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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Expresiones Algebraicas
Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.
3a + 2b – 5 : en esta expresión son constantes 3, 2 y - 5 las variables son a y b
( 𝒛𝟐 +8) (5 𝒛𝟒 -7): en esta expresión son constantes 8, 5 y -7 variable “z” y 2, 4 exponentes
Término algebraico. Es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término algebraico se le denomina monomio y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s)
Ejemplos
Término Coeficiente Base(s) Exponente(s)
-8𝑦^3 -8 y 3 1 3 𝑚𝑛
𝑥 1 3 𝑚, 𝑛^ 1, 𝑥
- 34 (2𝑥 + 1)−2^ - 34 2 𝑥 + 1 -
Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.
Ejemplos
Los siguientes términos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por lo consiguiente son semejantes.
−7𝑏 𝑐𝑜𝑛 4𝑏 -8𝑥^2 𝑦^3 con 7𝑥^2 𝑦^3 16 𝑎𝑏𝑐^2 con 𝑎𝑏𝑐^2
Reducción de los términos semejantes
Para simplificar las expresiones que involucren términos semejantes, se suman o se restan los coeficientes.
Ejemplo: Simplificar la expresión − 7𝑎 + 3𝑎
Solución. Se agrupan los coeficientes y se realizan la operación que da como resultado:
− 7𝑎 + 3𝑎 = (− 7 + 3) 𝑎 = − 4𝑎
L enguaje algebraico
Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.
Ejemplo: Expresar las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico
Lenguaje común Lenguaje algebraico
- Un número cualquiera. 𝑚
- Un numero cualquiera aumentando en siete. 𝑗 + 7
- El producto de un número positivo con su antecesor equivale a 30. 𝑥(𝑥 + 1) = 30
- El cuadrado de un número aumentado a siete. 𝑏^2 + 7
Dada una expresión algebraica, se representa en lenguaje común de la siguiente manera:
Ejemplo: Expresar 2𝑥 + 𝑥^2 en lenguaje común.
Solución. La expresión queda de la siguiente manera:
2𝑥 + 𝑥^2 = la suma del doble de un número y su cuadrado.
Otra forma es:
2𝑥 + 𝑥^2 = doble de un número aumentado en su cuadrado.
Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numéricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.
Ejemplo: Determinar el valor numérico de la expresión:
5𝑥^2
3 −^
2𝑥𝑦
5 +^
𝑦 3𝑥 ;^ 𝑥 = 2, 𝑦 =^
1 4?
Solución. Se sustituyen los respectivos valores de 𝑥, 𝑦 y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión:
5𝑥^2
3 −^
2𝑥𝑦
5 +^
𝑦
3𝑥 =^
5(2)^2
3 −^
2(2)(^14 )
1 4
3(2) =^
5(4)
4 4
1 4
6 =^
20
3 −^
1
5 +^
1
24 =^
800−24+
120 =^
781 120
POLINOMIOS
Expresión algebraica que consta de varios términos algebraicos.
a) Suma algebraica
En la suma los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios: 5𝑥^3 − 3𝑥^2 − 6𝑥 − 4; −8𝑥^3 + 2𝑥^2 − 3; 7𝑥^2 − 9𝑥 + 1
Solución. Los polinomios se escriben de la siguiente forma y se realizan la reducción de los términos semejante.
(5𝑥^3 − 3𝑥^2 − 6𝑥 − 4) + (−8𝑥^3 + 2𝑥^2 − 3) + (7𝑥^2 − 9𝑥 + 1) = −3𝑥^3 + 6𝑥^2 − 15𝑥 − 6
Por lo tanto, el resultado es: −3𝑥^3 + 6𝑥^2 − 15𝑥 − 6
b) Resta algebraica
En esta operación es importante identificar el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes.
Ejemplo: Realizar la siguiente operación: (4𝑎 − 2𝑏 − 5𝑐) − (3𝑎 − 5𝑏 − 7𝑐)
Solución: En este ejemplo 4𝑎 − 2𝑏 − 5𝑐 representa al minuendo y 3𝑎 − 5𝑏 − 7𝑐 al sustraendo. Se suprimen los paréntesis y se precede a efectuar la reducción de términos semejantes.
(4𝑎 − 2𝑏 − 5𝑐) − (3𝑎 − 5𝑏 − 7𝑐) = 4𝑎 − 3𝑎 − 2𝑏 + 5𝑏 − 5𝑐 + 7𝑐 = 𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐
Por consiguiente, el resultado de la resta es: = 𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐
c) Multiplicación algebraica
LEY DE LOS SIGNOS: (+)(+) = + (+)(−) = − (−)(+) = − (−)(−) = +
LEY DE LOS EXPONENTES: 𝑎𝑚^ ∙ 𝑎𝑛^ = 𝑎𝑚+𝑛
MONOMIO POR MONOMIO
Primero se multiplican los COEFICIENTES y después se suman los exponentes de cada BASE X, Y, Z
Ejemplo: (−5𝑥^4 𝑦^5 𝑧) (3𝑥^2 𝑦^6 𝑧) = (−5 ∙ 3)(𝑥4+2^ 𝑦5+6^ 𝑧1+1) = −15 𝑥^6 𝑦^11 𝑧^2
POLINOMIO POR MONOMIO
Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio o viceversa.
Ejemplo: Resolver (5𝑥^5 𝑦^4 − 3𝑥^4 𝑦^3 𝑧 + 4𝑥𝑧^4 )(−3𝑥^4 𝑦)
Solución: Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio:
(5𝑥^5 𝑦^4 − 3𝑥^4 𝑦^3 𝑧 + 4𝑥𝑧^4 )(−3𝑥^4 𝑦) = (5𝑥^5 𝑦^4 )(−3𝑥^4 𝑦) + (−3𝑥^4 𝑦^3 𝑧)(−3𝑥^4 𝑦) + (4𝑥𝑧^4 )(−3𝑥^4 𝑦)
= −15𝑥^9 𝑦^5 + 9𝑥^8 𝑦^4 𝑧 − 12𝑥^5 𝑦𝑧^4
Por tanto, el resultado es: −15𝑥^9 𝑦^5 + 9𝑥^8 𝑦^4 𝑧 − 12𝑥^5 𝑦𝑧^4
POLINOMIO POR POLINOMIO
Efectuar la siguiente operación: (5𝑥^2 − 3𝑥 − 2)(4𝑥 − 3𝑥^2 − 6)
Solución: Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada (como en las multiplicaciones aritméticas), y se ordenan los polinomios con respecto a los exponentes en forma ascendente o descendente, según se quiera.
(5𝑥^2 − 3𝑥 − 2)x(−3𝑥^2 + 4𝑥 − 6)
Se multiplica el primer término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba. 5𝑥^2 − 3𝑥 − 2 (−3𝑥^2 )(5𝑥^2 ) = −15𝑥^4
X −3𝑥^2 + 4𝑥 − 6 (−3𝑥^2 )(−3𝑥) = +9𝑥^3
−15𝑥^4 + 9𝑥^3 + 6𝑥^2 (−3𝑥^2 )(−2) = +6𝑥^2
A continuación se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba y los resultados se colocan debajo de sus respectivos términos semejantes del primer resultado.
Se divide el primer término del polinomio por el monomio divisor y el cociente obtenido se multiplica por el divisor, recordando cambiar el signo, antes de colocarlo debajo del término semejante para efectuar la suma.
A continuación se baja el segundo término y procede de igual modo, hasta agotar los términos del polinomio dividendo.
18𝑚^4 𝑛^2 + 6𝑚^3 𝑛^3 −
8
−18𝑚^4 𝑛^2 6𝑚^3 𝑛 + 2𝑚^2 𝑛^2 − 89 𝑚𝑛^5
0 + 6𝑚^3 𝑛^3
−6𝑚^3 𝑛^3
0 − 83 𝑚^2 𝑛^6
+ 83 𝑚^2 𝑛^6
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para dividir dos polinomios se disponen los términos del dividendo y del divisor en orden de potencias decrecientes para una variable y se procede como en la división dada anterior mente.
En la práctica se dispone así.
(8𝑥^4 − 6𝑥^3 + 3𝑥^2 − 7𝑥 + 16) ÷ (2𝑥^2 + 3𝑥 − 4)
Se divide
8𝑥^4 − 6𝑥^3 + 3𝑥^2 − 7𝑥 + 16 2𝑥^2 + 3𝑥 − 4
4𝑥^2
Se multiplica el cociente por cada uno de los términos del divisor y dichos productos se colocan debajo de los términos semejantes, cambiando de signo para poder sumar.
O sea:
8𝑥^4 − 6𝑥^3 + 3𝑥^2 − 7𝑥 + 16 2𝑥^2 + 3𝑥 − 4
−8𝑥^4 − 12𝑥^3 + 16𝑥^2 4𝑥^2 − 9𝑥 + 23
0 −18𝑥^3 + 19𝑥^2 − 7𝑥
−18𝑥^3 + 27𝑥^2 − 36𝑥
0 + 46𝑥^2 − 43𝑥 + 16
−46𝑥^2 − 69𝑥 + 92
resto
En el resto, la letra 𝑥 tiene que tener un exponente menor que el mayor grado de la letra 𝑥 en el divisor.
EJERCICIOS DE OPERACIONES ALGEBRAICAS
Simplificar:
5) 14 𝑎^3 𝑏 − 35 𝑎^3 𝑏 + 16 𝑎^3 𝑏
6) 4𝑚5−2^ − 10𝑚1−2^ + 3𝑚6−
8) 12 𝑎𝑏^3 𝑐 − 32 𝑎𝑏^3 𝑐 − 𝑎𝑏^3 𝑐
9) 23 𝑥3−1^ − 101 𝑏5−2^ + 12 𝑥2−1^ − 34 𝑏−5−2^ − 4𝑥4−
10) − 54 𝑎^2 − 32 𝑎𝑏 + 12 𝑎^2 + 5𝑎𝑏 − 3𝑎^2 − 12 𝑎𝑏
Expresar en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:
- Un número disminuido en tres.
- La parte mayor de 100 si la parte menor es x.
- Dos números enteros consecutivos.
- El recíproco de un número.
- La sexta parte de la suma de dos números.
- Tres números impares consecutivos.
- El exceso del cubo de un número sobre la mitad del mismo
- La edad de una persona hace 10 años.
- El exceso de 50 sobre el doble de un número.
Encontrar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones si:
4 ,^ 𝑥 =
3 ,^ 𝑦 = 10,^ 𝑧 =
𝑚
𝑦
𝑧−𝑥
2
𝑝
𝑥 −^
𝑦
3
24
𝑚−𝑝
𝑛 −^
𝑛+𝑥 𝑚
𝑚^4
8) (6𝑥 − 2𝑝)(3𝑚^2 − 𝑧^3 )
2(𝑝−𝑥)
𝑧 ÷^
𝑚^2 +𝑛^2 𝑝
Cambiar las siguientes expresiones algebraicas a lenguaje común:
- 2𝑎 − 11
- 56 𝑎
- (^1) 𝑥
- (^) 𝑐+1𝑐
- 34 𝑧 + 2 = 𝑧
- 𝑥𝑦 = 15 (𝑥 − 𝑦)
- 𝑥^2 − 𝑦^2
- (𝑎+𝑏 2 )
2
10) 𝑥^2 + (𝑥 + 1)^2
Realizar las siguientes sumas:
- (3𝑝 − 5𝑞 − 6𝑟) + (2𝑝 + 3𝑞 − 2𝑟) + (−12𝑝 + 4𝑞 + 𝑟)
- (8𝑎^2 − 6𝑎^3 + 4𝑎) + (4𝑎^3 + 𝑎^3 + 4𝑎) + (4𝑎^3 + 𝑎^2 − 𝑎 − 5)
- (5𝑥^2 − 5𝑥 + 6) + (2𝑥^2 − 7𝑥 + 4) + (−6𝑥^2 + 10𝑥 − 10)
- (8𝑧^3 − 9) + (−4𝑧^3 + 2𝑧^2 + 6) + (5𝑧^2 − 2𝑧^3 − 7𝑧 + 2)
−6𝑥^8 𝑦^9
18𝑥^4 𝑦^7
−26𝑎^5 𝑏^6
−13𝑏^3
12𝑥^3 𝑦^2 𝑧^4
18𝑥𝑦^2 𝑧^3
−16𝑎−4−1𝑏2−5𝑐^3
𝑥2−1𝑦3−4𝑧^5
𝑧5−1𝑦2−4𝑧^5
9. − 35 𝑎^3 𝑏/− 45 𝑎^2 𝑏
10. − 78 𝑎𝑚𝑏𝑛^ /− 34 𝑎𝑏^2
Determinar el cociente de las siguientes divisiones:
- (4𝑥^3 + 2𝑥^2 ) ÷ (2𝑥^2 )
- (8𝑥^2 𝑦 − 20𝑥^3 ) ÷ (4𝑥^2 )
- (2𝑥^4 + 6𝑥^3 − 8𝑥^2 ) ÷ (2𝑥^2 )
- (27𝑚^4 𝑛^6 − 15𝑚^3 𝑛^6 + 3𝑚𝑛^2 ) ÷ (3𝑚𝑛^2 )
- (32𝑎^7 𝑏^5 + 48𝑎^6 𝑏^4 − 𝑎^4 𝑏^3 ) ÷ (8𝑎𝑏^3 )
- (^15 𝑎^5 𝑏^7 − 14 𝑎^2 𝑏^5 − 𝑎^3 𝑏^4 ) ÷ (6𝑎^3 𝑏^2 )
- (^14 𝑎^8 𝑏^7 − 23 𝑎^6 𝑏^6 + 16 𝑎^4 𝑏^3 ) ÷ (^34 𝑎𝑏^2 )
- (^16 𝑥^8 𝑦^7 − 43 𝑥^6 𝑦^5 + 13 𝑥^5 𝑦^10 ) ÷ (− 65 𝑥^4 𝑦^3 )
- (𝑎^2 𝑏^3 𝑐^4 + 6𝑎^3 𝑏^4 𝑐^5 − 8𝑎−6𝑏^5 𝑐^6 ) ÷ (^12 𝑎^2 𝑏−8𝑐4−6)
- (16𝑎5−3𝑏7+1^ − 12𝑎−4+2𝑏−6−5^ + 8𝑎3−4𝑏5−5) ÷ (−4𝑎2−5𝑏4+1)
Determinar el cociente de las siguientes divisiones:
- (𝑥^2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦^2 ) ÷ (𝑥 + 2𝑦)
- (𝑥^2 − 4𝑥𝑦 − 12) ÷ (𝑥 + 2)
- (𝑥^2 − 9𝑥𝑦 − 10𝑦^2 ) ÷ (𝑥 + 𝑦)
- (9𝑥^2 − 6𝑥 − 35) ÷ (3𝑥 + 5)
- (8𝑎^2 − 6𝑎𝑏 − 27𝑏^2 ) ÷ (4𝑎 − 9𝑏)
- (7𝑚^2 − 31𝑚𝑛 + 12𝑛^2 ) ÷ (𝑚 − 4𝑛)
- (15𝑚^3 − 34𝑚^2 + 9𝑚 + 10) ÷ (3𝑚 − 5)
- (8𝑎^3 − 44𝑎^2 + 44𝑎 + 42) ÷ (4𝑎^2 − 8𝑎 − 6)
- (8𝑥^3 + 27𝑦^3 ) ÷ (3𝑦 + 2𝑥)
- (4𝑥^4 + 𝑥^2 𝑦^2 − 5𝑥𝑦^3 − 6𝑦^4 ) ÷ (2𝑥^2 − 𝑥𝑦 − 2𝑦^2 )
- (3𝑥^4 + 2𝑥^3 + 3𝑥 − 6𝑥^2 − 2) ÷ (𝑥^2 + 𝑥 − 2)
- (4𝑎^4 + 26𝑎^3 − 79𝑎^2 − 20𝑎 + 42) ÷ (𝑎^2 + 8𝑎 − 6)
- (12𝑥^4 − 36𝑥^3 − 29𝑥^2 + 38𝑥 + 24) ÷ (2𝑥^2 − 5𝑥 − 6)
- (5𝑥^2 − 9𝑥^3 − 23𝑥^2 + 36𝑥 + 12) ÷ (𝑥^2 − 4)
- (10𝑎^4 − 41𝑎^3 𝑏 + 9𝑎^2 𝑏^2 + 38𝑎𝑏^3 + 14𝑏^4 ) ÷ (2𝑎 − 7𝑏)
FACTORIZACIÓN
Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores; éstos se presentan en la forma más simple.
Factor común
Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.
Ejemplo
Factorizar: 16𝑎^6 𝑏^7 𝑐 − 12𝑎^5 𝑏^2 𝑐^3 + 20𝑎^3 𝑏^10
Solución. Se busca el factor común de los coeficientes, que es el máximo común divisor de ellos y también se busca el factor común de las literales:
MCD (16, 12, 20) = 4 Factor común literal = 𝑎^3 𝑏^2
Se realizan las divisiones término a término y el resultado de la factorización es:
16𝑎^6 𝑏^7 𝑐 − 12𝑎^5 𝑏^2 𝑐^3 + 20𝑎^3 𝑏^10 = 4𝑎^3 𝑏^2 (4𝑎^3 𝑏^5 𝑐 − 3𝑎^2 𝑐^3 + 5𝑏^8 )
Factor común por agrupación de términos
Se agrupan los términos que tengan algún factor común, del tal modo que la expresión restante pueda factorizarse, tal como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo
Factorizar: 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑎^2 + 𝑎𝑏
Solución. Se agrupan los términos y de los primeros se factoriza “𝑚” y de los segundos “𝑎”.
𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑎^2 + 𝑎𝑏 = (𝑎𝑚 + 𝑏𝑚) + (𝑎^2 + 𝑎𝑏 = 𝑚(𝑎 + 𝑏) + 𝑎(𝑎 + 𝑏)
La última expresión se vuelve a factorizar tomando como factor común el binomio 𝑎 + 𝑏 y se obtiene como resultado.
𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 𝑎^2 + 𝑎𝑏 = (𝑎 + 𝑏)(𝑚 + 𝑎)
Trinomio al cuadrado perfecto
Se conoce así la expresión de toda forma:
𝑎^2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏^2
Pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto
- Para factorizar esta expresión, se debe verificar que los términos se encuentren ordenados con respecto a los exponentes de mayor o menor o viceversa.
- Se extraen las raíces cuadradas de los términos extremos (primer y último términos):
√𝑎^2 = 𝑎 √𝑏^2 = 𝑏
- Para comprobar que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se realiza el doble producto de las raíces:
Comprobación = 2𝑎𝑏
- Si el resultado del producto es igual el segundo término del trinomio, entonces éste es cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia delas raíces cuadradas de los términos extremos.
𝑎^2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏^2 = (𝑎 ± 𝑏)^2
Ejemplo
Factorizar la expresión: 𝑥^2 + 6𝑥 + 9
Solución. Se obtienen las raíces cuadradas y se comprueba que el trinomio es el cuadrado perfecto
√𝑥^2 = 𝑥 √9 = 3 Comprobación = 2(𝑥)(3) = 6𝑥
Al tomar el signo del segundo término, la factorización es:
𝑥^2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)^2
Diferencia de cuadrados
La Diferencia de cuadrados es de la forma 𝑎^2 − 𝑏^2 y su factorización es:
Finalmente: 8𝑥^4 − 19𝑥^2 + 6 = (𝑥^2 − 2)(8𝑥^2 − 3)
Casos especiales
Estos trinomios también son de la forma 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, sin embargo, algunos coeficientes son fraccionarios o tienen raíz cuadrada.
Ejemplo
Factorizar la expresión: 2𝑝^2 + 1112 𝑝 + 121
Solución. En este caso se incluyen fracciones, entonces los extremos deben expresarse como una fracción que contenga el mismo denominador, por lo tanto:
2𝑝^2 +
𝑝^2 +
𝑝^2 +
Se multiplican los coeficientes numeradores de los extremos del trinomio: (24)(1) = 24
Se buscan dos números que multiplicados den 24 y sumados 11, en este caso los números son 3 y 8, por tanto el trinomio se expresa como:
2𝑝^2 +
𝑝^2
= 2𝑝^2 +
Se procede a realizar la factorización del polinomio resultante:
2𝑝^2
Entonces, se concluye que: 2𝑝^2 + 1112 𝑝 + 121 = (2𝑝 + 14 ) (𝑝 + 13 )
Suma o diferencia de cubos
Dadas las expresiones de la forma: 𝑎^3 + 𝑏^3 𝑦 𝑎^3 − 𝑏^3 , para finalizarlas es necesario extraer la raíz cubica del primer y segundo términos, para después sustituir los resultados en las respectivas formulas.
𝑎^3 + 𝑏^3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎^2 − 𝑎𝑏 + 𝑏^2 )^ 𝑎^3 − 𝑏^3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎^2 + 𝑎𝑏 − 𝑏^2 )
Ejemplo
Factorizar: 27𝑥^3 + 8
Solución. Se extrae la raíz cubica de ambos términos
(^3) √27𝑥 (^3) = 3𝑥 (^3) √8 (^) = 2
Se sustituye en su fórmula respectiva, se desarrollan los exponentes y se obtiene:
27𝑥^3 + 8 = (3𝑥 + 2)((3𝑥)^2 − (3𝑥)(2) + (2)^2 )
= (3𝑥 + 2)(9𝑥^2 − 6𝑥 + 4)
Suma de diferencia de potencias impares iguales
Dadas las expresiones de la forma 𝑎𝑛^ + 𝑏𝑛^ 𝑜 𝑎𝑛^ − 𝑏𝑛^ siendo 𝑛 un número impar, su factorización es de la siguiente forma:
𝑎𝑛^ + 𝑏𝑛^ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛−1^ − 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏^2 −... −𝑎𝑏𝑛−2^ + 𝑏𝑛−1)
𝑎𝑛^ − 𝑏𝑛^ = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1^ + 𝑎𝑛−2𝑏 + 𝑎𝑛−3𝑏^2 +... +𝑎𝑏𝑛−2𝑏𝑛−1)
Ejemplo
Factorizar la expresión: 𝑥^7 + 𝑦^7
Solución. Se extrae la raíz séptima de ambos términos:
(^7) √𝑥 (^7) = 𝑥 √𝑦 (^7 7) = 𝑦
Se sustituye en su fórmula y se obtiene como resultado:
𝑥^7 + 𝑦^7 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥7−1^ − 𝑥7−2𝑦 + 𝑥7−3𝑦^2 − 𝑥7−4𝑦^3 + 𝑥7−4𝑦^3 + 𝑥7−5𝑦^4 − 𝑥7−6𝑦^5 + 𝑦^6 )
=(𝑥 + 𝑦)(𝑥^6 − 𝑥^5 𝑦 + 𝑥^4 𝑦^2 − 𝑥^3 𝑦^3 + 𝑥^2 𝑦^4 − 𝑥𝑦^5 + 𝑦^6 )
Factorización que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Factorizar: 𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 − 𝑎^2
Solución. La expresión 𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es:
𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 = (𝑥 − 𝑦)^2
∴ 𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 − 𝑎^2 = (𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 ) − 𝑎^2 = (𝑥 − 𝑦)^2 − 𝑎^2
Al factorizar la diferencia de cuadrados se obtiene finalmente:
= (𝑥 − 𝑦)^2 − 𝑎^2 = (𝑥 − 𝑦 + 𝑎)(𝑥 − 𝑦 − 𝑎)
Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo
Factorizar la expresión: 4𝑚^4 + 3𝑚^2 𝑛^2 + 9𝑛^4
Solución. El trinomio no es cuadrado perfecto, debido a que el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término, es:
2(2𝑚^2 )(3𝑛^2 ) = 12𝑚^2 𝑛^2
Ya que el segundo término es 3𝑚^2 𝑛^2 , se le suma y se obtiene el término que se necesita para que el trinomio sea cuadrado perfecto, por consiguiente, se resta también 9𝑚^2 𝑛^2 para no alterar la expresión.
4𝑚^4 + 3𝑚^2 𝑛^2 + 9𝑛^4 = 4𝑚^4 + 3𝑚^2 𝑛^2 + 9𝑚^2 𝑛^2 + 9𝑛^4 − 9𝑚^2 𝑛^2
= (4𝑚^4 + 12𝑚^2 𝑛^2 + 9𝑛^4 ) − 9𝑚^2 𝑛^2
= (2𝑚^2 + 3𝑛^2 )^2 − 9𝑚^2 𝑛^2
= (2𝑚^2 + 3𝑛^2 + 3𝑚𝑛)(2𝑚^2 + 3𝑛^2 − 3𝑚𝑛)
Finalmente: 4𝑚^4 + 3𝑚^2 𝑛^2 + 9𝑛^4 = (2𝑚^2 + 3𝑛^2 + 3𝑚𝑛)(2𝑚^2 + 3𝑛^2 − 3𝑚𝑛)
1 (^2) 𝑦
1 (^2) − 3𝑦
15𝑥 − 23√𝑥 − 28
8𝑥
4 (^3) + 2𝑥
2 (^3) 𝑦
2 (^3) − 15𝑦
4 3
- 𝑎^7 − 128
- 𝑚^5 − 𝑛^5
- 𝑥^9 + 512
- 𝑥^7 − 𝑎^7 𝑏^7
- 1 − 𝑎^5
- 𝑥^5 𝑦^5 + 3125
- 𝑥^9 − 1
- 𝑥^3 + 64𝑦^3
- 243 − 32𝑥^5
- 𝑥^7 + 1
- 𝑦^2 − 6𝑦 + 9 − 𝑧^2
- 𝑚^4 − 𝑛^6 − 𝑛^3 − 9
- 𝑚^2 − 6𝑥 − 9 − 𝑥^2 + 2𝑎𝑚 + 𝑎^2
- 𝑚^2 − 𝑛^2 + 4 + 4𝑚 − 1 − 2𝑛
- 25𝑝^2 − 2𝑚 − 𝑚^2 − 1
- 𝑚^2 − 16 − 𝑛^2 + 36 + 12𝑚 − 8𝑛
- 100 − 60𝑦 + 9𝑦^2 − 𝑚^2 + 2𝑎𝑚𝑝 − 𝑎^2 𝑝^2
- 4𝑚^2 − 9𝑎^2 + 49𝑛^2 − 30𝑎𝑏 − 25𝑏^2 − 28𝑚𝑛
- 𝑚^2 + 2𝑚 + 1 − 4𝑛^2
- 25𝑏^2 + 10𝑎𝑏 − 9𝑛^2 + 𝑎^2 − 6𝑚𝑛 − 𝑚^2
- 𝑥^2 − 3𝑥 + 2
- 𝑚^2 − 7𝑚 + 10
- 𝑎^2 − 6𝑎 − 40
- 𝑛^2 + 3𝑛 − 54
- 3𝑥^2 + 10𝑥 + 8
- 3𝑎^2 − 𝑎 − 4
- 6𝑥^2 − 𝑥 − 12
- 𝑛^4 + 𝑛^2 + 1
- 𝑚^8 + 4𝑚^4 𝑛^4 + 16𝑛^8
- 121 + 21𝑎^2 𝑏^2 + 𝑎^4 𝑏^4
PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto.
Cuadrado de un binomio
El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la fórmula:
(𝑎 + 𝑏)^2 = 𝑎^2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏^2
A la expresión resultante se le conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Demostración. La expresión (𝑎 + 𝑏)^2 es equivalente a (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏), entonces al realizar el producto de los binomios, se obtiene:
(𝑎 + 𝑏)^2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏^2 = 𝑎^2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏^2
Ejemplo:
Desarrollar (^12 𝑎 + 3)
2
Solución. Se sustituyen los términos en la formula y se efectúan las operaciones, para obtener:
(^12 𝑎 + 3)
2 = (^12 𝑎)
2
- 2 (^12 𝑎) (3) + (3)^2 = 14 𝑎^2 + 62 𝑎 + 9 = 14 𝑎^2 + 3𝑎 + 9
El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a:
(𝑎 − 𝑏)^2 = 𝑎^2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏^2
En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo
Ejemplo:
Desarrollar (4𝑥^4 − 9𝑦^3 )^2
Solución. Se aplica la fórmula anterior y se obtiene
(4𝑥^4 − 9𝑦^3 )^2 = (4𝑥^4 )^2 − 2(4𝑥^4 )(9𝑦^3 ) + (9𝑦^3 )^2
= 16𝑥^8 − 72𝑥^4 𝑦^3 + 81𝑦^6
Cuadrado de un trinomio
El desarrollo de la expresión (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)^2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:
Binomios con término común
Son de la forma (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los comunes.
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥^2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Demostración. Se realiza el producto de los binomios:
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥^2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula:
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥^2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥^2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Ejemplo
Realizar (𝑚 − 3)(𝑚 − 5)
Solución. Al aplicar la fórmula, se obtiene:
(𝑚 − 3)(𝑚 − 5) = 𝑚^2 + (−3 − 5)𝑚 + (−3)(−5) = 𝑚^2 − 8𝑚 + 15
Cubo de un binomio
Es de la forma (𝑎 + 𝑏)^3 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se le llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(𝑎 + 𝑏)^3 = 𝑎^3 + 3𝑎^2 𝑏 + 3𝑎𝑏^2 + 𝑏^3
Demostración. La expresión (𝑎 + 𝑏)^3 es equivalente al producto (𝑎 + 𝑏)^2 (𝑎 + 𝑏), entonces:
(𝑎 + 𝑏)^3 = (𝑎 + 𝑏)^2 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎^2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏^2 )(𝑎 + 𝑏)
= 𝑎^3 + 𝑎^2 𝑏 + 2𝑎^2 𝑏 + 2𝑎𝑏^2 + 𝑎𝑏^2 + 𝑏^3
= 𝑎^3 + 3𝑎^2 𝑏 + 3𝑎𝑏^2 + 𝑏^3
Ejemplo
Desarrollar el siguiente binomio (𝑥 − 4)^3 :
Solución. El binomio se expresa de la siguiente manera: (𝑥 − 4)^3 = (𝑥 + (−4))^3 , se obtiene cada uno de los términos del cubo perfecto:
El cubo del primer término: (𝑥)^3 = 𝑥^3
El triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(𝑥)^2 (−4) = −12𝑥^2
El triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(𝑥)(−4)^2 = 3(𝑥)(16) = 48𝑥
El cubo del segundo término: (−4)^3 = −
Finalmente, el desarrollo es:
(𝑥 − 4)^3 = 𝑥^3 − 12𝑥^2 + 48𝑥 − 64
Multiplicaciones que se resuelven con la aplicación de productos notables
Se utiliza para resolver una multiplicación de polinomios, siempre que las características de los factores permitan aplicar las reglas de los productos notables. Se agrupan las expresiones y se desarrolla el producto notable que correspondan a las características de los mismos; con los factores resultantes se aplica el mismo procedimiento hasta obtener el mismo resultado.
Ejemplo
Desarrollar el siguiente producto: (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Solución. De acuerdo con la elección de los factores es como se procede a aplicar el producto notable, en este caso se agrupan los factores de la siguiente manera: (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Al desarrollar mediante binomios conjugados, se obtiene:
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 𝑥^2 − 1 (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥^2 − 4
Le expresión se transforma en:
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = (𝑥^2 − 1)(𝑥^2 − 4)
Por último se aplican binomios con término común:
= (𝑥^2 )^2 + (−1 − 4)𝑥^2 + (−1)(−4)
= 𝑥^4 − 5𝑥^2 + 4
∴ (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 𝑥^4 − 5𝑥^2 + 4
POTENCIACIÓN
Definición: Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponente.
𝑎𝑛^ = 𝑎. 𝑎. 𝑎 …, Donde a es la base y n el exponente:
n - de veces
Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de (−2𝑥)^3?
Solución. Se aplica la base por sí misma tres veces, por tanto: (−2𝑥)^3 = (−2𝑥)(−2𝑥)(−2𝑥) = −8𝑥^3
Finalmente, se obtiene: (−2𝑥)^3 = −8𝑥^3
Teoremas de los exponentes
a) 𝑆𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑚, 𝑛 𝜖 𝑅 Y 𝑎 , 𝑏 ≠ 0, entonces: 𝑎𝑛^ ⋅ 𝑎𝑚^ = 𝑎𝑛+𝑚
Demostración:
𝑎𝑛^ ∙ 𝑎𝑚^ = (𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 …. )(𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 …. .∙ 𝑎) = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … .∙ 𝑎 = 𝑎𝑛+𝑚
n veces m veces n + m veces
Ejemplo: Encontrar el resultado de (− 5𝑚)(8𝑚^3 )(−2𝑚^2 )
Solución. Se multiplican los coeficientes (−5)(8)(−2), después se aplica el teorema y se obtiene:
(−5𝑚)(8𝑚^3 )(−2𝑚^2 ) = 80𝑚1+3+2^ = 80𝑚^6
b) 𝑎
𝑚 𝑎𝑛^ = 𝑎
𝑚−𝑛
Demostración:
m veces
𝑎𝑚 𝑎𝑛^ =^
𝑎∙𝑎∙𝑎∙….∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙…∙𝑎 𝑎∙𝑎∙𝑎∙…..∙𝑎 =^ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙.. .∙ 𝑎 = 𝑎
𝑚−𝑛
n veces m – n veces
Ejemplo: Encontrar el resultado de: −27𝑚
7 −3𝑚^3
Solución. Primero se dividen los coeficientes y después se aplica el teorema:
−27𝑚^7 −3𝑚^3
𝑚7−3^ = 9𝑚^4
c) 𝑎^0 = 1
Demostración:
Al aplicar el teorema de división, con 𝑚 = 𝑛, resulta que:
𝑎𝑛^
𝑎𝑚^
= 𝑎𝑚−𝑚^ = 𝑎^0
Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de (−12𝑚^7 )^0?
Solución. Se aplica el teorema y se determina que:
(−12𝑚^7 )^0 = 1
d) 𝑎−𝑛^ = (^) 𝑎^1 𝑛
Demostración:
𝑎−𝑛^ = 𝑎0−𝑛^ =
𝑎^0
𝑎𝑛^
Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de (−3𝑥)−2?
Solución. Se aplica el teorema y después se desarrolla la potencia:
(−3𝑥)−2^ =
(−3𝑥)^2
(−3𝑥)(−3𝑥) =^
9𝑥^2
Por lo tanto, se obtiene que: (−3𝑥)−2^ = (^) 9𝑋^12
e) (𝑎𝑛^ )𝑚^ = 𝑎𝑛·𝑚
Demonstración:
(𝑎𝑛^ )𝑚^ = (𝑎𝑛^ )(𝑎𝑛^ )(𝑎𝑛^ ) … (𝑎𝑛^ ) = 𝑎𝑛+𝑛+𝑛…+𝑛^ = 𝑎𝑛∙𝑚
m veces
Ejemplo: ¿Cuál es una expresión equivalente 𝑎 (𝑚^4 )^3?
Solución. Se aplica el teorema y se determina que:
(𝑚^4 )^3 = 𝑚(^4 )(^3 )^ = 𝑚^12
f) (𝑎. 𝑏. 𝑐)𝑛^ = 𝑎𝑛^ ∙ 𝑏𝑛^ ∙ 𝑐𝑛
Demostración:
Al aplicar el teorema de multiplicación, con 𝑚 = 𝑛, entonces se obtiene:
(𝑎 ⋅ 𝑏 ∙ 𝑐)𝑛^ = (𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐)(𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐) … (𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑎 · … ∙ 𝑎)(𝑏 ∙ 𝑏 ∙ … ∙ 𝑏)(𝑐 ∙ 𝑐 ∙ … ∙ 𝑐) = 𝑎𝑛^ 𝑏𝑛^ 𝑐𝑛
n veces
Ejemplo: Determinar una expresión equivalente a: (𝑥^3 ∙ 𝑦^4 ∙ 𝑧^2 )^4
Solución. Al aplicar el teorema se obtiene: (𝑥^3 ∙ 𝑦^4 ∙ 𝑧^2 )^4 = 𝑥(3)(4)𝑦(4)(4)𝑧(2)(4)^ = 𝑥^12 ∙ 𝑦^16 ∙ 𝑧^8
g) (𝑎𝑏)
𝑛 = 𝑎
𝑛 𝑏𝑛
Demostración:
n veces
𝑛 = (
Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de desarrollar (𝑚
(^4) ∙𝑛 3 𝑟^2 )
5 ?
Solución. Aplicar el teorema, y determina que:
𝑚^4 ∙ 𝑛^3
𝑟^2
5
(𝑚^4 ∙ 𝑛^3 )^5
(𝑟^2 )^5
(𝑚^4 )^5 ∙ (𝑛^3 )^5
(𝑟^2 )^5
𝑚^20 ∙ 𝑛^15
𝑟^10
h) (𝑎𝑏)
−𝑛 = (𝑏𝑎)
𝑛
Demostración:
−𝑛
𝑛 =^
𝑎𝑛^ = (
𝑛
Ejemplo ¿Cuál es el resultado de desarrollar (2𝑥3𝑦)
− ?
Solución. Se aplica el teorema y se obtiene que:
− = (
2
Luego, al elevar al cuadrado se tiene el desarrollo:
2
(3𝑦)^2
(2𝑥)^2
9𝑦^2
4𝑥^2
Por tanto, (2𝑥3𝑦)
− = 9𝑦
2 4𝑥^2
