativa ( )
F x x
x
y se desplaza desde la posición
x = 1 hasta x = 1.8. Determinar el trabajo realizado utilizando la regla trapezoidal con pasos de h
= 0.2, 0.4 y 0.8. Obtener, asimismo, una estimación del error del mejor resultado.
6. Se tiene un tanque esférico de radio r = 5m, la velocidad de salida por el orificio del fondo es
4.895 raíz(h)m/s, el diámetro de dicho orificio es 10 cm. Si el tanque tiene inicialmente un nivel
de agua de 4 m, calcular el tiempo requerido para que el nivel de agua sea h =3.
Este problema se puede resolver a partir de la siguiente ecuación =
−
2
10
dh h
dt h h
7. Suponga que se desea encontrar el área de un terreno de forma irregular acotado por un camino
recto y la orilla de un lago. Los límites del terreno se indican mediante las líneas trazadas en la
figura (a). Suponga que la frontera de 1 milla a lo largo del camino se divide, por ejemplo, en n
= 8 subintervalos y que luego, como se muestra en la figura (b)
8. Use los datos mostrados en la figura y la regla de
Simpson para encontrar una aproximación al área bajo
la gráfica de la función continua f sobre el intervalo
0, 4
x 1 2 3 4 5 6 7
f ( x ) 2 .0000 4.2500 9.1111 16.0625 25.0400 36.0277 49.
Considere que
esta curva es la
gráfica de alguna
función y = f ( x ).
Mediciones
en pies
PROBLEMAS
12. En el siguiente gráfico se muestra delineada la
zona de un derrame de petróleo ocurrido en
cierta región. Las mediciones han sido
obtenidas a distancias de 4 Km.
Con la fórmula de Simpson, encuentre en
forma aproximada el área total cubierta por el
derrame de petróleo.
13. Los anchos, en metros, de una piscina en forma de riñón se
midieron a intervalos de 2 metros, como se indica en la
figura. Utilice la regla del trapecio para estimar el área de la
piscina.
2
Rpta .: A 80.8 m
14. Se muestra una gráfica de temperatura, en
F , en la ciudad de Nueva York el 29 de septiembre
de 2014. Utilice la regla de Simpson con n = 12 para estimar el promedio de temperatura de ese
día.
Rpta. : Promediodetempratura 64.42 F
15. Se muestra la sección transversal de un ala de avión. Las mediciones del grosor del ala, en
centímetros, en intervalos de 20 centímetros son 5.8, 20.3, 26.7, 29.0, 27.6, 27.3, 23.8, 20.5, 15.1,
8.7 y 2.8. Aplique la regla del trapecio para estimar el área de la sección transversal del ala.
2
Rpta. : A 4 066 cm
16. Un ingeniero civil necesita saber el área de una piscina para incorporarle una cubierta, pero esto
es difícil debido a la forma irregular de la piscina. Suponga que el ingeniero hace las mediciones,
en metros, que se muestran en la figura, a intervalos de 0.5 m a lo largo de la base de la piscina.
Usar integración numérica para estimar el área.
2
Rpta. : A 40 m
17. Una planta industrial descarga contaminante en un río. El contaminante se extiende cuando es
llevado corriente abajo por el río y 3 horas más tarde, el derrame tiene la forma que se ve en la
figura. Las mediciones, en metros, en el derrame se hacen a intervalos de 5 metros. Use la regla
del trapecio para estimar el área del derrame actual.
2
Rpta. : A 197.5 m
18. En el techado de las casas se utilizan planchas corrugadas con perfil
ondulado: Cada onda tiene la forma ( ) ( )
f x = sen x , con un
periodo de 2 pulgadas.
El perfil de la plancha tiene 8 ondas y la longitud L de cada onda se la puede calcular con la
siguiente integral: ( )
2
2
0
L 1 f ' x dx
Este integral no puede ser calculado por métodos analíticos.
a) Use la fórmula de Simpson con m = 4, 6, 8, 10 para calcular L y estime el error en el último
resultado.
b) Con el último resultado encuentre la longitud del perfil de la plancha.
19. Una placa rectangular metálica de 0.45 m por 0.60 m pesa 5 Kg. Se necesita recortar este material
para obtener una placa de forma elíptica, con eje mayor igual a 50 cm, y eje menor igual a 40 cm.
Calcule el área de la elipse y determine el peso que tendrá esta placa. Para calcular el área de la
elipse use la fórmula de Simpson con m = 4. Finalmente, estime cual es el el error de truncamiento
en el valor del área calculada
