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ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN doi: 10.24844/EM2903.
Indagación de la historia de las desigualdades
matemáticas
Inquiring about the history of mathematical inequalities
Silvia Bernardis^1
Liliana Nitti^2
Sara Scaglia^3
Resumen. En este artículo presentamos una indagación histórica sobre los usos de las desigualdades en la historia de la matemática, realizada en el marco de una investigación en torno al tema mencionado, cuyo propósito es contribuir a mejorar la calidad de su enseñanza. Esto porque el análisis histó- rico de un concepto proporciona indicios para interpretar las producciones, concepciones y dificultades de los estudiantes y para diseñar experiencias que favorezcan su comprensión. A partir de un estudio fenomenológico (Freudenthal, 2002) caracterizamos fenómenos matemáticos organizados por el concepto de desigualdad. En este artículo presentamos algunas evidencias de la manifestación de esos fenóme- nos en la historia de la matemática. Reflexionamos respecto del tipo de experiencias que es necesario ofrecer a los estudiantes para la construcción de buenos “objetos mentales” de la
Fecha de recepción: 27 de agosto de 2016. Fecha de aceptación: 10 de junio de 2017. (^1) Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe. Argentina. sbernard@fhuc.unl.edu.ar (^2) rnitti@fhuc.unl.edu.ar (^3) scaglia@fhuc.unl.edu.ar
Silvia Bernardis • Liliana Nitti • Sara Scaglia
desigualdad en la etapa elemental, para abordar en condiciones óptimas el estudio de la matemática avanzada.
Palabras clave: indagación histórica, desigualdad matemática, fenómenos or- ganizados, concepto-marcos.
Abstract. In this article, we inquire about the use of inequalities in the history of mathematics, so as to help improve the quality of teaching this theme. The historical analysis of a concept provides clues to interpret the productions, conceptions, and difficulties of students and to design experiences that favor their understanding. From a phenomenological study (Freudenthal, 2002) we characterize math- ematical phenomena that are organized by the concept of inequalities. In this article, we present some evidence of the manifestation of these phenomena in the history of mathematics. We reflect on the type of experiences that are necessary for students, for them to create “mental objects” of inequality in an elementary stage, that will enable them to study this advanced mathematics topic, in optimal conditions.
Keywords: historical inquiry, mathematical inequalities, organized pheno mena, concept, frames.
1. INTRODUCCIÓN
Para abordar la problemática de la enseñanza y el aprendizaje del cálculo, Ar- tigue (1995) propone desarrollar investigaciones que se ubiquen en la transición álgebra-cálculo, ya que considera que no existe un paso natural entre estos dominios. Por el contrario, plantea que existe una ruptura entre ambos que impacta en la comprensión de los temas del cálculo. Consideramos que las desigualdades matemáticas constituyen uno de los temas que forman parte de esta transición, dado que intervienen en algunas definiciones, como por ejemplo la de límite de una función, en los procedimien- tos de acotación, en la comparación de expresiones algebraicas y en otras no- ciones relacionadas al cálculo y al álgebra. Algunas investigaciones en torno a las desigualdades estudian las dificulta- des de los estudiantes al abordarlas y formulan propuestas para mejorar su tratamiento en el aula. Tal es el caso de Diez (1996), Malara, Brandoli y Fiori
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elementos para entender la constitución histórica de algún saber concerniente a las inecuaciones. Bagni (2005) menciona “distintas perspectivas teóricas” en torno a la relación entre historia y didáctica. En el marco de una investigación sobre la historia del álgebra, se dedica particularmente a la historia de las ecuaciones e inecuaciones. El autor considera que una primera perspectiva se relaciona con la presentación de anécdotas y aclara que la selección de los datos históricos que se presenta- rá en la práctica del aula es relevante ya que refleja algunas opciones episte- mológicas adoptadas por el docente. Otra asume un paralelismo entre el desarrollo histórico y el desarrollo cognitivo. Desde este punto de vista se sostie- ne que las reacciones de los alumnos son a veces bastante similares a las in- terpretaciones que tuvieron algunos matemáticos en la historia en la conformación de ciertas teorías matemáticas. Dicha similitud sería una herra- mienta importante para los profesores de matemática. Finalmente, Bagni (2005) menciona la perspectiva que alude a los “obstáculos epistemológicos”, según la cual, la mayoría de los objetivos importantes de los estudios históricos se llevan a cabo para encontrar problemas y sistemas de restricciones (situaciones fun- damentales) que deben ser analizados con el fin de entender el conocimiento existente, cuyo descubrimiento está conectado a la solución de tales problemas. Sessa (2005) reflexiona sobre la historia del álgebra y alerta sobre el uso “ingenuo” de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje. Considera que el conocimiento de los “caminos” de la historia representa una vía de acceso a mayores niveles de complejidad acerca de la naturaleza de los objetos matemáticos. Menciona que las condiciones de la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, no son adecuadas en general para reproducir en la escuela. Azcárate y Deulofeu (1990) destacan en este sentido que no se trata de enseñar la historia de un concepto en un período o períodos determinados, sino que constituye un instrumento básico para el enseñante y supone un conoci- miento imprescindible para la elaboración de una didáctica determinada. Este conocimiento, le permitirá adquirir una visión más amplia de la que se obtiene a partir de las definiciones de una teoría acabada, a la que se llega después de un largo camino. Además, aclaran, que si las nociones matemáticas se reprodu- cen en la enseñanza como formalmente son presentadas en una teoría acaba- da pueden conducir a graves errores epistemológicos y didácticos. A partir de las consideraciones anteriores sostenemos que el análisis histó- rico de un concepto da indicios para interpretar las producciones, concepciones
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y dificultades de los estudiantes y para detectar los fenómenos que el concepto organiza (en el sentido que le damos siguiendo a Freudenthal, 2002, en el apartado siguiente). Esto permitirá ofrecer experiencias que favorezcan su com- prensión.
2. MARCO TEÓRICO
El marco teórico en el que basamos nuestro estudio proviene principalmente de la perspectiva de Freudenthal (2002). Este autor afirma que los conceptos, ideas y estructuras matemáticas sirven para organizar fenómenos del mundo físico, social y mental. La fenomenología de un concepto, estructura o idea matemáti- ca significa describirlo en su relación con los fenómenos para los que fue creado y a los que ha sido extendido en el proceso de aprendizaje de la huma- nidad. Cuando esta descripción se refiere al proceso de aprendizaje de las ge- neraciones jóvenes, se habla de fenomenología didáctica, que proporciona una guía al profesor acerca de los lugares por los que el alumno puede transitar en el proceso de aprendizaje. En particular, Freudenthal (2002) considera fenome- nología histórica al estudio de cómo se adquiere la relación entre los conceptos, ideas y estructuras matemáticas y los fenómenos en la historia. El conocimiento de los momentos claves en la historia de la desigualdad matemática pone de manifiesto aquellos obstáculos que hubo que superar para perfeccionar este concepto. Además, pone en evidencia su importancia en distintos dominios de la matemática. Consideramos que estas cuestiones resultan de interés para el diseño de experiencias de aprendizaje apropiadas para su comprensión. Si bien en este artículo no pretendemos realizar una fenomenología históri- ca, nos apoyamos en esta idea para explorar en la historia de la matemática con el fin de detectar evidencias de los fenómenos en los que surge el uso de las desigualdades matemáticas. Freudenthal (2002) propone comenzar por los fenómenos que solicitan ser organizados y desde aquí enseñar a manipular los correspondientes medios de organización. En el proceso de construcción del conocimiento matemático, como se muestra en el Esquema 1, distingue entre phainomenon y nooumena. Phai- nomenon : es el fenómeno que queremos comprender y estructurar. Es aquello que se comprende a través de la experiencia. Nooumena : corresponde a las entidades de pensamiento, las ideas con las que organizamos tal fenómeno. Es decir, lo que es capaz de concebirse con la mente.
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A continuación, el autor define mayor y menor. Además, destaca que dos des- igualdades tienen el mismo sentido si sus símbolos apuntan en la misma direc- ción; en caso contrario tienen sentidos opuestos. Claramente el autor relaciona mayor y menor con la ordenación, extiende esta idea por lo que consideramos que a partir de la definición de desigualdad entre expresiones que propone surge el fenómeno de ordenación.
Fenómeno de ordenación : la definición de desigualdad como una relación que cumple con ciertas propiedades (tricotomía y transitividad) nos conduce a plan- tear la existencia del fenómeno de ordenación. Como resultado de la relación de orden en el conjunto de los números reales, surgen en paralelo las desigual- dades de expresiones. Es fácil entender que este fenómeno está presente en la necesidad de comparar y ordenar. La relación de orden, o simplemente orden, es una relación binaria que permite formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un con- junto. El orden supone una estructura agregada al conjunto, y se adquiere mediante la definición en él de una relación apropiada. Para establecer un orden debemos señalar qué elementos preceden a cuáles, lo cual se indica mediante la relación R : “si a precede a b , entonces ( a, b ) ∈ R”. Claramente el par inverso no puede ser parte de la relación, por lo cual pediremos que ésta sea asimétrica. Además, si un elemento precede a otro y éste a un tercero, entonces el primero debe preceder al tercero, por lo cual exigiremos transitividad. Lehmann (1992) define dos tipos de desigualdades, diferenciándolas de acuerdo a su dominio de validez, las “desigualdades absolutas” y las “desigual- dades condicionales o inecuaciones”. Este hecho es relevante a nuestro entender para identificar cada uno de estos conceptos en relación a los fenómenos que organizan.
Una desigualdad absoluta o incondicional es aquella que tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables para los que están definidos sus miembros. Son ejemplos de desigualdades absolutas 5 > - 7 y x^2 + 1 > 0_._ (p. 136)
Observamos que la expresión “tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables” supone la existencia de una función proposicional cuantificada universalmente que será necesario validar. Esta validación se concreta para todos los elementos del dominio de valores admisibles de la variable. Interpre- tamos que refiere al fenómeno de generalización.
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Fenómeno de generalización : la definición de desigualdad absoluta o incondi- cional se fundamenta en la lógica proposicional y en particular en el principio de generalización universal, que establece que: “del ejemplo de sustitución de una función proposicional respecto del nombre de un individuo cualquiera ar- bitrariamente elegido, se puede inferir válidamente la cuantificación universal de la función proposicional” (Copi, 1999, p. 375). Este fenómeno se presenta en la necesidad de demostrar la validez de una desigualdad absoluta, es decir una desigualdad que es cierta para todos los valores posibles de la variable. Por otro lado, Lehmann (1992) define desigualdades del tipo condicionales.
Una desigualdad condicional o inecuación es aquella que tiene el mismo sentido solo para ciertos valores de las variables, tomados entre los valores para los que sus miembros están definidos. Son ejemplos de desigualdades condicionales o inecua- ciones. x - 2 < 3 , válida solo si x < 5 ; x^2 > 4 , válida solo si x > 2 ó si x < - 2_._ (p. 136)
En la definición de desigualdad condicional expresa que es aquella que tiene el “mismo sentido para ciertos valores de las variables”. Esta expresión es relevante ya que pone de manifiesto que existirán o no valores, que se toman de un dominio admisible, que harán cierta la desigualdad. Esta idea nos remi- te a la acción de particularizar las variables con valores del dominio. Surge de esta manera el fenómeno de especificación.
Fenómeno de especificación : la definición de desigualdad condicional o inecua- ción refiere al dominio de validez de la desigualdad entre dos expresiones. Se basa en el llamado axioma (esquema) de especificación destinado a la forma- ción de nuevos conjuntos a partir de un referencial. Tomamos de Halmos (1967) su enunciado:
Axioma de especificación: a todo conjunto A y a toda condición S(x) corresponde un conjunto B cuyos elementos son precisamente aquellos elementos x de A para los cuales se cumple S(x). (...) Para indicar la forma en que B es obtenida de A y de S(x), se escribe: B = {x ∈ A/S(x)} (p. 15).
Este fenómeno se presenta en la búsqueda del(los) valor(es) que verifican la condición de desigualdad. Para contribuir a formar “buenos objetos mentales” de desigualdad matemá- tica , será necesario en primer lugar: identificar aquellos fenómenos a los cuales
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Podemos observar que ambos problemas involucran las mismas desigual- dades, sin embargo toman de los marcos sus características propias. El prime- ro, claramente se trata de un marco algebraico y el segundo de un marco geométrico. Estos dos marcos diferentes tienen los mismos objetos matemáticos pero distintas imágenes mentales asociadas y generan cuestiones conceptua- les diversas.
3. ASPECTOS METODOLÓGICOS
La metodología de la investigación se encuadra en la modalidad cualitativa (McMillan y Schumacher, 2005). Llevamos a cabo una investigación consisten- te en el análisis de libros de texto de historia de la matemática e investigaciones de educación matemática que incluyen una mirada histórica del tema. Indagamos los usos a lo largo de la historia de la matemática que presentan los textos con el objetivo de detectar algunas manifestaciones de los fenómenos matemáticos que organiza el concepto de desigualdad.
4. INDAGACIÓN EN LA HISTORIA
Según Halmaghi (2012) en los primeros registros matemáticos que brinda la historia, las desigualdades tenían sólo un carácter instrumental, y cuando las circunstancias se convirtieron en favorables, evolucionaron en una disciplina, tanto es así que en la actualidad existen revistas específicas de matemática dedicadas a las desigualdades y sus aplicaciones ( Journal of Inequalities and Applications y Mathematical Inequalities and Applications , cuyos primeros vo- lúmenes datan de 1997 y 1998). Esta autora sostiene que las desigualdades se utilizaron en un comienzo como herramientas para resolver problemas geométricos vinculados con longi- tudes, áreas y volúmenes. También fueron útiles para pensar problemas alge- braicos y finalmente se instalaron en la teoría de funciones, aplicándose a los más variados modelos. Esto posibilitó la interacción con diversas áreas de la matemática: el cálculo, la estadística, el análisis numérico, la teoría de juegos, etcétera. A partir de las consideraciones de esta autora organizamos la información relacionada a las cuestiones históricas de las desigualdades en tres secciones,
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sin que esta disposición signifique una evolución lineal y cronológica de los acontecimientos o descubrimientos. En cada sección describimos resultados e ideas matemáticas que involucran desigualdades.
4.1 O rigen en la geOmetría
Rey Pastor y Babini (1997) describen en el capítulo correspondiente a la mate- mática helénica (siglos VI a IV a.C. de la cultura griega) la obra matemática de Eudoxo, quien utiliza para llegar a la definición de la razón entre dos cantidades (sean éstas conmensurables o no) un “principio lógico”. Este principio se refiere a la condición para que dos cantidades “tengan razón mutua”. El mismo expre- sa que dos cantidades tienen razón mutua cuando un múltiplo de la menor supera a la mayor ; en términos actuales: dadas dos cantidades A > B , existe siempre un entero positivo n tal que (^1) n A < B. Afirman los autores que Euclides en sus Elementos otorgó a este enunciado el carácter de “principio lógico”, pero Arquímedes lo considera en sus escritos un postulado. Este postulado se cono- ce actualmente como el “postulado de la continuidad”, de Arquímedes y a veces, de Eudoxo o Arquímedes. Consideran los autores que Eudoxo logró conceder carácter geométrico a las cantidades inconmensurables, con lo que acentuó el proceso iniciado por los pitagóricos de sacrificar la aritmética y el álgebra, privilegiando lo geométrico. Estas nociones seguirán presentándose en la matemática griega, por mucho tiempo, bajo ropaje geométrico. En el libro citado, los autores describen en el capítulo correspondiente a la matemática helenística (etapa de la cultura griega posterior al reinado de Ale- jandro Magno y que llega hasta el emperador Augusto) los trabajos de Euclides, Arquímedes y Apolonio y conciben esta época como la “edad de oro de la ma- temática griega”. Afirman que Euclides establece con sus postulados las condi- ciones de desigualdad de ciertas líneas y de ciertas porciones de superficies, así como fija un principio de mínimo para casos particulares. Fink (2000), en relación con la historia de las desigualdades, menciona que los antiguos sabían de la desigualdad del triángulo como un hecho geométrico. Aclara que se trata de una desigualdad general puesto que se aplica a todos los triángulos. Además destaca que una desigualdad general en el contexto geométrico es la desigualdad de la media aritmética y la geométrica para dos números, incluida en el texto de Euclides.
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Observamos que |AC| = a , |CB| = b , |DE| = a + b 2 , |CE| = ab y |FE| = 2 ab a + b
desde el punto de vista geométrico claramente tenemos las desigualdades ma ≥ mg ≥ mh y las igualdades se obtienen cuando los números a y b coinciden. Fink (2000) menciona que una tercera desigualdad es la que ahora llama- mos la “desigualdad isoperimétrica” en el plano, y que mencionamos a conti- nuación. Ésta era conocida por Arquímedes y por matemáticos griegos anteriores:
Desigualdad isoperimétrica: si α es una curva cerrada de longitud L y A( α ) es el área de la región acotada por la curva, entonces L^2 ≤ 4 π A ( α), siendo la igualdad cierta únicamente si α describe una circunferencia.
Además el autor menciona que en la antigua Grecia, durante el segundo milenio a.C., consideraban como ecuaciones a las relaciones entre números, buscando aquellos que satisficieran las mismas (interpretadas como longitudes, áreas y volúmenes) con tanta precisión como fuera posible o deseable. Boyer (1986) menciona que Aristarco de Samos (310-230 a.C.) propuso un sistema astronómico heliocéntrico (más de un milenio antes de Copérnico) pero todo lo que escribió al respecto se ha perdido. En cambio nos ha llegado su tratado, escrito posiblemente antes de elaborar su teoría heliocéntrica, titulado Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna , en el que supone un uni- verso geocéntrico. En esta obra hace la suposición de que cuando la Luna está exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del Sol y la
Figura 1. Desigualdad entre ma = |DE| , mg = |CE| y mh = |FE|; ma ≥ mg ≥ mh
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visual dirigida al centro de la Luna es menor que un ángulo recto en un trein- tavo de cuadrante. En el lenguaje actual esto significa que la razón entre la distancia de la Luna a la Tierra y la distancia del Sol a la Tierra es igual a sen3 º. Como aún no se conocían las tablas trigonométricas recurre a un teorema geométrico conocido en su época y que hoy lo expresaríamos por medio de la cadena de desigualdades trigonométricas:
sen α sen β
α β
tg α tg β
para 0 < α < β < π 2
De estas condiciones, indica el autor, Aristarco afirmó que el Sol está más alejado de la Tierra que la Luna. Si bien los valores están lejos de aproximarse a los verdaderos, mejoró los que Arquimedes atribuye a Eudoxo y Fidias. En Euclides (1996), Libro X de los Elementos (300 A.C.) se incluye la siguien- te proposición:
Proposición 1: Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (mag- nitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada. (p. 12).
Más adelante se menciona el siguiente lema:
Lema: Dadas dos rectas desiguales hallar cuanto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor. (p. 30).
Se acompaña con la Figura 2.
Figura 2. El cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de A∆, es decir Γ
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el cálculo, pero no se realizan sobre ella transformaciones a partir de los datos. En cambio Euclides, obtiene los resultados mediante construcciones a partir de los datos, avanza hacia lo que quiere hallar, es decir avanza por “síntesis” (des- de los datos a las incógnitas). Es decir, que el tratamiento que hace Euclides está lejos del trabajo que realizamos con las ecuaciones actualmente. Resalta la autora que las ecuaciones (y extendemos la idea a las inecuaciones) se ca- racterizan por juntar en una expresión datos e incógnitas, y a partir de estable- cer una relación entre ellos se realizan transformaciones, sin cambiar su conjunto solución, hasta obtener el o los valores de las incógnitas. A este tipo de tratamiento se le da el nombre de “análisis”.
4.2 emigración al Á lgebra
Según Rey Pastor y Babini (1997) las ideas de Diofanto, matemático destacado del período grecorromano de los primeros siglos cristianos, estuvieron vinculadas preferentemente con la matemática babilónica. Diofanto, para resolver ecuacio- nes de segundo grado, toma incógnitas auxiliares que lo llevan a reducirlas a ecuaciones lineales (sistemas) y a desigualdades, considerando las resolventes de las ecuaciones cuadráticas correspondientes (transformando las desigualda- des en igualdades). Los autores describen el “problema de los vinos”, el cual trata de determinar las cantidades de dos clases de vino de precios proporcio- nales a 8 y 5, de manera que el costo sea un cuadrado, que sumado al núme- ro 60, reproduzca el cuadrado de la suma de las dos cantidades. Para resolver el sistema (con los símbolos actuales): 8x+5y=z^2 ; z^2 +60=(x+y)^2 introduce la in- cógnita auxiliar u=x+y que lo lleva al sistema u^2 -60=3x+5u=8u-3y , y a las des- igualdades 8u>u^2 -60>5u. Teniendo en cuenta las resolventes de las ecuaciones cuadráticas (transformando las desigualdades en igualdades), encuentra que u está entre 11 y 12. Como u^2 -60 debe ser un cuadrado, introduce otra variable v tal que u^2 -60=(u-v)^2 llegando a un nuevo par de inecuaciones: 22v<60+v^2 <24v , llega así a 19<v<21 , toma v=20 y de allí obtiene los demás valores. Notemos que en las estrategias utilizadas para resolver estos tipos de pro- blemas se usan (como herramientas) las igualdades y las desigualdades. No se trata de resolver un problema de desigualdades, sino que éstas surgen como una estrategia de resolución. Halmaghi (2012) afirma que en la historia del álgebra, Nesselmann (1842) identifica tres etapas de desarrollo: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra
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simbólica. Además, continúa su descripción mencionando que el álgebra retó- rica es el álgebra de las palabras y el álgebra sincopada utiliza una mezcla de palabras y símbolos para expresar generalidades. Boyer (1986) piensa que tal división del desarrollo del álgebra supone una simplificación quizás excesiva pero que puede servir para una primera aproxi- mación de lo ocurrido, y dentro de este esquema ubica a la obra Arithmetica de Diofanto en la segunda categoría. Sessa (2005) advierte respecto de esta clasificación tan rígida del álgebra que atiende sólo a sus formas de escrituras. Considera que las relaciones entre abstracción, escritura simbólica y generalización son complejas y no es posible pensar la historia como una evolución lineal en esos tres aspectos hasta alcan- zar las formas actuales. Respecto de la producción de Viète, resalta la autora que a pesar del tratamiento algebraico de las expresiones, la interpretación geométrica seguía vigente. Es decir, la geometría seguía dando interpretación a las expresiones y validando procedimientos de cálculo. Según Bagni (2005), François Viète introdujo la distinción entre una cantidad determinada, una constante y las variables en una ecuación. Comenta que Viète fue el primero en resolver con éxito las ecuaciones paramétricas. Después de ese descubrimiento, las ecuaciones se convirtieron en objetos de procesos de orden superior. Según comenta Sfard (1995), desde Viète en adelante, el álgebra estructural hace su aparición. Las obras de Descartes y Fermat, sobre las aportaciones de Viète, ayudaron a la geometría a capturar generalidad y expresar ideas operati- vas. En los primeros años, el álgebra necesita de la geometría para la materia- lización y verificación, luego, la geometría utiliza el álgebra para nuevas materializaciones y desarrollo. Halmaghi (2012) estima que antes de la invención de los símbolos, el álge- bra fue la interpretación verbal de los procesos algorítmicos. Es importante re- flexionar sobre si las desigualdades emergieron de la retórica o el álgebra sincopada, o si la naturaleza de éstas es en realidad diferente de la esencia del álgebra. Es posible que la invención de los símbolos de las desigualdades ayu- dara a la manipulación de las desigualdades conocidas.
4.2.1 Los símbolos
Sostiene Eves (1983), citado por Halmaghi (2011), que los símbolos < y > se in- trodujeron por primera vez por el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621)
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4.3 inserción en la teOría de funciOnes
Rey Pastor y Babini (1997) sostienen que en el método de máximos y mínimos de Fermat, se logra traducir algebraicamente la anulación de la variación de la función en las proximidades de los valores considerados. Aplican este método al problema de encontrar entre todos los rectángulos isoperimétricos el de área máxima. Dado un rectángulo de perímetro 2a y lado x , el otro lado es a-x , el área del rectángulo es x(a-x). Este producto será máximo si el rectángulo es un cua- drado de lado a/. Según Fink (2000), durante muchos años no aparecieron otras desigualdades generales y menciona el siguiente resultado que atribuye a Newton:
Sea pr el promedio de la función simétrica elemental de las cantidades positivas a 1 … an de orden r, es decir, el promedio de las sumas de todos los productos de los ai tomados r a la vez. Entonces Newton demostró que pr-1pr+1 < pr^2 para 1 ≤ r<n, a menos que todos los ai sean iguales.
Agrega también que Maclaurin observó que p 1 > p 2 1/2>…> pn1/n , Hardy, Littlewood y Polya (1934, citado en Fink, 2000), comentan que este último resul- tado es un corolario del teorema de Newton. Los extremos de esta sucesión son la media aritmética y la media geométrica, lo que permite establecer una des- igualdad ya famosa. Según Perez (2008), en la teoría de las “razones últimas” de Newton, expues- ta en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) aparece el primer indicio del concepto de límite funcional en estrecha relación con el cálculo de fluxiones (velocidades instantáneas). Estas ideas de Newton fueron desarrolladas por el matemático escocés Colin Maclaurin (1698- 1746) que, en su gran obra A Treatise of Fluxions (1742), establece el cálculo sobre la base de una teoría geométrico–cinemática de límites. Maclaurin rechazaba los infinitésimos, afir- maba que los antiguos nunca reemplazaron curvas por polígonos y que la base de la geometría de Arquímedes era el concepto de límite. Lo sorprendente es que Maclaurin usa el concepto de límite como algo evidente que no precisa ser explícitamente presentado ni analizado. Esto se debe a que el cálculo de Ma- claurin se sustenta sobre las ideas de espacio, tiempo y movimiento, lo que le lleva a aceptar como evidentes la continuidad y la diferenciabilidad. Fink (2000) considera que Maclaurin desempeña un papel prominente en el campo de las desigualdades, pero que no originó las desigualdades generales
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con nombres. Además comenta que este matemático realizó lo que equivale a las pruebas de épsilon-delta para varios límites, y hay serios indicios de que estos resultados tuvieron una influencia en los matemáticos continentales que esta- ban empezando a utilizar las pruebas basadas en la desigualdad para el análisis. Curiosamente, el siglo transcurrido más o menos entre Maclaurin y Cauchy no dio lugar a desigualdades. Cauchy es reconocido como el autor de la prueba formal de la desigualdad entre la media aritmética y geométrica. Como afirma Sinaceur (1992) fue Weierstrass quien eliminó del lenguaje del análisis toda relación con el movimiento. Considera que frases como “una va- riable se acerca a un límite”, que recuerdan las ideas temporales de Newton, fueron transformadas en desigualdades, intentando aritmetizar todo lo posible. Además, agrega el autor, que se debe al mismo matemático la definición de continuidad que hoy se llama épsilon-delta. Destaca que en su obra de 1968 Éléments d’analyse , Jean Diudonné define explícitamente el cálculo infinitesimal como “un aprendizaje en el manejo de las desigualdades”, un aprendizaje que puede resumirse en tres palabras: “minorización, mayorización, aproximación”. Según Rey Pastor y Babini (1997), Schwartz, discípulo de Weierstrass, fue quien continuó su obra y se ocupó del cálculo de variaciones, en especial de su- perficies de área mínima. Además de sus aportes en teoría de grupos y en teo- rías de funciones le debemos la desigualdad de Schwartz que establece, en 1885, que el producto a escalar de dos vectores no puede superar el producto de sus módulos. Aunque la desigualdad de Schwartz para puede ya ser atribui- da a Lagrange para sumas finitas arbitrarias de números reales, había sido establecida por Cauchy en 1821 y para integrales por Buniacowsky en 1859. Bourbaki (1976) expresa que la teoría de conjuntos, en el sentido que le damos actualmente, se la debemos a Cantor. Weierstrass fue el único en seguir los trabajos de su alumno Cantor. Quién había demostrado en 1890 la desigualdad m<2m , pero no pudo establecer una relación de buena ordenación entre cardi- nales cualesquiera. Este inconveniente fue resuelto por Bernstein (1897) demos- trando que las relaciones a ≤ b y b ≤ a implican a = b , y sobre todo por el teorema de Zermelo que demuestra la existencia en todo conjunto de una buena ordenación (conjeturado por Cantor en 1883). Fink (2000) reconoció que la historia de las desigualdades se había escrito cuando Hardy completó las 300 páginas de su libro Inequalities sobre desigual- dades con sus pruebas. Por otra parte, menciona que hay dos revistas en la actualidad dedicadas a desigualdades ( Journal of Inequalities and Applications
