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Una introducción detallada a la historia y evolución de las matrices matemáticas a lo largo de los siglos. Desde sus orígenes en la antigua china hasta su papel fundamental en el desarrollo de la ciencia y la tecnología moderna, se explora cómo las matrices se han convertido en una herramienta esencial en diversos campos como la mecánica cuántica, el aprendizaje automático y la optimización. El documento también aborda los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su notación, estructura y operaciones elementales como la suma, resta, multiplicación y transposición. Con una descripción exhaustiva de las aplicaciones prácticas de las matrices, este texto ofrece una valiosa introducción a este importante tema matemático.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Guatire, 14 de Noviembre de 2023
República Bolivariana de
Venezuela Ministerio del Poder Popular para la
Instituto Universitario de Tecnológia Educación
Elías C
alixto
Pompa Informática
Mate II
m
ática
s
Docente
Merlina Español
Alumna
Aurora González
Gleyber Peñalver
Daniel Sánchez
Introducción ......................................................................................................
............... 3
Historia de las
Matrices ................................................................................................... 4
Qué es una
Matriz? .......................................................................................................... 5
Elementos de una
Matriz ................................................................................................ 8
Operaciones con
Matrices ............................................................................................. 10
Suma ................................................................................................................
................
Resta ....................................................................................................................
........
Multiplicación ...................................................................................................
..............
Tipos Especiales de
Matrices .......................................................................................... 11
Diagonal ...........................................................................................................
...............
Identidad ..............................................................................................................
.......
INTRODUCCI
ÓN
Las matrices matemáticas tienen una historia rica y fascinante que se remonta a varios
siglos atrás. Su desarrollo ha sido influenciado por diversos matemáticos y científicos a
lo largo del tiempo. A continuación, te proporcionaré un resumen de los hitos más
importantes en la historia de las matrices.
1. Siglo II a.C.: Los primeros indicios de matrices aparecieron en la antigua China,
donde matemáticos exploraron sistemas de ecuaciones lineales en términos de
coeficientes y variables. Estos sistemas no usaban la notación de matriz que hoy
conocemos, pero sentaron las bases para su posterior desarrollo.
2. Siglo XIX: La teoría de matrices dio un gran paso adelante con el matemático inglés
Arthur Cayley. En 1857, publicó un artículo en el que introdujo la notación matricial
moderna y estableció las reglas básicas para operar con matrices. Cayley es considerado
un pionero en la teoría de matrices.
3. Siglo XX: Durante el siglo XX, las matrices matemáticas experimentaron avances
significativos a medida que se aplicaban en diversas ramas de la ciencia y la
tecnología.
numéricos basados en matrices para resolver ecuaciones diferenciales y sistemas de
ecuaciones lineales. Sus contribuciones impulsaron el campo de la teoría de matrices
numéricas.
fundamental en el desarrollo de la mecánica cuántica y la física nuclear. Los científicos
utilizaron matrices para representar y calcular propiedades de partículas subatómicas y
sistemas cuánticos.
se denotará por a
ij
En nuestro ejemplo, el primer subíndice, “i”, indica la fila (con su correspondiente
número) a la que pertenece el elemento y el segundo subíndice, “j”, representa la
columna también con su correspondiente número.
Ejemplo: un elemento que esté en la fila 2 columna 3 será
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan
el mismo lugar en ambas son iguales.
Como ya lo hemos visto en los ejemplos, las matrices se representan por letras
mayúsculas A, B, C...
Tratemos de visualizar lo dicho anteriormente:
Una matriz de orden o dimensión m x n es una disposición de números ordenados en m
filas y n columnas de la forma
Una matriz se representa con letra mayúscula y sus elementos se pueden encerrar entre
paréntesis, llaves o corchetes.
verticales, mientras que las filas son las hileras horizontales.
entradas de la matriz, estos pueden ser sólo números, variables o funciones.
Se denotan con letra minúscula con subíndice de dos cifras, la primera es el elemento
de la i - ésima fila y la j -ésima columna de la matriz.
Partes de una matriz
Para la entrada se lee “a subíndice uno-dos”, o sólo “a uno-dos”, el primer subíndice, 1
especifica la fila, y el segundo, 2 indica la columna.
1. Matriz Fila: Una matriz fila es una matriz que tiene solo una fila y múltiples
fila es una secuencia de elementos dispuestos horizontalmente.
2. Matriz Columna: Por otro lado, una matriz columna es una matriz que tiene solo una
columna y múltiples filas. Su estructura se representa de la siguiente manera:
[a ₁
a ₂
a ₃
...
an], donde cada ai representa un elemento de esa columna. En resumen, una matriz
columna es una secuencia de elementos dispuestos verticalmente.
3. Matriz Cuadrada: Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de
filas que de columnas. Su estructura se representa de la siguiente manera:
[a ₁₁ , a ₁₂ , a ₁₃ , ..., a ₁ n
a ₂₁ , a ₂₂ , a ₂₃ , ..., a ₂ n
a ₃₁ , a ₃₂ , a ₃₃ , ..., a ₃ n
...
matriz cuadrada tiene un tamaño n x n, donde n representa el número de filas y
columnas. Es decir, es una matriz con una forma de "cuadro".
En resumen, una matriz fila es una matriz con una sola fila, una matriz columna es
una matriz con una sola columna y una matriz cuadrada es una matriz que tiene el
mismo número de filas que de columnas. Estas diferencias en su estructura
determinan cómo se operan y utilizan en diferentes contextos matemáticos y
aplicaciones prácticas.
Una matriz real de orden m x n siendo m y n números naturales es un conjunto de m x n
números distribuidos en “m” filas y “n” columnas. Veamos los siguientes ejemplos:
Una matriz cuadrada de dos filas y 2 columnas:
La matriz de tres filas y dos columnas:
Ejemplo de matriz de 3 filas y 4 columnas:
Debemos saber que los números que componen una matriz se denominan elementos.
Estos se suelen representar por la expresión aij donde “i” representa la fila y “j” la
columna en la que se encuentra. Por ejemplo:
Producto de matrices
El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa
el lugar cij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar
todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna
“j” de la segunda matriz. Es decir, multiplicamos la primera fila por los elementos de la
primera columna y el resultado será nuestro nuevo elemento. Para ello, el número de
columnas de la primera matriz debe coincidir con el de filas de la segunda. Si no fuese
así no podríamos realizar la operación.
Ejemplo:
Observamos como la matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el de
columnas de la segunda.
Debemos recordar, que las matrices no tienen la propiedad conmutativa. En el caso
de que se pudiera operar A.B y B.A el resultado por lo general puede ser diferente.
Matrices diagonales
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero,
excepto los que pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del extremo
superior izquierdo al extremo inferior derecho; así pues,
(cuando todos los elementos de una matriz son ceros, se trata de una matriz nula, la
cual se describirá más adelante)
Una matriz diagonal n x n puede indicarse por la notación
Ejemplos:
Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal
son todos iguales al número uno. Por consiguiente,
Una matriz nula es una matriz m x n cuyos elementos son todos iguales a cero; se
simboliza con O. Cuando una matriz nula del orden (o tamaño) apropiado se suma o se
resta de otra matriz, esta última no cambia; es decir,
Premultiplicar o posmultiplicar una matriz nula de orden apropiado da lugar a otra
matriz nula;
Transpuesta de una matriz
En muchos análisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la
transpuesta de una matriz. En esta sección se define la transpuesta de una matriz, le dé
una suma o diferencia de matrices, y la de un producto de matrices.
La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada
por A´, cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. Por
tanto, si…
Entonces la transpuesta de A es
Nótese que la transpuesta de un vector fila n-dimensional es un vector columna también
n-dimensional, y análogamente, la transpuesta de un vector columna de n-dimensiones
La transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de
las transpuestas de las matrices; por consiguiente,
Transpuesta de un producto de matrices
La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las
matrices tomadas en orden inverso; por tanto,
