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ANÁLISIS NUMÉRICO

TEMA 1: ANÁLISIS DE ERROR

SUBTEMAS:

1.1 problemas matematicos y sus soluciones.

1.2 Importancia de los métodos numéricos.

1.3 Definición y tipos de errores.

1.4 Aplicaciones.

1.3 DEFINICION Y

TIPO DE ERRORES.

SOLICION ANALITICA

DEL

PROBLEMA DEL

PARACAIDISTA.

1.1 PROBLEMAS

MATEMATICOS Y

SUS SOLUCIONES.

Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo

aerostático fijo. Aplique la ecuación (1.10) para calcular la

velocidad antes de que se abra el paracaídas. Considere que el

coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s. Solución. Al

sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.10) se

obtiene:

v(t)=(9.8(68.1))/12.5 1-e^(-(12.5/68.1)t)=53.39 (1-e^(-0.18355t))

Un modelo matemático se define, de

manera general, como una formulación o

una ecuación que expresa las

características esenciales de un sistema

físico o de un proceso en términos

matemáticos

1.2 PROBLEMAS

DE LOS

METODOS

NUMERICOS.

Los errores numéricos se generan con el uso de

aproximaciones para representar las operaciones y

cantidades matemáticas. Esto incluye errores de

truncamiento que resultan de representar

aproximadamente un procedimiento matemático

exacto, y los errores de redondeo, que resultan de

MAPA CONCEPTUAL TEMA 1 ANALISIS NUMERICO

TEMA 1

ANALISIS DE

ERROR.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para

entender esquemas numéricos a fin de resolver

problemas matemáticos, de ingeniería y científicos

en una computadora, reducir esquemas numéricos

básicos, escribir programas y resolverlos en una

computadora y usar correctamente el software

existente para dichos métodos y no solo aumenta

nuestra habilidad para el uso de computadoras

sino que también amplia la pericia matemática y

la comprensi6n de los principios científicos

básicos.

2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora

los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus

manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los

efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se aplican a

objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a

velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.

3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a

empleare con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre

un objeto de masa conocida, la ecuación (1.3) se emplea para calcular la

aceleración

Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación (1.2) se obtiene

con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de

fenómenos físicos sean mucho más complejos y no se resuelvan con exactitud, o

que requieran para su solución de técnicas matemáticas más sofisticadas que la

simple álgebra. Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la

segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un

cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en

caída libre será el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo para este caso se

obtiene expresando la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con

respecto al tiempo ( dv / dt ), y sustituyendo en la ecuación (1.3). Se tiene:

dv

dt

F

m

(Ec. 1.4)

Donde v es la velocidad ( m / s ) y t es el tiempo (s). Así, la masa multiplicada por la

razón de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que actúa sobre el

cuerpo. Si la fuerza neta es positiva, el cuerpo se acelerará. Si es negativa, el

cuerpo se desacelerará. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo

permanecerá constante. Ahora expresemos la fuerza neta en términos de

variables y parámetros mensurables. Para un cuerpo que cae a distancias

cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total está compuesta por dos fuerzas

contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad

F

D

y la fuerza hacia

arriba debida a la resistencia del aire

F

U

F = F

D

+ F

U

(Ec. 1.5)

Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de

Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como

F

D

= mg (Ec. 1.6)

Donde g es la constante gravitacional, o la aceleración debida a la gravedad, que

es aproximadamente igual a 9. m / s

2

La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla

consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad, y que actúa

en dirección hacia arriba tal como:

F

U

=− Cv (Ec. 1.7)

Donde

C

es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia

o arrastre (kg/s). Así, cuanto mayor sea la velocidad de caída, mayor será la

fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta

las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su

superficie, que afectan la resistencia del aire. En este caso, c podría ser función

del tipo de traje o de la orientación usada por el paracaidista durante la caída libre.

La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia

arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene

dv

dt

mg − Cv

m

(Ec. 1.8)

O simplificando el lado derecho de la igualdad,

dv

dt

= g −

C

m

v (Ec. 1.9)

La ecuación (1.9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae

con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial porque

está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (

dv / dt ) de la variable

que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solución de la

segunda ley de Newton en la ecuación (1.3), la solución exacta de la ecuación

(1.9) para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante

simples manipulaciones algebraicas. Siendo necesario emplear técnicas más

avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta o analítica. Por ejemplo,

si inicialmente el paracaidista está en reposo (

v = 0 en

t = 0), se utiliza el cálculo

integral para resolver la ecuación (1.9), así

v

t

gm

c

1 − e

−

(

c

m

)

t

(Ec. 1.10)

Note que la ecuación (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuación

(1.1), donde v ( t )) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m

son parámetros, y g es la función de fuerza.

observando que a la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se

puede aproximar mediante:

dv

dt

∆ v

∆ t

v (

t

i + 1

)

− v t

i

t

i + 1

− t

i

(Ec. 1.11)

Donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente,

calculadas sobre intervalos finitos,

v t

i

es la velocidad en el tiempo inicial

t

i

, y

v (

t

i + 1

)

es la velocidad algún tiempo más tarde (

t

i + 1

). Observe que

dv

dt

≅ ∆ v / ∆t es

aproximado por que ∆t es finito. Recordando los cursos de cálculo tenemos que:

dv / dt = lim

∆ t → ∞

(

∆ v

∆ t

)

❑

La ecuación (1.11) representa el proceso inverso.

A la ecuación (1.11) se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida

de la derivada en el tiempo

t

i

. Sustituyendo en la ecuación (1.9), tenemos:

v (

t

i + 1

)

− v t

i

t

i + 1

− t

i

= g −

C

m

v ( t

i

Esta ecuación se reordena para obtener

v

(

t

i + 1

)

= v

(

t

i

)

=[ g −

C

m

v

(

t

i

)

v

(

t

i + 1

(

t

i

) )

]

(Ec. 1.12)

Note que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación

diferencial [ecuación (1.9)]. Es decir, este término nos da un medio para calcular la

razón de cambio o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha

transformado en una ecuación que puede utilizarse para determinar

algebraicamente la velocidad en

t

i + 1

, usando la pendiente y los valores anteriores

de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad en algún tiempo ti, es posible

calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior

t

i + 1

. Este nuevo valor de

la velocidad en

t

i + 1

sirve para calcular la velocidad en

t

i + 2

y así sucesivamente. Es

decir, a cualquier tiempo,

Valor nuevo = valor anterior + pendiente × tamaño del paso

Observe que esta aproximación formalmente se conoce como método de Euler.

Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista

Ejemplo de un problema:

Planteamiento del problema. Realice el mismo cálculo que en el ejemplo

anterior, pero usando la ecuación (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un

tamaño de paso de 2s para el cálculo.

Solución. Al empezar con los cálculos ¿), la velocidad del paracaidista es igual a

cero. Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo 1.1, se

utiliza la ecuación (1.12) para calcular la velocidad

t

i + 1

= 2s:

v = 0 +

[

]

2 =19.60 m / s

Para el siguiente intervalo de ( t= 2 a 4s), se repite el cálculo y se obtiene:

v =19.60+

[

]

2 =32.00 m / s

Si continúa los cálculos de manera similar para obtener los valores siguientes:

T, s V, m/s

1.2 Importancia de los métodos numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones

aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a

fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una

computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y

resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para

dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras

sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios

científicos básicos.

Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los

errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba

se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.

Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que

cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.

Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada

del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.

De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento

completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el

que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.

Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secuenciados

de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas,

el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados

constituye el Análisis Numérico.

De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy

especialmente en los métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis de

errores, propio de quien tiene por centro el método numérico mismo y no tanto su

aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos la línea de los

textos de “Métodos Numéricos” más que la de los textos de “Análisis Numérico”.

Ejemplo de un problema:

aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos,

normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor

verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado)

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor

aproximado. Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de

determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores

verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la

actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por

Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100)

Si se cumple la relación anterior , entonces se considera que el resultado obtenido

esta dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado(Es):

Abs(Ea)

ERRORES DE REDONDEO

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un

numero finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan

esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete

términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia

se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte

ignora los términos restantes de la representación decimal completa.

La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los

errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos

razones del por qué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener

una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí, es decir, los

cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque

un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación

en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

2. El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo

operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al

mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el

error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación

en lugar de un procedimiento matemático exacto.

Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de

Taylor.

Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos

de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.

Siendo el termino final:

Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par a un

polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como

las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un

número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al

mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.

ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento.

La única forma de minimizar los errores de redondeo es la de incrementar el

número de cifras significativas de la computadora.

ERRORES POR EQUIVOCACIÓN

VIDEOS LINK PARA ACCESAR

https://www.youtube.com/watch?v=zbSi5ywDCls

https://www.youtube.com/watch?v=aB2xxAMQUrA

https://www.youtube.com/watch?v=7Y_3jdOrJQ

https://www.youtube.com/watch?v=05Yj3_8XGQw

Bibliografía

Problemas matematicos-y-sus-soluciones – SlideShare

1.1 Importancia de los metodos numericos - KND - Google

Siteshttps://sites.google.com › site › ittgknd › home › 1-1-i...

Los métodos numéricos son muy importantes en los estudios a nivel ingeniería.

Para el ingeniero moderno, en el desarrollo de su profesión implica.

1.3 Tipos de errores. - Métodos Numéricos Equipo AH1N1https://sites.google.com

› site › home › 1-3-tipos-de-err...

Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: Error

absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como ...

4.4 Aplicaciones - Métodos Numéricos - Google Siteshttps://sites.google.com ›

unidad-4 › 4-4-aplicaciones

Se puede utilizar en el cálculo de estructuras, instalaciones eléctricas, hidráulicas

y sanitarias, en cálculos de carreteras, topografía y hasta en diseño ...

Trabajos citados

https://es.slideshare.net/andy593060/problemas-matematicosysussoluciones

https://sites.google.com/site/ittgknd/home/1-1-importancia-de-los-metodos-numer

https://sites.google.com/site/ah1n1win32/home/1-3-tipos-de-errores

https://sites.google.com/site/metalmetnumericos/home/unidad-4/4-4-aplicaciones

https://www.esss.co/es/blog/metodos-numericos-para-simulacion-en-la-ingenieria/