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ESTUDIO DEL M.A.S DEL SISTEMA
DE MASA-RESORTE Y ANALISIS DE
LAS OSCILACIONES CON CASSY-M
Brayan Antonio Ardila Silva 2231721 – Geología
Jimmy Alexander Cury Caballero 2231751 – Ing. Electrónica
La ciencia es la llave maestra del futuro.
Louis Pasteur
Resumen
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento
armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena
aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir
matemáticamente. Por tal motivo, en la presente práctica se estudia un sistema masa-resorte teniendo
en cuenta las características que presenta dicho movimiento, cambiando la amplitud del resorte, su
relación dependiente entre el periodo de oscilación y la masa o constante del resorte
INTRODUCCIÓN
Siempre se ha explicado cómo funciona el movimiento armónico simple en un sistema masa-resorte, pero
¿se puede observar experimentalmente y cómo varía dependiendo del tipo de resorte o del peso utilizado?
Esta es la pregunta de investigación que se abordó en el experimento. Se notó que las oscilaciones pueden
variar debido a diferentes factores, y esto fue respaldado por el laboratorio. Para observar esto, se inició
tomando una masa y colocándola en el extremo de un resorte, el cual estaba fijado en la parte superior
de una barra. Luego, se soltó lentamente para determinar la elongación del resorte. Después de esto, se
puso a oscilar el sistema. Con el sistema Cassy, se tomaba el tiempo y la posición, y luego se situaba sobre
un imán que, mediante un comando enviado a Cassy, soltaba automáticamente el resorte con la masa,
iniciando las oscilaciones. Los datos se registraban en el computador y se almacenaban en una tabla de
datos. Luego, se variaba el peso para observar el comportamiento de las oscilaciones, y para cada peso se
almacenaban sus datos. Después, se cambiaba el resorte, en este caso se usó uno más grueso, y se
realizaron los mismos procesos, notando claramente una variación en las oscilaciones. En el computador
también se podía observar la gráfica, lo que permitía ver si era correcta o estaba desfasada. Si la gráfica
no coincidía, se repetía el proceso hasta que la gráfica fuera la correcta. Finalmente, se tomaron los datos
de cada oscilación para analizar cómo los diferentes factores afectaban el movimiento armónico simple.
Marco teórico
Decimos que una partícula o sistema tiene movimiento armónico simple (m.a.s) cuando vibra bajo la
acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio.
Decimos, entonces, que dicho cuerpo es un oscilador armónico. Fernández (s. f.)
Cuando las fuerzas restauradoras que actúan sobre la partícula son proporcionales a la distancia al punto
de equilibrio, decimos que se produce un movimiento armónico simple (m.a.s), también conocido
como movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.). En general, dichas fuerzas restauradoras siguen
la ley de Hooke. Moebs et al. (2021)
Donde K es la constante restauradora del recurso y 𝐹⃗ es la fuerza recuperadora ejercida por el recurso.
Si a un sistema se le aplica una fuerza recuperadora, se dice que su movimiento es armónico simple y por
medio de la segunda ley de Newton se tiene que:
Pero sabiendo que 𝜔 2 = k/m la ecuación se puede escribir de la siguiente forma:
d²x
dt²
La función (𝑡) que satisface la ecuación diferencial de segundo orden es:
En donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio, 𝜔 la frecuencia y 𝜑 es del desfase. Por último, el
tiempo en hacer una oscilación completa es el período que está dado por la ecuación:
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝑚
𝑘
Fase 1.1: el objetivo de la fase 1 fue probar la ley de Hooke de dos diferentes maneras en la primera fase
con ayuda del sistema Cassy-lab, tuvimos que hacer que el programa asumiera el punto 0 y después se le
iban agregando masas a él porta pesas por lo cual la elongación de el resorte iba cambiando y esta medida
nos la otorgaba el sistema Cassy lab e íbamos anotando las diferentes masas y la elongación que estas le
iban produciendo a él resorte
Fase 1.2: para la segunda manera de demostrar la ley de Hooke nuevamente con ayuda del sistema Cassy
lab teníamos que ir agregando masas, pero esta vez cada que se agregaba masa se hizo que el programa
asumiera el punto 0 y pegamos la masa a el electroimán y desde el programa se ponía a oscilar y este
registraba el periodo y ese era el dato que tomábamos
Fase 2: Esta vez se podría decir que repetimos los pasos de la fase 1.2 a diferencia que en esta fase solo
trabajamos 3 masas y acá ya no tomábamos los datos de elongación ni periodo si no que por medio del
sistema Cassy-lab el cual graficó la función del sistema amortiguado mostrándonos datos de tiempo y de
posiciones máximas(amplitud) los cuales fueron los datos con los que trabajamos.
TRATAMIENTO DE DATOS.
PARTE 1: Corroboración de la Ley de Hooke
Masa [kg] Elongación [m] Periodo [s] Periodo al cuadrado [s
2
]
Tabla1: Datos experimentales de la masa, elongación y periodo
En el caso del movimiento armónico simple se establece una relación específica para el período:
Donde:
Considerando la expresión anterior, es posible graficar el comportamiento del sistema y determinar la
constante elástica a partir de la pendiente de la gráfica, que se representa mediante T
2
/m. Para ello, se
realiza un ajuste lineal a los datos obtenidos:
Grafico1: Periodo
2
vs Masa
A partir del gráfico número 1, se obtuvo que la pendiente del ajuste lineal es 12,566 [s
2
/kg]. Este dato se
puede igualar a la expresión teórica de la pendiente:
Despejando la ecuación, se encuentra la constante elástica:
Mediante la constante encontrada, se pueden calcular los valores teóricos del período para este tipo de
movimiento. Posteriormente, se comparan con los valores experimentales obtenidos:
Periodo Experimental [s] Periodo Teórico [s] Porcentaje de Error [%]
y = 12,566x + 0,
R² = 0,
0
1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.
PERIODO^2 [s^2]
MASA [kg]
PERIODO AL CUADRADO vs MASA
Como se puede observar en el gráfico número 2, la pendiente de la función que representa la elongación
es 3,0527 [N/m]. Comparando los datos, donde K m
es la constante calculada en función de la variación de
la masa, y K p
de la variación de la elongación, se obtiene:
K
m
K
p
Porcentaje de Error [%]
Tabla4: Comparación de las constantes elásticas
PARTE 2: Análisis del Movimiento Amortiguado
Tiempo [s]
Posiciones
Máximas
Tiempo [s]
Posiciones
Máximas
Tiempo [s]
Posiciones
Máximas
Masa [kg] 0,05 Masa [kg] 0,07 Masa [kg] 0,
Tabla5: Datos de las posiciones máximas en un tiempo específico para diferentes masas
El movimiento oscilatorio de un sistema masa-resorte en contacto con el aire se clasifica como un
movimiento armónico subamortiguado. En este tipo de movimiento armónico amortiguado, la función
que describe la posición se expresa de la siguiente manera:
Donde es la amplitud, es la constante de amortiguamiento y, es la frecuencia
del sistema amortiguado.
Si se cuenta con los valores específicos de la amplitud y el periodo, se pueden calcular los valores
específicos de ω y construir la ecuación de movimiento para la masa de 0,05 [kg].
Grafico 3 : Gráfica de movimiento para la masa de 0,05 [kg]
Grafico4: Ajuste lineal de los puntos máximos para la masa de 0,05 [kg]
El gráfico número 4 brinda dos constantes importantes: la constante de amortiguamiento (𝛾) y la amplitud
máxima ( A 0
). Al comparar la ecuación del gráfico con la ecuación 𝒚 = 𝑨
𝟎
−𝛄𝒕
se puede observar lo
siguiente:
A
0
En la tabla 5 se observa que entre cada amplitud máxima hay una diferencia de 0,85 segundos, lo cual
representa al periodo, es decir, el tiempo de cada oscilación.
-0.
-0.
-0.
-0.
0
0 5 10 15 20
AMPLITUD [m]
TIEMPO [s]
GRÁFICA DEL MOVIMIENTO
y = 0.0868e
R² = 0.
0
0 2 4 6 8 10
AMPLITUD MÁXIMA [m]
TIEMPO [s]
AMPLITUD RESPECTO AL TIEMPO
Grafico 5 : Gráfica de movimiento para la masa de 0,07 [kg]
Grafico 6 : Ajuste lineal de los puntos máximos para la masa de 0,07 [kg]
El gráfico número 6 brinda dos constantes importantes: la constante de amortiguamiento (𝛾) y la amplitud
máxima ( A 0
). Al comparar la ecuación del gráfico con la ecuación 𝒚 = 𝑨
𝟎
−𝛄𝒕
se puede observar lo
siguiente:
A
0
En la tabla 5 se observa que entre cada amplitud máxima hay una diferencia de 1 segundo, lo cual
representa al periodo (el tiempo de cada oscilación).
-0.
-0.
-0.
-0.
-0.
0
0 5 10 15 20
AMPLITUD [m]
TIEMPO [s]
GRÁFICA DEL MOVIMIENTO
y = 0.0899e
R² = 0.
0
0 2 4 6 8 10 12
AMPLITUD [m]
TIEMPO [s]
AMPLITUD RESPECTO AL TIEMPO
𝟎
Entonces:
𝑨
𝟐
𝟐
Masa [kg] Amplitud [m] 𝛾 W 0
W
a
Tabla7: Datos para la ecuación de movimiento de la masa de 0,07 [kg]
Se halla la ecuación de movimiento con los valores anteriores
−𝟎,𝟏𝟐𝟖𝒕
Para hallar la fase inicial ( ∅ ) evaluamos la función en cualquier tiempo (t)
−𝟎,𝟏𝟐𝟖(𝟏,𝟎𝟓)
−𝟏
Finalmente, la ecuación del movimiento es:
−𝟎,𝟏𝟐𝟖𝒕
Al derivar la ecuación de movimiento, obtendremos las ecuaciones correspondientes a la velocidad y la
aceleración.
−𝟎,𝟏𝟐𝟖𝒕
Donde 𝛿 = 𝑡𝑎𝑛
− 1
−𝑤 𝐴
𝛾
−𝟎,𝟏𝟐𝟖𝒕
−𝟎,𝟏𝟐𝟖𝒕
𝟎
Entonces:
𝑨
𝟐
𝟐
Masa [kg] Amplitud [m] 𝛾
W
0
W
a
Tabla8: Datos para la ecuación de movimiento de la masa de 0,085 [kg]
Se halla la ecuación de movimiento con los valores anteriores
−𝟎,𝟏𝟔𝟕𝒕
Para hallar la fase inicial ( ∅ ) evaluamos la función en cualquier tiempo (t)
−𝟎,𝟏𝟔𝟕(𝟏,𝟏)
−𝟏
Finalmente, la ecuación del movimiento es:
−𝟎,𝟏𝟔𝟕𝒕
Al derivar la ecuación de movimiento, obtendremos las ecuaciones correspondientes a la velocidad y la
aceleración.
−𝟎,𝟏𝟔𝟕𝒕
Donde 𝛿 = 𝑡𝑎𝑛
− 1
−𝑤 𝐴
𝛾
−𝟎,𝟏𝟔𝟕𝒕
−𝟎,𝟏𝟔𝟕𝒕
ANÁLISIS DE RESULTADOS.
En todos los casos analizados, se observa que la elongación de un resorte al aplicarle una masa es
proporcional a la cantidad de masa colocada: a mayor masa, mayor elongación.
La constante del resorte no depende de la masa ni del período, sino que es una propiedad inherente del
resorte, utilizada como parámetro en la elaboración del experimento. Donde el bajo porcentaje de error
indica que los resultados experimentales son bastante precisos, con posibles pequeñas discrepancias
atribuibles a errores de medición o a condiciones experimentales.
En un movimiento de resorte amortiguado, la amplitud de oscilación disminuye progresivamente con el
tiempo. Esto demuestra cómo el entorno influye en el comportamiento del sistema. El resultado indica
que la influencia del amortiguamiento sobre la frecuencia del sistema es mínima, lo que sugiere que el
resorte conserva una frecuencia de oscilación cercana a la teórica.
CONCLUSIONES
El análisis de los datos revela que las variables son similares en cada conjunto, lo que indica que hubo
pocos errores en los cálculos o en la recolección de datos. Esto contribuye al desarrollo del proyecto y
facilita una interpretación más precisa de los resultados.
Se confirmó de manera experimental la ley de Hooke, que establece que la fuerza recuperadora nula del
tipo de resorte depende de una constante propia del material y de la elongación que se le imponga.
En un movimiento oscilatorio amortiguado, la amplitud variará con el tiempo, disminuyendo
gradualmente debido a un decrecimiento exponencial que depende del coeficiente de amortiguación del
medio en el que se desarrolla el movimiento.
REFERENCIAS
Fernández, J. L. (s. f.). Movimiento armónico simple (M.A.S.). Fisicalab.
https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-oscilador-armonico
Moebs, W., Ling, S. J., & Sanny, J. (2021, 28 septiembre). 15.1 Movimiento armónico simple - Física
universitaria volumen 1 | OpenStax. https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-
1/pages/15- 1 - movimiento-armonico-simple
DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE ELÁSTICA DE UN MUELLE. (s/f). Sociedadelainformacion.com.
Recuperado el 15 de marzo de 2025, de
http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/muelle/constante.htm
ANEXOS
