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F ormulario a ➟ integrales 277
CálCulo integral • J osé A lfredo rAmos Beltrán Alfaomega
➠ Formulario A: Integrales
En este formulario: a b p q C , , , , ∈ son constantes reales, m n , ∈Nson enteros positivos y u^ = u x ( )^ y
v = v x ( ) son funciones que dependen x.
Fórmulas básicas
∫ 0 dx^ = C
∫ k dx^ =^ kx^ + C
3. ∫ ( a u ⋅ ± b v dx ⋅ ) = a ∫ udx ± b ∫ vdx + C
4. ∫ =^ + +^ ∀^ ≠ −
u du u n
C n 1
n ; 1 n 1 regla de la potencia
5. ∫ u dv = uv −∫ v du integración por partes
6. ∫ a du^ =^ +
a a
C
ln( )
n
n
7. ∫ =^ +
du u
ln | u | C
8. ∫ e dxu^ = e u + C
Fórmulas trigonométricas
9. ∫ sen( ) u du = − cos( ) u + C
10. ∫ cos( ) u du^^ =^ sen( ) u^ + C
11. u du^
C
u C
tan( )
∫ ln cos( )
ln[sec( u ) ]
[ ]
12. ∫ cot( ) u du = ln sen( )[ u ]+ C
[ ]
^
u du
u u C sec( ) u (^) C
ln sec( ) tan( )
ln tan 2 4
[ ]
^
^
u du
u u C csc( ) u (^) C
ln csc( ) cot( )
ln tan 2
15. ∫ sec ( )^2 u du = tan( ) u + C
16. ∫ csc ( )^2 u du = − cot( ) u + C
17. ∫ tan ( )^2 u du = tan( ) u − u + C
18. ∫ cot ( )^2 u du^^ = −^ cot( ) u^ −^ u^ + C
[ ]
u du
u u (^) C
u u u C
sen ( ) 2
sen(2 ) 4 1 2
sen( )cos( )
2
[ ]
u du
u u (^) C
u u u C
cos ( ) 2
sen(2 ) 4 1 2
sen( )cos( )
2
21. ∫ sec( ) tan( ) u^ u du^^ =^ sec( ) u^ + C
22. ∫ csc( )cot( ) u^ u du^^ = −^ csc( ) c^ + C
Fórmulas trigonométricas hiperbólicas
23. ∫ sen h( ) u du = cosh( ) u + C
24. ∫ cosh( ) u du = sen h( ) u + C
25. ∫ tanh( ) u du = ln cosh( )[ u ]+ C
26. ∫ coth( ) u du = ln sen h( )[ u ]+ C
[ ]
− u du (^) −
u C e C
sech( )
sen tanh( ) 2 tanh u
1 1
^
^
−
u du
u (^) C
e C
csch( )
ln tanh 2 2 coth 1 u
29. ∫ sech ( )^2 u du = tanh( ) u + C
30. ∫ csch ( )^2 u du = − coth( ) u + C
31. ∫ tanh ( ) u du^^ =^ u^ −^ tanh( ) u^ + C
2
32. ∫ coth ( )^2 u du = u − coth( ) u + C
[ ]
u du
u u (^) C
u u u C
sen h ( )
sen h(2 ) 4 2 1 2
sen h( )cosh( )
2
[ ]
u du
u u (^) C
u u u C
cosh ( )
sen h(2 ) 4 2 1 2
sen h( )cosh( )
2
35. ∫ sech( ) tanh( ) u^ u du^^ = −^ sech( ) u^ + C
36. ∫ csch( )coth( ) u u du = − csch( ) u + C
F ormulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo^ integral^ • J^ osé^ A^ lfredo^ rAmos^ Beltrán
278
Fórmulas con
56. (^) ∫ +
du = + (^) + au b
au b a
2 C
57. (^) ∫ +
u = − (^) + + au b
du au^ b a
2( 2 ) au b C 3 2
58. (^) ∫ +
u = − + (^) + + au b
du a u^ abu^ b a
2(3 4 8 ) au b C 15
2 2 2 2 3
59. (^) ∫ +
−
du u au b
b
au b b au b b
C
b
au b b
C
(^1) ln
tan 1
60. (^) ∫ ∫ +
= − +^ −
du u au b
au b bu
a b
du (^22) u au b
61. (^) ∫ au + b du = au^ +^ b + a
2 ( ) C
3
62. (^) ∫ + =
u au b du + +
au b a
au b C
2 (^ )^3
63. (^) ∫ u au + b du = a u^ −^ abu^ +^ b + + a
au b C
2 2 2 3
3
64. (^) ∫ ∫
au b u
du au b b
du u au b
65. (^) ∫ ∫
au b u
du au^ b u
a du (^22) u au b
66. (^) ∫ ∫ +
u − au b
du u^ au^ b m a
mb m a
u au b
(^2) du (2 1)
m m m 1
67. (^) ∫ ∫ +
du u au b
au b m bu
m a m b
du ( 1) u au b
m m (^1) (2 2) m 1
68. (^) ∫^ u^ au^ +^ b du^ =^ + +^ −^ + ∫ − +
u m a
au b mb m a
(^2) u au bdu (2 3)
m m^32 m 1
69. (^) ∫ +^ = − + ∫ −
au b u
du au^ b m u
a m
du m (^) ( 1) m (^1) 2( 1) u m (^1) au b
70. (^) ∫ ∫
− −
au b u
du au^ b m bu
m a m b
au b u
( ) du ( 1)
m m (^) (2 2) m
3 2 1 1
71. (^) ∫ + = + +
au b du au^ b a m
( ) 2(^ ) C
m m 2
2 2
72. (^) ∫ +^ =^
u au b du au^ b a m
b au b a m
( ) 2(^ ) C
m m^ m 2
4 2 2
2 2 2
73. ∫^ +^ =^
u au b du
au b a m
b au b a m
b au b a m
( ) C
m
m m m (^2 )
6 2 3
4 2 3
2
2 2 3
∫ +^ =^
u au b du au^ b a m
b au b a m
b au b a m
( ) 2(^ ) C
m m^ m^ m (^2 )
6 2 3
4 2 3
2 22 3
Fórmulas con
37. (^) ∫ (^) + =^ (^ +^ )+
du au b a
(^1) ln au b C
38. (^) ∫ (^) + =^ −^ ( +^ )+
u au b
du u a
b a 2 ln au^ b^ C
39. (^) ∫ ( ) +
u = + (^) − + (^) + + + au b
du au^ b a
b au b a
b a
( ) au b C 2
(^2 2) 2 ( ) (^) ln 3 3
2 3
40. (^) ∫ (^) + =^
u + (^) − + (^) + + (^) − + + au b
du au^ b a
b au b a
b au b a
b a
( ) au b C 3
(^3 33) ( ) (^) ln( ) 4
2 4
2 4
3 4
b a
) 3 ( ) (^) ln( au b ) C 2 4
2 4
3 4
41. (^) ∫ +
^
du u au b b
u au b
C
ln
42. (^) ∫ +
^
du u au b bu
a b
au b u
C
2 2 ln
43. (^) ∫ (^) + = −^ + +
du au b a au b
C
44. ∫^ + =^ + +^ +^ +
u au b
du
b a au b a
au b C ( ) ( )
2 2 2 ln(^ )
45. (^) ∫ (^) + =^
u − + + au b
du au^ b a
b a au b
b a
au b C ( ) ( )
(^22) ln( ) 2 3
2 3 3
46. (^) ∫ +
^
du u au b b au b b
u au b
C
(^1) ln 2 2
47. (^) ∫ (^) + = −^ + −^ +^
^
du u au b
a b au b b u
a b
au b u
C
(^1 2) ln 2 2 2 2 3
48. (^) ∫ +
du + au b au b
C
49. (^) ∫ +
u + au b
du a au b
b a au b
C
50. (^) ∫ +
u + + + au b
du b a au b
b a au b a
au b C ( )
(^21) ln( ) 3 3
2 3 2 3
51. (^) ∫ au + b du = au^ +^ b + a
( ) (^ ) C
2
52. (^) ∫ + = + +
au b du au^ b n a
( ) (^ ) C n ( 1)
n 1
n 1
53. (^) ∫ + = + +
u au b du
au b n a
b au b n a
( ) n
n n^^2 n 2
1 2
54. (^) ∫ +^ =^
u au b du au^ b n a
b au b n a
b au b n a
( ) (^ ) C n ( 3)
n 1, 2, 3
n n n 2
3 3
2 3
2 1 3
b +^ b au b +^ + n a
b au b n a
C n )
n 3 n n 3
2 3
2 1 3
55. (^) ∫
∫
∫
∫ +^ =
+ +^ +
u au b du
u au b m n
nb m n
u au b du
u au b m n a
mb m n a
u au b du
u au b n b
m n n b
u au b du
m n
m n m n
m n m n
m n m n
(^11)
(^11)
(^1 )
F ormulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo^ integral^ • J^ osé^ A^ lfredo^ rAmos^ Beltrán
280
111. (^) ∫ ( − ) ( )( )
u −+ u a
du n u a
1 C
2 2^ n^ 2 1 2 2 n^1
112. (^) ∫ ∫ ( − ) (^ )( ) ( )
− −
du u u a a n u a a
du u u a
2 2^ n^ 2 2 2 n^^1 2 2 2 n^1
113. (^) ∫ ∫ ∫ ( − ) ( ) ( )
− −
u − u a
du u u a
du a u u a
du
m n
m n
m 2 2 n
2 2 2 1
2
2 2 2
114. (^) ∫ ∫ ∫ ( − ) ( ) ( )
−
du u u a a
du u u a a
du u u a
m 2 2 n^^2 m 2 2 2 n^^2 m 2 2 n^1
Fórmulas con
115. (^) ∫ −
^
^
−
du a u
a
a u a u
C
a
u a
C
ln (^2 21) tanh 1
116. (^) ∫ (^) − = −^ ( −^ )+
u a u
du^1 a u C 2 2 2 ln^2
117. (^) ∫ −
^
u a u
du u a^ a^ u a u
C
ln
2 2 2
118. (^) ∫ ( ) −
u = − − − + a u
du u^ a^ a u C 2 2
ln
3 2 2
2 2 2 2
119. (^) ∫ ( −^ )
du u a u a
u a u
C
2 2 2 ln
2 2 2
120. (^) ∫ ( −^ )
^
du u a u a u^ a
a u a u
1 1 C
2 2 2 2 3 ln
121. (^) ∫ ( −^ )
du u a u a u a
u a u
C
3 2 2 2 2 4 ln
2 2 2
122. (^) ∫ ( − ) (^ )
^
du a u
u a a u a
a u a u
C
2 2 2 2 2 2 3 ln
123. (^) ∫ ( − ) (^ )
u a u
du a u
C
124. (^) ∫ ( − ) (^ )
^
u a u
du u a u a
a u a u
C
ln
2 2 2 2 2 2
125. (^) ∫ ( ) (^ )^
( ) −
u a u
du
a a u
a u C 2
ln
3 2 2 2
2 2 2
2 2
126. (^) ∫ ( − ) (^ )
du u a u a^ a^ u^ a
u a u
C
2 2 2 2 2 2 4 ln
2 2 2
127. (^) ∫ ( − ) (^ )
^
du u a u a u
u a a u a
a u a u
1 C
2 2 2 2 4 4 2 2 5 ln
128. (^) ∫ ( − ) (^ )
du + u a u a u^ a^ a^ u^ a
u a u
1 C
(^1) ln 3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2 2 2
129. ∫ ∫ ( − ) (^ )^ ( ) (^ ) ( )
du a u
u a n a u
n n a
du 2 1 a u
2 2 n^ 2 2 2 n^^1 2 22 2 2 n^1
130. (^) ∫ ( − ) ( )( )
u −+ a u
du a n a u
1 C
2 2^ n^ 2 2 2 n^1
Fórmulas con
131. (^) ∫ u + a du = u^ u^ +^ a^ + a^ ( u + u + a (^) )+ C 2 2
(^2 2) ln (^2 2 22 )
132. ∫
( )
u u a du +
u a C 3
2 2
2 223
133. (^) ∫ u u + a du = u u (^^ +^ a^ ) − a u^ u^ +^ a^ − a^ ( u + u + a (^) )+ C 4 8 8
(^2 2 2) ln
(^2 232 2 2 2 ) 2 2
∫ (^ )
( )
u u a du − +^ − + + +
u u a (^) a u u a a u u a C 4 8 8
(^2 2 2) ln
(^2 232 2 2 2 ) 2 2
134. (^) ∫
( ) ( )
u u a du +
u a a u a C 5 3
3 2 2
(^2 252 2 2 )
135. (^) ∫
( )
^
−
du u a
u u a C
u a
C
ln
sen h
2 2
2 2
1
136. (^) ∫ +
u = + + u a 2 2 du^ u^^2 a^^2 C
137. (^) ∫ ( ) +
u = + (^) − + + + u a
du u^ u^ a^ a^ u u a C 2 2
ln
2 2 2
2 2 2 2 2
138. ∫^
( )
u u a
du
u a a u a C 3
3 2 2
2 2
3 (^22 2 )
139. (^) ∫ +
= − +^ +
du u u a a
a u a u 2 2 1 ln C
2 2
140. (^) ∫ +
du = − + (^) + u u a
u a a u
2 2 2 C
2 2 2
141. (^) ∫ +
= − +^ + +^ +
du u u a
u a a u a
a u a u
C
3 2 2 ln
2 2 2 2 3
2 2
142. (^) ∫
u a u
du u a a
a u a u
ln C
2 2 2 2 2 2
143. (^) ∫^ u^ +^ a = − +^ + (^) ( + + (^) )+ u
du u^ a u
ln u u a C
2 2 2
2 2 2 2
F ormulario a ➟ integrales 281
CálCulo integral • J osé A lfredo rAmos Beltrán Alfaomega
144. (^) ∫
u a u
du
u a u a
a u a u
C
ln
2 2 3
2 2 2
2 2
145. (^) ∫ ( + )
du + u a
u a u a
C
2 2
3 2 2 2 2
146. (^) ∫ ( + )
u + u a
du u a
1 C
2 223 2 2
147. (^) ∫ ( ) ( + )
u + + + + u a
du u u a
ln u u a C
2 2 223 2 2
2 2
148. (^) ∫ ( + )
u
u a
du u a
a u a
C
3 2 223
2 2 2 2 2
149. (^) ∫ ( + )
− +^ +
du u u a a^ u^ a^ a
a u a u
(^1 1) ln C 2 223 2 2 2 3
2 2
150. ∫ ( + )
= − +^ −
du + u u a
u a a u
u a u a
C
(^2 2 )
2 2 (^4 4 2 )
151. (^) ∫ ( + )
+ +^ +
du u u a a u^ u^ a^ a^ u^ a^ a
a u a u
1 C
ln 3 2 232 2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
a u a a
a u a u
C
4 2 2 5 ln
2 2
152. ∫ (^ )^ (^ )
( )
u a du + +^ + + + +
u u a (^) a u u a a u u a C 4
(^2 2) ln 3 2
(^2 232 2 2 ) 4 2 2
- (^) ( ) 3 a u u + a (^) + a u + u + a + C 8
ln
2 2 2 4 2 2
153. (^) ∫ ( )
( )
u u a du +
u a C 5
(^2 )
2 2
5 2
154. ∫ (^ )^ (^ ) u u + a du = u u (^^ +^ a^ )^ − a u u (^^ +^ a^ ) − a u^ u^ +^ a^ − a^ u + u + a + C 6 24 16 16
(^2 2 2) ln 3 2
(^2 252 2 2 232 4 2 2 ) 2 2
( )
a (^) a u u a a u u a C 4 16 16
ln
2
3 (^2 4 2 2 62 )
155. ∫^
( + ) ( )
+ + − +^ +
u a u
du
u a a u a a a^ u^ a u
C
ln
(^2 223 2 ) 2 2 2 3 2 2
∫ (^ )
( +^ ) ( ) = −
u a u
du
u a u
u u a a u u a C
ln
2 223 2
(^2 223 2 ) 2 2 2
- (^) ( ) 3 u u + a (^) + a u + u + a + C 2
ln
3 (^2 2 22 2 )
157. ∫^
( +^ ) ( ) = −
u a u
du
u a u
u a a
a u a u
C
ln
2 223 3
2 223 2
2 2 2 2
∫
( +^ ) ( ) = −
+ + − +^ +
u a u
du
u a u
u a a a^ u^ a u
C
ln
(^2 ) 3
(^2 ) 2
2 2 2 2
Fórmulas con
158. (^) ∫ ( ) −
du u a 2 2 ln u^ u^^2 a^^2 C
159. (^) ∫ −
u = − + u a 2 2 du^ u^^2 a^^2 C
160. (^) ∫ ( ) −
u = − (^) + + − + u a
du u^ u^ a^ a^ u u a C 2 2
ln
2 2 2
(^2 2 22 )
161. (^) ∫
( ) −
u + − + u a
du
u a a u a C 3
3 2 2
(^2 ) 2 2 2
162. (^) ∫ −
du u u a a
u a
C
2 2 sec^1
163. (^) ∫ −
du = − (^) + u u a
u a a u
2 2 2 C
2 2 2
164. (^) ∫ −
= −^ +
^
du − u u a
u a a u a
u a
C
3 2 2 sec
2 2 2 2 3
1
165. (^) ∫ u − a du = u^ u^ −^ a^ − a^ ( u + u − a (^) )+ C 2 2
(^2 2) ln (^2 2 22 )
166. ∫ u u − a du = (^ u^ −^ a^ ) + C 3
2 2
(^2 )
167. ∫^ (^ )
( ) − =
u u a du − + − +
u u a (^) a u u a a u u a C 4 8 8
(^2 2 2) ln
2 2
3 (^2 2 2 2 42 )
∫ (^ ) u u − a du = u u (^^ −^ a^ )+ a u^ u^ −^ a^ − a^ u + u − a + C 4 8 8
(^2 2 2) ln
(^2 232 2 2 2 ) 2 2
168. ∫
( ) ( ) − =
u u a du +
u a a u a C 5 3
3 2 2
2 2
5 2 2 2
3 2
169. (^) ∫ −^ = − − ^
u a − u
du u a a u a
sec C
2 2 2 2 1
170. (^) ∫ ( )
u − a = − − (^) + + − + u
du u^ a u
ln u u a C
2 2 2
(^2 22 )
171. (^) ∫ −^ = − −^ + ^
u a − u
du u^ a u a
u a
C
sec
2 2 3
2 2 2
1
172. (^) ∫ ( − )
du
u a
u a u a
C
2 223 2 2 2
F ormulario a ➟ integrales 283
CálCulo integral • J osé A lfredo rAmos Beltrán Alfaomega
206. ∫^
( − )
− +^ −
du u a u a u^ a^ u^ a^ a^ u^ a
a a u u
1 C
ln 3 2 232 2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
− +^ −
a a u a
a a u u
3 C
4 2 2 5 ln
2 2
207. ∫ (^ )^
( ) − =
a u du + −^ + +
u a u (^) a u a u a u a
C
(^2 2) sen 3 2
(^2 232 2 2 ) 4
208. ∫ (^ )^ u a − u du = − (^ a^ −^ u^ ) + C 5
2 223
(^2 )
209. ∫^ (^ )^
( ) ( ) − = −
u a u du + −^ + − +
u a u a u a u (^) a u a u a u a
C
(^2 2 2) sen 3 2
(^2 252 2 2 232 4 2 2 ) 1
− (^) + ( − (^) ) + − (^) + ^
u a u a u (^) a u a u a (^) − u a
C
sen
5 2 2 2 2
3 (^2 4 2 2 )
210. ∫ (^ )^
( ) ( ) − =
u a u du +
a u a a u C 7 5
(^3 2 )
(^2 272 2 2 )
211. ∫
( −^ ) (^) = ( −^ ) + − − + −
a u u
du
a u a a u a a^ a^ u u
C
ln
(^2 232 2 ) 2 2 2 3 2 2
+ − − +^ −
a a u a (^) + a a u u
C
ln
3 2 2 2 2 3 2 2
212. ∫
( −^ ) (^) = − ( −^ )− − (^) + ^
a u u
du
a u u
u a u (^) a u a
3 C
sen
(^2 ) 2
(^2 232 2 ) 2
213. ∫
( −^ ) ( ) = −
− −^ + +^ −
a u u
du
a u u
a u (^) a a a u u
C
ln
(^2 ) 3
(^2 ) 2
2 2 2 2
− −^ + +^ −
u +
a u (^) a a a u u
3 C
ln
3 2 2
2 2 2 2
Fórmulas con
214. (^) ∫ + +
− du au bu c
ac b
au b ac b
C
b ac
au b b ac au b b ac
C
tan 2 4 1 4
ln 2 4 2 4
2
2
1 2
2
2 2
215. (^) ∫ (^) + + =^ (^ +^ +^ )−^ ∫ + +
u au bu c
du a
au bu c b a
du au bu c
ln (^22)
2 2
216. (^) ∫ ( ) ∫ + +
u au bu c
du u a
b a
au bu c b^ ac a
du 2 au bu c
ln 2 2
2 2 2
2 2 2 2
u bu c b^ ac a
du au bu c
2 2 2 2
217. (^) ∫ ∫ ( +^ +^ )
du u au bu c c
u au bu c
b c
du au bu c
ln (^22)
2 2 2
218. (^) ∫ ∫ ( +^ +^ )
= +^ +
du u au bu c
b c
au bu c u cu
b ac c
du 2 au bu c
ln 1 2 (^2 2 )
2 2
2 2 2
∫ (^) ( + + (^) )=^ ∫
du u au bu c
b c
au bu c u cu
b ac c
du 2 au bu c
ln 1 2 (^2 2 )
2 2
2 2 2
219. (^) ∫ ∫ ( +^ + ) (^ )(^ )
du au bu c
au b ac b au bu c
a ac b
du au bu c
∫ ∫ ( +^ +) (^ )(^ )
du au bu c
au b ac b au bu c
a ac b
du au bu c
220. ∫ ∫ ( +^ + ) (^ )(^ )
u au bu c
du
bu c ac b au bu c
b ac b
du au bu c
∫ ∫ ( +^ + ) (^ )(^ )
u au bu c
du bu^ c ac b au bu c
b ac b
du au bu c
221. (^) ∫ ∫ ( )
( )
u au bu c
du
b ac u bc a ac b au bu c
c ac b
du au bu c
2 2 2
2 2 2 2 2
∫ ∫ ( )
( )
u au bu c
du
b ac u bc a ac b au bu c
c ac b
du au bu c
2 2 2
2 2 2 2 2
222. (^) ∫ ∫ ∫ ( +^ + ) (^ )^ ( ) (^ )
du u au bu c c au^ bu^ c
b c
du au bu c c
du u au bu c
2 2 2 2 2 2
∫ ∫ ∫ ( +^ + ) (^ )^ ( ) (^ )
du u au bu c c au^ bu^ c
b c
du au bu c c
du u au bu c
2 2 2 2 2 2
223. ∫ ∫ ∫ ( +^ + ) (^ )^ ( ) ( )
du u au bu c cu au^ bu^ c
a c
du au bu c
b c
du u au bu c
2 2 2 2 2 2 2 2
∫ ∫ ∫ ( + + ) (^ )^ ( ) ( )
du u au bu c cu au^ bu^ c
a c
du au bu c
b c
du u au bu c
2 2 2 2 2 2 2 2
224. (^) ∫ ∫ ∫
u −^ −^ − au bu c
du u a m
c a
u au bu c
du b a
u au bu c
du 1
m m m m 2
1 2 2
1 2
∫ (^) + + =^ ( − )−^ ∫ + + −^ ∫ + +
u −^ −^ − au bu c
du u a m
c a
u au bu c
du b a
u au bu c
du 1
m m m m 2
1 2 2
1 2
225. ∫ (^) ( + + (^) ) = −^ ( − (^) ) − −^ ∫ − (^) ( + + (^) ) −^ ∫ −( + + )
du u au bu c c n^ u
b c
du u au bu c
a c
du u au bu c
n 2 1 n 1 n 1 2 n 2 2
∫ (^) ( + + (^) ) = −^ ( − ) − −^ ∫ − (^) ( + + (^) ) −^ ∫ −( + + )
du u au bu c c n u
b c
du u au bu c
a c
du u au bu c
n 2 1 n^^1 n 1 2 n 2 2
Fórmulas con
226. ∫
du + − − + u a a
a u u au a a
u a a
1 C
ln 1 3
tan 2 (^3 3 )
2 (^2 2 )
1
227. ∫ (^) + =^ ( )
+^
^
u − + u a
du a
u au a u a a
u a a
1 C
ln 1 3
tan 2 (^3 )
2 2 2
1
228. (^) ∫ ( ) +
u = + + u a
du^1 u a C 3
ln
2 3 3
3 3
F ormulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo^ integral^ • J^ osé^ A^ lfredo^ rAmos^ Beltrán
284
( +^ )
du + u u a a
u u a
1 C
3 3 3 ln
3 3 3
230. (^) ∫ (^) ( + (^) ) = −^ −^ ( )
du − − − + u u a a u a
u au a u a a
u a a
1 1 C
ln 1 3
tan 2 (^2 3 3 3 )
2 2 (^2 )
1
−^
^
u a − + u a a
u a a
1 C
tan 2 3
2 2 2 4
1
( ) (^ )^
du + − − + u a
u a u a a
u a u au a a
u a a
C
ln 2 3 3
tan 2 (^3 3 2 3 3 3 )
2 (^2 2 )
1
u a + − − + u a a
u a a
2 C
tan 2 3
2 5
1
( + ) (^ )^ (^ )
+ −^ +
u + − − + u a
du u a u a a
u au a u a a
u a a
C
ln 1 3 3
tan 2 (^3 3 )
2 5 3 3 4
2 2 (^2 )
1
a
u au a u a a
u a a
1 C
ln 1 3 3
tan 2 (^43)
2 2 2 4 1
( + ) (^ )
u + u a
du u a
1 C
2 3 3 2 3 3
( + ) (^ )
du + u u a a^ u^ a^ a
u u a
1 C
3 3 2 3 3 3 6 ln
3 3 3
( + ) (^ )
du u u a a u
u a u a a
u u a
(^1) du 3
2 6 3 3 6 3 3
236. (^) ∫ ∫ +
u −^ − u a
du u m
a u u a
du 2
m m m 3 3
2 3 3 3 3
237. (^) ∫ (^) ( + (^) ) = −^ ( − ) − −^ ∫ −( + )
du u u a a n u a
du u u a
n 3 3 3 n^^1 3 n 3 3 3
Fórmulas con
238. (^) ∫ (^) + =^
du − − + u a (^) a
u au a u au a a
u a
u a
1 C
ln 2 2
4 4 3 tan^1 2 tan^1
2 2 2 2 3
1 1
a − − + a a
u a
u a
2 C
3 tan^1 1 2 tan^11
239. ∫ (^) + =^
u − − + u a
du a
u au a u au a a
u a
u a
1 C
ln 2 2
tan 1 2 tan 1 2
2 4 4
2 2 2 2
(^11)
u a − u a a
u a
u a
2 C
tan 1 2 tan 11 2
1
240. ∫^ ( + (^) )= −^ −^
du − − + u u a a u a
u au a u au a a
u a
u a
1 1 C
ln 2 2
2 4 4 4 5 tan^1 2 tan^1
2 2 2 2 5
1 1
a a a
u a
u a
C
tan 1
tan 1
5
1 1
241. (^) ∫ (^) + =^ ( +^ )+
u u a
du^1 u a C 4
ln
3 4 4
4 4
242. (^) ∫ ( +^ )
du + u u a a
u u a
1 C
4 4 2 ln
4 4 4
243. (^) ∫ (^) + =^
u u a
du a
u a
C
4 4 2 tan^1
2 2
244. (^) ∫ ( +^ )
du − + u u a a u a
u a
1 C
3 4 4 4 2 6 tan^1
2 2
245. ∫ − =^
^
−^
^
du − u a a
u a u a a
u a
1 C
ln 1 2 4 4 3 3 tan^1
246. ∫ − =^
u + u a
du a
u a u a
1 C
4 4 2 ln
2 2 2 2
247. (^) ∫ (^) − =^
^
^
u − u a
du a
u a u a a
u a
1 C
ln 1 2
tan
2 4 4
1
248. (^) ∫ ( ) −
u = − + u a
du^1 u a C 4
ln
3 4 4
4 4
249. (^) ∫ (^) ( − (^) )=^
du + u u a a
u a u
1 C
4 4 4 ln
4 4 4
( −^ )
^
+^
^
du − u u a a u a
u a u a a
u a
1 1 C
ln 1 2 2 4 4 4 5 5 tan^1
( −^ )
du + u u a a u a
u a u a
1 C
3 4 4 4 2 6 ln
2 2 2 2
Fórmulas con
252. (^) ∫ (^ )^
au du = − (^ au )+
a
sen cos C
253. (^) ∫ (^ )^
u au du = (^ au )^ − (^ )+
a
u au a
sen sen^2 cos C
254. (^) ∫ (^ )^ =^ (^ )^ +^ − (^ )
^
u au du u + a
au a
u a
(^2) sen 2 2 sen 23 cos au C 2
255. (^) ∫ ( ) =^ − ( ) ( )
^
^
u au du u + a a
au u a
u a
(^3) sen 3 6 sen 6 cos au C 2 2 4 3
3
256. (^) ∫ (^ )^ ∫
u au du = − u^ (^ au )^ + − ( )
a
n a
n sen cos^ u cos au du n n 1
257. (^) ∫ (^ )^ ∫
u au du
u au a
nu a
au
n n a
sen u au du
cos sen
n sen
n (^) n (^1) n 2 2
2
∫ (^ )^ ∫
u au du = − u^ (^ au )^ + − ( ) − (^ −)^ − ( )
a
nu a
au n n a
n sen cos^ sen 1 u sen au du n n (^1) n 2 2
2
258. (^) ∫ (^ )^
au du = u^ − (^ au )+
a
sen C 2
sen 2 4
2
F ormulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo^ integral^ • J^ osé^ A^ lfredo^ rAmos^ Beltrán
286
291. ∫
( ) ( )
au bu du + ≠
a b u a b
a b u a b
cos cos C a b
sen 2
sen 2
292. (^) ∫ (^) − ( )= −^ +
du au a
au (^) C 1 cos
(^1) cot 2
293. (^) ∫ (^) − ( ) = −^
^
+^
^
^
u + au
du u a
au a
au (^) C 1 cos
cot 2
(^2) ln sen (^22)
294. (^) ∫
du = + au a
au (^) C 1 cos
(^1) tan 2
295. (^) ∫ (^) + ( ) =^
^
+^
^
^
u au
du
u a
au a
au C 1 cos
tan 2
ln cos (^22)
296. (^) ∫ ( −^ ( ))
du = − − + au a
au a
au (^) C 1 cos
cot 2
cot (^22) 3
297. (^) ∫ ( +^ (^ ))
^
^
du au a
au a
au (^) C 1 cos
tan 2
tan (^22)
3
Fórmulas con
298. ∫ (^ )^ (^ )^
au au du = (^ au )+
a
sen cos sen C 2
2
299. ∫ (^ )^ (^ )^
pu qu du +
p q u p q
p q u p q
sen cos C
cos 2
cos 2
300. (^) ∫ (^ )^ (^ )^
au au du au a n
sen cos sen C 1
n
n 1
301. (^) ∫ (^ )^ (^ )^
au au du
au a n
cos sen C
cos 1
n n^^1
302. ∫ (^ )^ (^ )^
au au du = u^ − (^ au )+
a
sen cos C 8
sen 4 32
2 2
303. (^) ∫
du au au a
au C sen cos
(^1) ln tan
304. (^) ∫
π
^
du − + au au a
au a au
C
sen cos
(^1) ln tan 4 2
(^2) sen
305. (^) ∫
^
du + + au au a
au a au
C
sen cos
(^1) ln tan 2
(^2) cos
306. ∫^ ( ) ( )
du = − ( )+
au au
au a
C
sen cos
2 cot 2 2 2
307. ∫
= − (^ )+ +
^
^
au + au
du au a a
sen au (^) C cos
sen (^1) ln tan 4 2
2
308. ∫^
= (^ )+
^
^
au au
du
au a a
cos au (^) C sen
cos (^1) ln tan 2
2
309. (^) ∫
π
^
du + au au a
au (^) C sen cos
ln tan 8 2
310. (^) ∫ ∓
± =^ ^ (^ )^ ± (^ ) +
au au au
du u a
sen au au C sen cos 2
ln sen cos
311. ∫
au au au
du a
au au u^ C
cos sen cos
ln sen cos 2
Fórmulas con
312. (^) ∫ (^ )
au du a^
au C
a
au C
tan
(^1) ln cos
(^1) ln sec
313. (^) ∫ (^ )^
au du = (^ au )− +
a
tan 2 tan u C
314. (^) ∫ (^ )^
= (^ )^ + ( )
au du (^) + au a a
tan tan au C 2
(^321) ln cos
315. (^) ∫ (^ )^ ∫
− au du au − a n
tan tan au du 1
n tan
n n
1 2
316. ∫ (^ )^ (^ )^
au au du
au a n
tan sec C
tan 1
n 2 n^1
317. ∫
au au
du a
au C
sec tan
ln tan
2
318. (^) ∫ (^) ( ) =^ (^ ) +
du au a
au C tan
(^1) ln sen
319. ∫ (^ )^
= (^ )^ + ( )
u au du (^) − + u au a a
tan tan^1 ln cos au u^ C 2
2 2
2
Fórmulas con
320. (^) ∫ cot^ (^ au du )^^ =^ a (^ au^ ) + C
(^1) ln sen
321. (^) ∫ (^ )^
au du = − (^ au )− +
a
cot 2 cot u C
322. ∫ (^ )^
= − (^ )^ − ( )
au du (^) +
au a a
cot au C
cot 2
(^321) ln sen
323. ∫ (^ )^ (^ )^
− au au du
au a n
cot csc C
cot 1
n 2 n^1
324. ∫
au au
du a
au C
csc cot
ln cot
2
F ormulario a ➟ integrales 287
CálCulo integral • J osé A lfredo rAmos Beltrán Alfaomega
325. (^) ∫ (^) ( ) = −^ (^ ) +
du au a
au C cot
(^1) ln cos
326. ∫ (^ )^
= − (^ )^ + ( )
u au du (^) − +
u au a a
au
u cot C
cot 1 ln sen 2
2 2
2
327. ∫ (^ )^ ∫
− − au du
au a n
cot au du
cot 1
n cot n (^1) n 2
Fórmulas con
328. (^) ∫ (^ ) π
^
au du
a
au au C
a
au (^) C
sec
(^1) ln sec tan
(^1) ln tan 4 2
329. ∫ (^ )^
au du = (^ au )+
a
sec 2 tan C
330. ∫ (^ )^
= (^ )^ (^ )^ + ( ) + ( )
au du (^) + au au a a
sec sec^ tan au au C 2
(^3) ln sec tan
331. (^) ∫ (^ )^ (^ )^
au au du = (^ au )+
an
sec n tan sec C
n
332. (^) ∫ (^) ( )
du = ( )+
au
au a
C
sec
sen
333. (^) ∫ u^ (^ au du )^^ =^ (^ )^ +^ (^ ) +
u a
au a
sec 2 tan 1 2 ln cos au C
334. ∫ (^ )^ ∫
− − au du
au au a n
n n
sec au du
sec tan 1
n sec n (^2) n 2
Fórmulas con
335. (^) ∫ (^ )
^
^
au du
a
au au C
a
au C
csc
(^1) ln csc cot
1 ln tan 2
336. ∫ (^ )^
au du = − (^ au )+
a
csc 2 cot C
337. ∫ (^ )^
= − (^ )^ (^ )+
^
^
au du au^ au + a a
csc csc^ cot au^ C 2
ln tan 2
3
338. (^) ∫ (^ )^ (^ )^
au au du = − (^ au )+
na
csc n cot csc C
n
339. (^) ∫ (^) ( )
du = − ( )+
au
au a
C
csc
cos
340. ∫ (^ )^
= − (^ )^ + ( )
u au du (^) +
u au a a
csc au C
cot (^1) (^22) ln sen
341. ∫ (^ )^ ∫
− − au du
au au a n
n n
csc au du
csc cot 1
n csc n (^2) n 2
Fórmulas con funciones trigonométricas inversas
342. (^) ∫
^
^ =^
^
+^ −^ +
− u − a
du u
u a
sen 1 sen^1 a^2 u^2 C
343. (^) ∫ =^ −
^
^
+^
u −^ u − −^ + a
du u^ a^ u a
sen u^ a^ u^ C 2 4
sen 4
1 2 2 1 2 2
344. (^) ∫
(^ ) ^
^ =^
^
+^
u −^ u − + a
du u^ u a
u a a u sen C 3
sen
2 1
3 1
2 2 2 2
^
^
− u a u
du u a
u a
u a
u a
sen 2 3 3
1
3 5 7
346. ∫
^
^
− +^ −
− u − a u
du
u a u a
a a u u
C
sen sen (^1) ln
1 2
(^12 )
347. (^) ∫
^
^
^
^
^
− u − (^) − + − − + a
dx u u a
u a a u a
sen 1 sen 2 2 sen C
2 1
2 2 2 1
348. (^) ∫
^
^ =^
^
−^ −^ +
− u − a
du u u a
cos 1 cos^1 a^2 u^2 C
349. (^) ∫ = −
^
^
−^
u −^ − +
u a
du
u a u a
u a u cos C 2 4
cos 4
1 2 2 1 2 2
350. (^) ∫
(^ )(^ ) ^
^ =^
^
u −^ u − + a
du u^ u a
u a a u cos C 3
cos
2 1 3 1
2 2 2 2
351. ∫ ∫
π
^
^
− u − a u
du u
u a u
du
cos 2
ln
(^1) sen 1
352. ∫
^
^
− u − a u
du
u a u a
a a u u
C
cos cos (^1) ln
1 2
(^12 )
353. (^) ∫
^
^
^
^
^
− u − (^) − − − − + a
du u u a
u a u u a
cos 1 cos 2 2 cos C
2 1
2 2 2 1
354. (^) ∫ −^ =^ − −^ ( +^ )+
u a
du u u a
tan tan a^ u a C 2
(^1 1) ln 2 2
F ormulario a ➟ integrales 289
CálCulo integral • J osé A lfredo rAmos Beltrán Alfaomega
386. (^) ∫
(^ u ) = − ( )− +
u
du
u u u
C
ln ln (^1) 2
387. (^) ∫ ln 2 ( u du ) = u ln 2 ( u ) − 2 u ln ( u ) + 2 u + C 388. ∫
u + u
du
u n
C
ln ln 1
n n 1
389. (^) ∫ (^) ( ) =^ (^ (^ ))+
du u u
u C ln
ln ln
390. ∫ (^ +^ )^ =^ (^ +^ )−^ +^
^
u a du u u a u a − u a
ln 2 2 ln 2 2 2 2 tan^1 C
391. (^) ∫ (^ −^ )^ =^ (^ −^ )−^ +^
^
u a du u u a u a (^) + u a u a
ln 2 2 ln 2 2 2 ln C
Fórmulas con
392. (^) ∫ senh^ (^ au du )^^ =^ a (^ au^ )+ C
(^1) cosh
393. ∫ (^ )^
u au du = u^ (^ au )^ − (^ )+
a
au a
senh C
cosh senh 2
394. (^) ∫ (^ )^ =^ + (^ )^ (^ )
^
u au du u − + a a
au u a
(^2) senh 2 cosh 2 senh au C 2 3 2
395. ∫^
au + ⋅ ⋅ ⋅ u
senh du au au au 3 3! 5 5!
3 5
396. ∫ ∫
au u
du au u
senh 2 senh (^) a cosh au du
397. (^) ∫ (^) ( ) =^
^
^
du + au a
au (^) C senh
(^1) ln tanh 2
398. (^) ∫ (^ )^
au du = (^ au )^^ (^ au )− +
a
senh senh^ cosh u^ C 2 2
2
399. ∫ (^ )^
u au du = u^ (^ au )^ − (^ )− +
a
au a
senh senh 2 u^ C 4
cosh 2 8 4
2 2
2
400. (^) ∫ (^) ( )
du = − ( )+
au
au a
C
senh
coth 2
401. (^) ∫ (^ )^ (^ )^
pu qu du +
p q u p q
p q u p q
senh senh C
senh 2
senh 2
402. (^) ∫ (^ )^ ∫
u au du = u^ (^ au )^ − − ( )
a
m a
senh u au du
cosh m cosh m m 1
403. ∫ (^ )^ ∫
au du = −(^ au^ )^ (^ au )^ − − −( )
an
n n
senh au du
senh cosh (^1) n senh n (^1) n 2
404. ∫^ ∫
= − (^ )
au u
du
au n u
a n
au u
du
senh senh 1 1
cosh n n 1 n 1
405. ∫ (^) ( ) ∫
du au
au a n au
n n
du senh au
cosh 1 senh
n n (^1 1) senh n 2
Fórmulas con
406. ∫ (^ )^
au du = (^ au )+
a
cosh senh C
407. ∫ (^ )^
u au du = u^ (^ au )^ − (^ )+
a
au a
cosh senh^ cosh 2 C
408. ∫ (^ )^
= − (^ )^ + + ( )
^
u au du u^ au + a
u a a
(^2) cosh 2 cosh 2 2 senh au C 2 3
409. ∫^
au + ⋅ ⋅ ⋅ u
cosh (^) du ln u au au au 2 2! 4 4! 6 6!
2 4 6
410. (^) ∫ ∫
( au ) = − ( ) + ( )
u
du au u
a au u
cosh 2 cosh senh du
411. (^) ∫ (^) ( ) =^ −( )+
du au a
e C cosh
(^2) tan 1 au
412. ∫ (^ )^
au du = u^ + (^ au^ )^ (^ au )+
a
cosh C 2
senh cosh 2
2
413. ∫ (^ )^
u au du = u^ + u^ (^ au )^ − (^ )+
a
au a
cosh C 4
senh 2 4
cosh 2 8
2 2 2
414. ∫ (^) ( )
du au
au a
C
cosh
tanh 2
415. ∫ (^ )^ (^ )^
pu qu du +
p q u p q
p q u p q
cosh cosh C
senh 2
senh 2
416. (^) ∫ (^ )^ ∫
u au du = − − ( )
u au a
m a
m cosh senh^ u senh au du
m m 1
417. (^) ∫ (^ )^ ∫
au du − au^ au − − an
n n
cosh n cosh^ senh^1 cosh au du
n n
1 2
418. (^) ∫ ∫
= − (^ )
au u
du au n u
a n
au u
cosh cosh du 1 1
senh n n 1 n 1
419. (^) ∫ ∫
du au
au a n au
n n
du cosh au
senh 1 cosh
n n (^1 1) cosh n 2
F ormulario B ➟ D erivaDas
Alfaomega CálCulo^ integral^ • J^ osé^ A^ lfredo^ rAmos^ Beltrán
292
33. ( )
d
dx
x x x
csc
34. (^) ( ) = −
d − dx
u u
du dx
sen 1 1
1 2
35. (^) ( ) = − −
d − dx
u u
du dx
cos 1 1
1 2
36. (^) ( ) = +
d − dx
u u
du dx
tan 1 1
1 2
37. (^) ( ) = − +
d − dx
u u
du dx
cot
1 2
38. (^) ( ) = −
d − dx
u u u
du dx
sec 1 1
1 2
39. ( ) = −^ −
d − dx
u u u
du dx
csc 1 1
1 2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
40.^ d ( ) = dx
sen h x cosh x
41.^ d ( ) = dx
cosh x sen h x
42.^ d ( ) = dx
tanh x sec h^2 x
43.^ d ( ) = − dx
coth x csc h^2 x
44.^ d ( ) = − dx
sec hx sec hx tanh x
45.^ d ( ) = − dx
csc hx csc hx coth x
46.^ d ( ) = dx
u u du dx
sen h cosh
47.^ d ( ) = dx
u u du dx
cosh sen h
48.^ d ( ) = dx
u h u du dx
tanh sec 2
49.^ d ( ) = − dx
u h u du dx
coth csc 2
50.^ d ( ) = − dx
hu hu u
du dx
sec sec tanh
51.^ d ( ) = − dx
hu hu u du dx
csc csc coth
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
52. (^) ( −^ )= +
d dx
x x
sen h^1 1 2
53. (^) ( −^ )= −
d dx
x x
cosh^1
54. (^) ( −^ )= −
d dx
x x
tanh^1 1 2
55. (^) ( −^ )= − −
d dx
x x
coth^1
56. (^) ( ) = − −
d − dx
h x x x
sec 1 1
1 2
57. (^) ( ) = − +
d − dx
h x x x
csc 1 1
1 2
58. (^) ( −^ )= +
d dx
u u
du dx
sen h^1 1 2
59. (^) ( −^ )= −
d dx
u u
du dx
cosh^1 1
60. (^) ( −^ )= −
d dx
u u
du dx
tanh^1 1 2
61. (^) ( −^ )= − −
d dx
u u
du dx
coth^1 1 2
62. (^) ( −^ )= − −
d dx
h u u u
du dx
sec 1 1 1 2
63. (^) ( −^ )= − +
d dx
h u u u
du dx
csc 1
F ORMULARIO C ➟ Á LGEBRA, G EOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293
CÁLCULO INTEGRAL • J OSÉ A LFREDO RAMOS BELTRÁN Alfaomega
Triángulo rectángulo
b a
h
A = 1 ch = ab 2
2 ,^ P^ =^ a^ +^ b^ + c^ ,^ c^ =^ a^ + b
2 2 2
Triángulo equilátero
a b
a
h =^3 a
2 ,^
A =^3 a 4
2 , P = 3 a
Cuadrado
a
a
A = a^2 , P = 4 a
Rectángulo
b
h
P = 2 b + 2 , h A = bh
Romboide
b
h
A = bh
Trapezoide
b
a
h
A = 1 a + b h 2
Círculo
r
A = π r^2 , P = 2 π r
Corona circular
r
R
A = π ( R^2 − r^2 ) , P = 3 a
Sector circular
r
θ s
A = r θ
2 , s = r θ
Esfera
r
V =^4 π r 3
3 , S = 4 π r 2
Cono circular recto
h
r
V =^1 π r 3
3 , S = π r r 2 + h 2
Cilindro circular recto
h
r
V = π r h^2 , S^ =^2 π^ rh lateral
S = 2 π rh + 2 π r^2 total
Figuras geométricas
➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría
c
F ormulario C ➟ Á lgebra, geometría y trigonometría 295
CálCulo integral • J osé A lfredo rAmos Beltrán Alfaomega
Reglas de exponentes
y radicales
^
⋅
−
−
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
y
x
y
xy x y
m n m n m n^ m n m n
m n
m m n (^) n n n (^) n n
x x
x x
x x
xy x y x y
x y
x x
n n n m m n n m m^ n
n n^ n
n
n n m (^) n mn
1
Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos
( ) (^ )
( )
−
−∞ ∞
e e e e e e x a x
x
x a x x
log
log log ln log
n n x x a e
0
ln log
10 10
a
x y xy
x y
x y n x x x y xy
x y
x y b x x
ln ln ln
ln ln ln
ln ln log log log
log log log
log log
n
a a a
a a a
a a
b
➠ Geometría analítica
Distancia entre dos puntos
d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 )^2
( x 1 , y 1 )
P 1
y
x
P 2
( x 2 , y 2 )
Ecuación de la recta punto-pendiente
Pendiente de una recta
m
y x
y y x x
2 1 2 1
( x 1 , y 1 )
P 1 ( x 2 , y 1 )
y
x
P 2
P 3
∆ y
∆ x
( x 2 , y 2 )
Puntos de intersección de la recta
F ormulario C ➟ Á lgebra, geometría y trigonometría
Alfaomega CÁlCulo^ integral^ • J^ osé^ A^ lfredo^ rAmos^ Beltrán
296
Ecuación de la recta punto-pendiente y − y 1 (^) = m x ( − x 1 )
( x 1 , y 1 )
y
x
Puntos de intersección de la recta
x + = ∀ ≠ ≠ a
y b
1 a 0; b 0
(0 , b )
( a , 0)
y
x
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
x^2 + y^2 = r^2
y
r
x
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
( x − h ) 2 + ( y − k )^2 = r^2
y
r
x x
( h , k )
Parábola
x py
p p
p p
p
p y
p
2 ; Foco F= 0, 2
; Extremos Izq , 2
;Der , 2
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2
2
y
F
x
( - h , 2 p ) (^ p^ ,^ )
p
( 0 , 2 p )
y = - 2 p
Parábola
x py
p p
p p
p
p y
p
2 ; Foco F= 0, 2
; Extremos Izq , 2
;Der , 2
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2
2
y
F
x
( p ,- )
p
(- p , 2 p ) ( 0 ,- )
p
y =
p
