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5.1 INTEGRALES DOBLES
5.1.1 DEFINICIÓN.
5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
5.1.3 TEOREMA FUBINI
5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES
GENERALES
5.1.5 PROPIEDADES
5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN
5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES
5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS
CILÍNDRICAS.
5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA
INTEGRALES DOBLES
(TRANSFORMACIONES)
5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE
5.2 INTEGRALES TRIPLES
OBJETIVOS:
- Calcular Integrales Dobles.
- Invertir el orden de integración.
- Calcular Volúmenes.
- Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones.
- Calcular áreas de una Superficie.
5.1 INTEGRALES DOBLES
5.1.1 DEFINICIÓN
La integral definida para funciones de una variable se la definió de la
siguiente manera:
( ) (^) ( )
b n
i
i
n
a i
f x dx lím f x x
⎡ ⎤
= Δ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∑
La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la
curva y = f ( ) x en un intervalo (^) [ a b , ].
Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos
variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración
sería de la forma (^) [ a b , (^) ] (^) × (^) [ c d , ], es decir un rectángulo de
R , la cual la
denotamos como R.
Haciendo particiones de la región R , de dimensiones no necesariamente
iguales:
a b
c
d
x
y
R
a b
c
d
x
y
x 0 x 1 x 2 xn (^) − 1 xn
y 0
y 1
y 2
ym
ym (^) − 1
Δ x 1 Δ x 2 Δ xn
Δ y 1
Δ y 2
Δ y m
Δ x i
Δ y i
x i
yj
R
De aquí surge la definición de Integral doble
Sea f una función de dos variables
definida en la región plana
R = [ a b , ] × [ c d , ] = {( x y , )/ a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }
Al ( )
lim ,
m n
i
j i j
n
m j^ i
f x y x y
→∞ =^ =
Δ Δ ∑ ∑
se le
denomina la Integral Doble de f en R y
se la denota de la siguiente manera:
( , )
d b
c a
f x y dxdy ∫ ∫
Además, si existe este límite decimos que
f es integrable en R.
Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la
Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómo
evaluarla.
En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, pero
surge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos en
el siguiente teorema.
5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Sea f una función de dos variable
definida en la región plana
R = [ a b , ] × [ c d , ] = {( x y , )/ a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }
Si f está acotada en R y si f es continua
en R a excepción de un número finito de
curvas suaves, entonces f es integrable
en R.
Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable,
si la función es continua será integrable.
Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral
doble.
5.1.3 TEOREMA FUBINI
Sea f una función de dos variable
definida en la región plana
R = [ a b , ] × [ c d , ] = {( x y , )/ a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }. Si f es
continua en R , entonces:
( )
( )
( , ) ,
,
d b
R c a
b d
a c
f x y dA f x y dx dy
f x y dy dx
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢^ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas
como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales
Iteradas.
Ejemplo
Calcular
∫ ∫
−
1
0
2
1
2
xydydx
SOLUCIÓN :
Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir:
( )
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
− −
1
0
1
0
2
1
0
1
0
3 3
1
0
3
1
3
1
0
2
1
2
x x xdx xdx
dx x x dx
y xydydx x
Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a
y , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo.
f x ydy dx
xb
xa
y fx
ygx
∫ ∫
=
=
=
=
()
()
SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal
f x ydx dy
yd
yc
x fy
xgy
∫ ∫
=
=
=
=
()
()
Si f ( x , y )= 1 , la integral doble representa el área de la región R , es decir:
∫∫
R
A dA
La región anterior es llamada una región simple - xy , sin embargo pueden
existir regiones simple - x , sólo se puede empezar haciendo primero un
barrido vertical.
a b
y = f (^) ( x )
y = g ( x )
dx
dy
x
y
R
Como también pueden existir regiones simple - y , sólo se puede empezar
haciendo primero un barrido horizontal.
Ejemplo 1
Calcular
∫ ∫
1
0
3
2
x
x
xydydx
SOLUCIÓN :
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
[ ]
∫
∫ ∫ ∫ ∫
1
0
1
0
4 10 3 9
1
0
4 (^42)
1
0
4
1
0
3
2 2
x x x x dx
dx x x xx dx
y xydydx x
x
x
x
x
Ejemplo 2
Calcular y e dxdy
y
xy
∫ ∫
1
0 0
2
SOLUCIÓN :
Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
d
c
x = f (^) ( y )
x = g (^) ( y )
dx
dy
x
y
R
Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas.
PRIMER MÉTODO : Haciendo primero un barrido vertical.
La integral doble con límites será: xdydx
x
x
∫ ∫
2
0
2
2
Calculando la integral, resulta:
[ ] [ ( ) ( )]
3 4
2
0
2 3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
∫
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x dx
xdy dx xy dx x x xx dx
x
x
x
x
SEGUNDO METODO : Haciendo primero un barrido horizontal.
La integral doble con límites será: xdxdy
y
y
∫ ∫
4
0
2
Calculando la integral doble, resulta:
( )
4
0
2 3
4
0
2
4
0
2
2
4
0 2
2
4
0
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
y y
dy
y y dy
y
y dy
x xdxdy
y
y
y
y
Ejemplo 2
Calcular dA
R
∫∫
donde
y
x
x
y
y x
R SOLUCIÓN :
La región R es :
Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero:
∫ ∫ ∫ ∫
2
1
1
0
1
0 0
dydx dy dx
x x
Calculando las integrales dobles, tenemos:
ln 2 2
ln 2
2
1
1
0
2
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
0 0
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x
x
dx x
xdx
dy dx dydx ydx y xdx
x
x x
Ejemplo 4
Calcular ( x ) dA
R
∫∫
donde R es el triángulo que tiene por vértices los puntos (− 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) y ( 1 , 0 )
SOLUCIÓN :
La región R es :
No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinación de las ecuaciones de las
rectas se las puede obtener empleando la formula ( 1 )
2 1
2 1
1 x x x x
y y
y y −
−
Aquí también es mejor primero un barrido horizontal:
[( ) ( )] [( ) ( )]
[( ) ( ) ]
[ ]
1
0
1
1
1
0
2
1
0
1
0
2 2
1
0
2 2
1
0
1
1
2
1
0
1
1
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
−
−
−
−
−
−
x dx dy
y y
ydy
y y y y dy
y y y y dy
x dxdy x x dy
y
y
y
y
y
y
5.1. 5 PROPIEDADES
Sean f y g funciones de dos variables
continuas en una región R , entonces:
- ;
R R
kdA = k dA ∀ k ∈ℜ
∫∫ ∫∫
- (^) ( )
R R R
f ± g dA = fdA ± gdA
∫∫ ∫∫ ∫∫
R R 1 R 2
dA = dA + dA
∫∫ ∫∫ ∫∫
donde
R = R ∪ R
5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN
Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero
tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.
Ejemplo 1
Calcular
∫ ∫
e x
xydydx
1
ln
0
SOLUCIÓN:
Primero se debe identificar la región de integración. En este caso, la integral doble está dada
primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que
interpretar la integral doble de la siguiente manera:
∫ ∫
=
=
=
=
x e
x
y x
y
xydydx
1
ln
0
Por tanto, la región es
⎪ ⎩
x e
y
y x
R 0
ln
: , es decir:
Ejemplo 3
Invierta el orden de integración para
∫ ∫
−
− +
1
1
1
1
f ( x , y ) dxdy
y
y
SOLUCIÓN:
Interpretando los límites de integración dados, tenemos:
∫ ∫
=
=−
= +
=− +
1
1
1
1
y
y
x y
x y
f xydxdy. Se ha
hecho primero un barrido vertical
Entonces la región de integración es
⎪⎩
2
y
y x R
Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
∫ ∫
− −
2
2
1
1
2
f ( x , y ) dydx
x
Ejemplo 4
Invierta el orden de integración para
∫ ∫
4
2
16
f ( x , y ) dydx
x
x
SOLUCIÓN:
Interpretando los límites de integración dados, tenemos:
∫ ∫
=
=
=
=
4
2
16
x
x
x
y
yx
f xydydx Se ha hecho
un barrido vertical primero
Entonces la región de integración es
x
x
y
y x
R
Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
∫ ∫ ∫ ∫
4
16
2
4
2 2
f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy
y y
Ejercicios propuestos 5.
- Calcular
∫ ∫
1
0 0
y
x y e dxdy
- Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por
⎪⎩
2
2
x y
x y
- Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por:
⎪⎩
2
y x
y x
- Calcular:
∫∫
R
dA
x
y
2
2
donde R es la región limitada por
⎪ ⎩
xy
y
y x
- Calcular
∫∫
R
12 xdA donde R es la región limitada por ⎪⎩
y x
y x
2
- Calcular
∫ ∫
2
0
4
2
cos
x
y ydydx
- Calcular e dxdy
y
x
∫ ∫
−
1
0
2
1
2
2
- Invierta el orden de integración:
∫ ∫ ∫ ∫
− − +
−
− +
3
2
3
3
2
1
1
3
x
x
x
x
f xydydx f xydydx
- I NVERTIR el orden de integración y EVALUAR.
∫ ∫ ∫ ∫
−
2
1
2
0
1
0 0
2
ydydx ydy dx
x x
( )
2
3
0 0 2
0 0
2
2 3 0 0 2 0 0 2
2 3
0 2
0
2
3 3 2
0 2 2
0
y R y R y y
f x y dA x y dxdy
Valor Medio
dA
dxdy
x
y dy
x dy
y y dy
ydy
y
y
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
∫
∫
∫
∫
Ejercicios Propuestos 5.
- Calcule el valor medio de la función 2
1 ( ,)
− f xy = ey
x en la región del primer cuadrante
limitada por
2
y
x
y x
- Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es
0 , 6 0 , 4 f ( x , y )= 100 x y.
Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de
unidades de capital entre 300 y 325.
- Hallar el valor medio de (^) f ( x , y )= x + 2 y + 4 sobre la región limitada por las rectas
y = 2 x , y = 3 − x , y = 0
- Encuentre el valor medio de la función
2 ( ,)
x f xy e
− = sobre la región
y
y x
x
x
- Encuentre el valor medio de la función 2
2
( 1 )
(,)
=
xy
y f xy , sobre la región
⎩
x y
y R 0
6. Hallar el valor medio de f ( x , y ) = 2 xy en la región limitada por
y = x y y = x
5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
Ya definimos el volumen bajo una superficie.
Ejemplo
Hallar el volumen del sólido limitado por el plano 1
x y z
a b c
+ + = y el plano^ xy^ en
el primer octante.
SOLUCIÓN:
Haciendo un dibujo
El volumen del elemento diferencial sería
dV = hdA = zdA
Por tanto el volumen total está dado por :
R
x y
V c dA
a b
∫∫ ⎝^ ⎠
Donde la región R sería:
Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría:
x
y
z
h
dA
a
b
c
1
x y z c a b
⎛ ⎞ = (^) ⎜ − − ⎟ ⎝ ⎠
x
y
x y b a
a
b
