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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Tema 8. Inferencia con dos poblaciones

1. Comparación de dos medias usando muestras independientes

2. Comparación de dos medias usando datos emparejados

Tema 8. Inferencia con dos poblaciones

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

20 racimos de plantas cultivadas

con Algae orgánico

20 racimos de plantas

cultivadas con Biocraft

20 racimos de plantas

cultivadas sin bioestimulantes

Vamos a analizar el

efecto de este

biofertilizante

Peso_racimos_banano.xlsx

En total tenemos

20+20+20=60 racimos

𝟏

𝟐

Tengo una muestra aleatoria de cada población.

Son 3 muestras independientes, pues cada

racima sólo pertenece a uno de los grupos. No

hay racimas que se hayan incluido en más de un

grupo. En cada racima, o se utilizó Algae

orgánico, Biocraft o nada (Testigo)

Observa que son 60 racimas, no 20. Cada fila NO es una misma unidad experimental.

El tamaño muestral es el mismo, pero podría ser diferente

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝑥 ҧ 1

= 31. 95

𝑠 Ƹ 1

= 4. 82

𝑥 ҧ 2

= 30. 25

𝑠 Ƹ 2

= 4. 30

𝑋 1

= peso de un racimo cultivado

con Algae orgánico

𝜇 1

𝜎 1

𝑋 2

= peso de un racimo cultivado

sin bioestimulante

𝜇 2

𝜎 2

Poblaciones

(desconocidas)

𝑥 ҧ

𝑥ҧ

⇒¿ 𝜇

𝜇

?

Queremos saber si los parámetros de la

población, 𝜇 1

y 𝜇 2

cumplen que 𝜇 1

2

a partir de sus estimaciones en una

muestra, 𝑥ҧ 1

y 𝑥ҧ 2

Contraste de hipótesis

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝑋 1

= peso de un racimo cultivado

con Algae orgánico

𝜇 1

𝜎 1

𝑋 2

= peso de un racimo cultivado

sin bioestimulante

𝜇 2

𝜎 2

1

11

12

1 𝑛 1

1

Tenemos una m.a.s. de cada población, de tamaños 𝑛 1

y 𝑛 2

Como las muestas son independientes,

1

y

2

son v.a. independientes

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

21

22

2 𝑛 2

2

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝑋 1

= peso de un racimo cultivado

con Algae orgánico

𝜇 1

𝜎 1

𝑋 2

= peso de un racimo cultivado

sin bioestimulante

𝜇 2

𝜎 2

Tenemos una m.a.s. de cada población, de tamaños 𝑛 1

y 𝑛 2

1

2

11

12

1 𝑛 1

1

21

22

2 𝑛 2

2

1

11

12

1 𝑛 1

1

2

21

22

2 𝑛 2

2

• Si las poblaciones son normales ⇒

1

y

2

serán normales ⇒

1

2

será normal

• Si las poblaciones no son normales, pero las muestras son grandes ⇒

1

2

será normal

Puede ser suficiente que 𝑛 1

, 𝑛 2

30 , pero si los tamaños

muestrales y las varianzas son similares, sería suficiente que

𝑛 1

• 𝑛 2

30

11

1

12

1

1 𝑛 1

1

21

2

2 𝑛 2

2

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝐼𝐶 1 − 𝛼 : 𝜇 1

− 𝜇 2

∈ 𝑥lj 1

− 𝑥lj 2

± 𝑧 𝛼Τ 2

𝜎 1

2

𝑛 1

𝜎 2

2

𝑛 2

1. Comparación de dos medias usando muestras independientes

Intervalo de confianza

parámetro

estimación

valor de tablas

error estándar del estimador

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

Podría emplearse para contrastar si 𝐻 0

1

2

vs 𝐻 1

1

2

Intervalo de confianza de la diferencia de medias

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝐼𝐶 1 − 𝛼 : 𝜇 1

− 𝜇 2

∈ 𝑥lj 1

− 𝑥lj 2

± 𝑧 𝛼 Τ 2

𝜎 1

2

𝑛 1

𝜎 2

2

𝑛 2

1. Comparación de dos medias usando muestras independientes

Intervalo de confianza con varianzas poblacionales conocidas

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

𝐼𝐶( 1 − 𝛼): 𝜇 1

− 𝜇 2

∈ 𝑥lj 1

− 𝑥lj 2

± 𝑧 𝛼 Τ 2

𝜎

1

𝑛 1

1

𝑛 2

Si 𝜎 1

2

Intervalo de confianza de la diferencia de medias

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Formulario

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝑥 ҧ 1

= 31. 95

𝑠 Ƹ 1

= 4. 82

𝑥 ҧ 3

= 30. 25

𝑠 Ƹ 3

= 4. 30

24 28 32 36 40

7 6 5 4 3 2 1 0

Media 31 , 95

Desv.Est. 4 , 81 7

N 20

AlgaeOr

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

Histograma de AlgaeOr

Normal

20 24 28 32 36 40

8 7 6 5 4 3 2 1 0 Media 30 , 25

Desv.Est. 4 , 303

N 20

Testigo

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a

Histograma de Testigo

Normal

Las muestras sugieren que

pueden venir de

poblaciones normales

Vamos a construir un intervalo de confianza del

95 % para la diferencia de peso que hay entre

cultivar utilizando bioestimulante Algae orgánico o

sin utilizar ningún bioestimulante.

Peso_racimos_banano.xlsx

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

𝑥 ҧ 1

= 31. 95

𝑠 Ƹ 1

= 4. 82

𝑥 ҧ 2

= 30. 25

ොs 2

= 4. 30

Vamos a construir un intervalo de confianza del

95 % para la diferencia de peso que hay entre

cultivar utilizando bioestimulante Algae orgánico o

sin utilizar ningún bioestimulante.

Como 𝑠Ƹ 1

< 2 × 𝑠Ƹ

2

utilizamos el estimador

agrupado

𝑇

2

መ 𝑆 𝑇

2

20 − 1 4. 82

2

• 20 − 1 4. 30

2

20 + 20 − 2

= 4. 57

2

𝐼𝐶 0. 95 : 𝜇 1

− 𝜇 2

∈ 31. 95 − 30. 25 ± 2. 024 4. 57

1

20

1

20

= − 1. 22 ; 4. 62

El intervalo contiene al cero, por lo que no podemos rechazar 𝐻 0

1

2

. Es decir, con

estos datos no podemos rechazar que ambas muestras vengan de la misma población.

La diferencia que se ha encontrado entre estas dos muestras no es estadísticamente

significativa. Es decir, es similar a la que se tendría si las dos muestras viniesen del

cultivo sin bioestimulante.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Vamos ahora a realizar el intervalo con RCommander

Leemos los datos

Intervalo de confianza de la diferencia de medias

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

La variable que usamos para formar los dos

grupos debe ser factor. La convertimos a factor

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Ya podemos realizar el intervalo de confianza con RCommander

Para obtener los intervalos

que hemos visto, hay que

decir a RCommander que

nos haga un contraste con

alternativa bilateral

Hace la diferencia del

grupo de valor 0 menos

el grupo de valor 1

• Este intervalo que hace RCommander

utiliza la t- de Student como

distribución de referencia.

• Por tanto, es válida en poblaciones

normales o, si no hay normalidad, en

muestras grandes.