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Integración por Sustitución: Ejercicios Resueltos y Explicados, Apuntes de Matemáticas

Universidad Interamericana del Norte (UIN) - MéridaMatemáticas

Varias formulas para realizar integracion por sustitucion

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 25/02/2020

josefo-itza
josefo-itza 🇲🇽

2 documentos

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bg1
INTEGRACION POR
SUSTITUCION
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
Nunca olvides que basta una persona o una idea para cambiar tu vida para
siempre (ya sea para bien o para mal). JACKSON BROWN
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es
posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable
adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.
Considera el siguiente ejemplo:
dxxx
2
2
1
una forma de resolver la integral, consiste en encontrar el desarrollo del
binomio.
dxxxxdxxx 121
24
2
2
multiplicar este resultado por x, separar las integrales y luego aplicar las
regla básicas de integración.
C
xxx
xdxdxxdxx
dxxxx
dxxxxdxxx
226
2
2
121
246
35
35
24
2
2
El método empleado para este ejercicio no es muy práctico, para
exponentes mayores que 2, por ejemplo ¿qué pasaría si tuviéramos que
calcular:
dxxx
10
2
1
tendríamos que recordar el desarrollo del binomio de Newton o desarrollo
binomial, para
n
ba
, es decir :
nnnnn
n
b
n
n
ab
n
n
ba
n
ba
n
a
n
ba
1221
1
...
210
o,
n
r
rrn
n
ba
r
n
ba
0
C.P. PABLO ALEJANDRO URIBE CAMELO
1
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE INGENIERA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Integración por Sustitución: Ejercicios Resueltos y Explicados y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

INTEGRACION POR

SUSTITUCION

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Nunca olvides que basta una persona o una idea para cambiar tu vida para

siempre (ya sea para bien o para mal). JACKSON BROWN

E n muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es

posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable

adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.

Considera el siguiente ejemplo:

 

x xdx

2

2

1

una forma de resolver la integral, consiste en encontrar el desarrollo del

binomio.

   

 

x x  1 dxxx  2 x  1 dx

4 2

2

2

multiplicar este resultado por x, separar las integrales y luego aplicar las

regla básicas de integración.

   

 

C

x x x

xdx xdx xdx

x x x dx

xx dx xx x dx

   

  

  

   

  

 

6 2 2

2

2

1 2 1

6 4 2

5 3

5 3

4 2

2

2

El método empleado para este ejercicio no es muy práctico, para

exponentes mayores que 2, por ejemplo ¿qué pasaría si tuviéramos que

calcular:

 

x xdx

10

2

1

tendríamos que recordar el desarrollo del binomio de Newton o desarrollo

binomial, para  

n

a  b , es decir :

 

n n n n n

n

b

n

n

ab

n

n

a b

n

a b

n

a

n

a b

 

 

 1  2 2  1

1

...

0 1 2

o,

 

n

r

nr r

n

a b

r

n

a b

0

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA

SUSTITUCION

y para nuestro caso:

 

10

0

10

r

n r r

a b

r

a b

desarrollo que nos un polinomio

de once términos.

donde

    

!

1 2 .......... 1

r

nn n n r

r

n    

Para evitar este tipo de inconvenientes, existe un método que permite

encontrar este tipo de integrales de una manera sencilla. dicho método se

conoce como integración por sustitución , y consiste en hacer un cambio

de variable que permita expresar la integral dada en una integral que tenga

la forma de las integrales inmediatas o básicas.

Para hacer la integración por sustitución seguimos los siguientes pasos:

1) Hacer la elección de U , digamos U = f(x). Casi siempre U está entre

paréntesis, en el caso de funciones trigonométricas sencillas, en

expresiones logarítmicas o algunas funciones exponenciales.; elevado a un

exponente o dentro de un radical.

2) Hallar la derivada de la expresión U = f(x) , es decir :

/

f x

dx

dU

3) despejar dx , es decir hacer:

/

f x

dU

dx

4. Hacer la sustitución en la integral y tratar de dejar toda la expresión en

función de U.

5. Encontrar la integral en términos de U , para luego volver a dejar todo en

función de x.

Si al realizar las sustituciones, no es posible de dejar la integral únicamente

en función de U, se debe buscar otro método apropiado para resolver la

integral.

En la aplicación de la integración por sustitución, se debe expresar las

integrales básicas en función de la variable U. es decir

Se han concedido muchos

premios Nóbel por mostrar

que el universo no es tan

simple como podíamos haberlo

SUSTITUCION

    U dU

U dU

x

dU

x x dx x U

3

5

3

5

2

3

5

2

3

5

2 3

Encontramos la última integral: x  x   dx  U  C

3

8

3

5

2 3

sustituimos nuevamente U por equivalente:

x  x   dx   x    C

3

8

3 3

5

2 3

5 4

40

3

3 5 4

2. La integral de

dU U dx LnU C

U

 1

Ejemplo.

dx

x

x

3

2

Llamamos U a la expresión que se encuentre en el denominador:

3

U  x .

Encontramos su derivada:

2

12 x

dx

dU

Despejamos dx:

2

12 x

dU

dx 

Realizamos las sustituciones en la integral dada y simplificamos los términos

semejantes.

U

dU

U

dU

x

dU

U

x

2

2

Encontramos la última integral: dx LnU C

x

x

3

2

Sustituimos nuevamente

U

por equivalente: dx Ln x C

x

x

3

3

2

SUSTITUCION

e dU e C

U U

 

ejemplo: encontrar

e dx

3 x 1

Llamamos U a la expresión que se encuentre como exponente de e.:

U  3 x  1.

Encontramos su derivada:

dx

dU

; Despejamos dx:

dU

dx

Luego:

  

 

e dU e C e C

dU

e dx e

3 x 1 U U U 3 x 1

4. C

Lna

a

a dU

U

U

EJEMPLO:

dx

3 x 5

4

Llamamos U a la expresión que se encuentre como exponente de 4.:

U  3 x  5.

Encontramos su derivada:

dx

dU

; Despejamos dx:

dU

dx

Luego:

  

 

C

Ln

C

Ln

dU

dU

dx

x

U

3 x 5 U U 3 5

5. Las integrales de las funciones trigonométricas :

Integral Indefinida

CosUdUSenUC

SenUdU  CosUC

Sec UdUTanUC

2

SUSTITUCION

1  4 Senx * Cosxdx

3

Tanxdx

Cotxdx

dx

Senx

Cosx

 

dr

r

r

3

2

1

2

dy

x

x

dx

x x

x x

3 2

2

 

dx

y

y

3

4

3

 

dx

x

x

3

2

dx

x x

x

3

2

xe dx

x 2 x

2

( 2 2 )

Senxe dx

Cosx

EXISTEN, ciertas integrales que al realizar operación en el integrando se

puede expresar como integrales inmediatas cuya solución es una función

trigonometrica inversa.

Dichas integrales son de la forma:

C

a

U

Sen

a U

dU

1

2 2

EJEMPLO.

2

5 9 x

dx

Para resolver la integral, se trata de llevar el

polinomio que esta dentro del radical a una expresión de la forma

2 2

a  U ,

para vemos que :

5 9 5 3 5  3 

2 2 2 2

x   x   x

es decir, la integral nos queda:

 

 

2 2

5 3

5 9 x

dx

x

dx

ahora haciendo : U  3 x se tiene que dU  3 dx y al hacer la sustitución :

 

  

2 2 2

5 5 3

5 9 U

dU

x

dx

x

dx

que tiene la forma de la integral

C

a

U

Sen

a U

dU

1

2 2

con

2

a

, luego la

integral da como resultado:

SUSTITUCION

 

C

x

C Sen

a

U

Sen

U

dU

x

dx

x

dx

  

 

  

5

3

3

1

3

1

5

3

1

5 3

5 9

1 1

2 2 2

Las personas intentan hacer una cosa 10 veces, hasta que les

queda bien. Yo la hago 100 veces hasta que queda perfecta.

Luciano Pavarotti

EJEMPLO.

2

5 4 x x

dx

Para resolver la integral, se trata de llevar el

polinomio que esta dentro del radical a una expresión de la forma

2 2

aU

para ello completamos un trinomio cuadrado perfecto y luego lo

factorizamos:

 

 

2

2

2 2

9 2

9 4 4

5 4 5 4 4 4

x

x x

x x x x

  

   

      

es decir, la integral nos queda:

 

 

 

 

2 2

5 4 9 2 x

dx

x x

dx

ahora haciendo :

U  2  x

se tiene que

dUdx

y al hacer la sustitución :

 

  

 

 

2 2 2

9 9 2

5 4 U

dU

x

dx

x x

dx

que tiene la forma de la integral

C

a

U

Sen

a U

dU

1

2 2

con 9

2

a  , luego la

integral da como resultado:

 

C

x

C Sen

a

U

Sen

U

dU

x

dx

x x

dx

 

 

 

 

 

  

3

2

9 9 2

5 4

1 1

2 2 2

SUSTITUCION

   

2

2

2

2

4  3 x  4  3 x  4  3 x

es decir, la integral nos queda:

 

 

2 2

x

dx

x

dx

ahora haciendo : U  3 x se tiene que dU  3 dx y al hacer la sustitución :

 

2 2

4 3 U

dU

x

dx

que tiene la forma de la integral

C

a

U

Tan

a U a

dU

1

2 2

con 4

2

a  , luego la

integral da como resultado:

C

x

C Tan

x

Tan

U

dU

x

dx

 

 

1 1

2 2

Ejemplo: encontrar la integral de:

2

22 18 x 9 x

dx

Para resolver la integral, se trata de llevar el polinomio que

esta en el denominador a una expresión de la forma

2 2

a  U , para ello

tenemos:

 

2

2 2

13 3 3

22 18 9 22 9 9 18 9

x

x x x x

  

      

es decir, la integral nos queda:

 

 

2 2

x

dx

x x

dx

ahora haciendo : U  3  3 x se tiene que dU  3 dx y al hacer la sustitución :

 

2 2

22 18 9 U

dU

x x

dx

que tiene la forma de la integral

C

a

U

Tan

a U a

dU

1

2 2

con

2

a

, luego

la integral da como resultado:

SUSTITUCION

C

x

C Tan

x

Tan

U

dU

x x

dx

 

 

1 1

2 2

C

a

U

Sec

a

U U a

dU

1

2 2

Quien de veras sea tu amigo, te socorrerá en la necesidad, llorará si te entristeces,

no podrá dormir si tu velas y compartirá contigo las penas del corazón. Estos son

signos seguros para distinguir al fiel amigo del adulador enemigo. SHAKESPEARE

ACTIVIDAD. ENCONTRAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES

2

x x

dx

x

x

e

e dx

2

2

y y

dy

 

t  Ln t

dt

2