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6. MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.
6.1 ¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas. La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:
La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas.
6.2 OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX
6.2.1 VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO
El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y
exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=". Por ejemplo:
Problema planteado por Héctor Angulo - Ingeniero Industrial
PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
Las variables:
X 1 = Cantidad de mesas a producir (unidades) X 2 = Cantidad de sillas a producir (unidades) X 3 = Cantidad de camas a producir (unidades) X 4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Las restricciones:
2 X 1 + 1 X 2 + 1X 3 + 2X 4 <= 24 2 X 1 + 2 X 2 + 1X 3 <= 20 2 X 3 + 2X 4 <= 20 4 X 4 <= 16
La función Objetivo:
ZMAX = 20000 X 1 + 20000 X 2 + 20000 X 3 + 20000X 4
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado que todas las restricciones son "<=".
2 X 1 + 1 X 2 + 1X 3 + 2X 4 + 1 S 1 + 0S 2 + 0 S 3 + 0 S 4 = 24
2 X 1 + 2 X 2 + 1X 3 + 0 X 4 + 0S 1 + 1S 2 + 0 S 3 + 0 S 4 = 20
0 X 1 + 0 X 2 + 2X 3 + 2 X 4 + 0 S 1 + 0S 2 + 1 S 3 + 0 S 4 = 20
0 X 1 + 0 X 2 + 0X 3 + 4 X 4 + 0 S 1 + 0S 2 + 0 S 3 + 1 S 4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción correspondiente a el recurso 1.
La función objetivo no sufre variaciones:
ZMAX = 20000 X 1 + 20000 X 2 + 20000 X 3 + 20000X 4
PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero (0) en la matriz identidad.
1 S 1 = 24 1 S 2 = 20 1 S 3 = 20 1 S 4 = 16
PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL
Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones.
Maximizar Minimizar Variable que entra
La más positiva de los Cj - Zj La más negativa de los Cj - Zj
Variable que sale
Siendo b los valores bajo la celda solución y a el valor correspondiente a la intersección entre b y la variable que entra. La menos positiva de los b/a.
Siendo b los valores bajo la celda solución y a el valor correspondiente a la intersección entre b y la variable que entra. La más positiva de los b/a.
- El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a continuación.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar, en este caso el "a = 4".
- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.
X 4 = 4
Con una utilidad de: $ 340000
Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.
Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso (pieza rectangular de 8 pines).
X 1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0) X 2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7) X 3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)
