Guía Di Bartolo - Selección simple y Desarrollo, Ejercicios de Física

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Capítulo 1

Vectores

26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99)

21 Problemas de desarrollo - página 22

(soluciones en la página 100)

1 V ECTORES

3. Dados los vectores de la figura se cumple que

A) a + b + 2 c + d = 0

B) b + 2 c = d + a

C) d = a + b + c

D) d = a + b + 2 c

E) b = 2 c − d + a

a b

c

c

d

4. La expresión en cartesianas del vector de la figura es

A) − 2 i + 3 j

B) + 3 i − 2 j

C) + 3 i + j

D) + 2 i − 3 j

E) + 3 i + 4 j

x

y

5. El vector a + b + c es

A) +3 ˆu x + 3 ˆu y

B) −2 ˆu x + uˆ y

C) +2 ˆu x − uˆ y

D) +2 ˆu x + uˆ y

E) + uˆ x + 4 ˆu y

x

y

a b

c

1.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN

6. Sean los vectores H = 5 i + 2 k y M = − 4 j + 3 k, se cumple que 3H − 2 M es igual a

A) 15i − 8 j + 12 k

B) 7i + 12 k

C) 23i

D) 15i − 8 j

E) ninguna de las opciones anteriores.

7. Los vectores a y b satisfacen las ecuaciones: 2 a − b = −i − 2 j + 2 k ,

−a + b = +i + j.

Se cumple entonces que el módulo de a es igual a

A) 5

B) 2

C)

D) 1

E)

8. El vector B de la figura tiene un módulo de 60 cm/s. Su expresión en la base cartesiana y en

unidades de m/s es

A) B = (− 0. 3

3 ˆx + 0 .3 ˆy) m / s.

B) B = (− 3000

3 ˆx + 3000 ˆy) m / s.

C) B = (− 0 .3 ˆx + 0. 3

3 ˆy) m / s.

D) B = (−3000 ˆx + 3000

3 ˆy) m / s.

E) ninguna de las otras opciones.

B

x ˆ

y ˆ

1.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN

12. Dos vectores tienen magnitudes 10 y 16 y el ángulo entre ellos es de 30◦. Sea H la magnitud de

la proyección del vector más corto sobre la línea que es perpendicular al más largo y se encuentra

en el plano de los dos vectores. Entonces H es

A) 8.

B) 5.

C) 0.

D) 5

E) 8

13. Sea α el ángulo entre dos vectores R y P que satisfacen las relaciones | P + R |=

3 | P | y

| P |=| R |. El cos( α) vale

A) 1/

B) -7/

C) -1/

D) 7/

E) 1/

14. Los vectores A y B de la figura forman dos lados de un triángulo equilátero de lado L. El

producto escalar de B con (A − B) vale

A) + 3 L^2 / 2

B) + L^2 / 2

C) − L^2 / 2

D) +

3 L^2 / 2

E) −

3 L^2 / 2

A

B

L

1 V ECTORES

15. Sean dos vectores A y B que satisfacen la relación C = |A| = |B| = 2 |A − B|. El producto

escalar A · B es igual a

A) 7 C

2 /8.

B) 3 C /4.

C) − 7 C^2 /8.

D) C

2 .

E) 3 C^2 /4.

16. Sean los vectores A = ( a xˆ − 3 a yˆ + 4 ˆz) y B = (− a xˆ + zˆ). Se cumple que

A) A y B son perpendiculares sólo si a = 5 /3.

B) A y B son perpendiculares sólo si a = 2 o a = −2.

C) no existe valor de a para el cual A y B sean perpendiculares.

D) A y B son perpendiculares sólo si a = 1 o a = −4.

E) A y B son perpendiculares si a = 0.

17. Dados los vectores A = xˆ − zˆ y B = 2 ˆy + 3 ˆz se cumple que A × B es igual a:

A) −2 ˆx + 3 ˆy + 2 ˆz

B) 2 ˆx + 3 ˆy + 2 ˆz

C) +3 ˆz

D) 2 ˆx − 3 ˆy + 2 ˆz

E) −3 ˆz

1 V ECTORES

21. Sea W ≡ V × uˆ z , donde V es un vector variable, no nulo y paralelo al plano xy. Considere las

siguientes tres afirmaciones:

i) W es perpendicular a V , ii) W está en el plano xy , iii) W es unitario.

Se cumple que

A) sólo la afirmación i es siempre cierta.

B) sólo la afirmación ii es siempre cierta.

C) sólo las afirmaciones i y ii son siempre ciertas.

D) las afirmaciones i, ii y iii son siempre ciertas.

E) ninguna de las afirmaciones i, ii o iii es siempre cierta.

22. Los vectores A y B de la figura forman dos lados de un triángulo equilátero de lado L. Llamare-

mos ˆu al vector unitario perpendicular a la hoja y apuntando hacia afuera. El producto vectorial

A × 2 B es igual a

A) + L^2 uˆ

B) ninguna de las otras 4 opciones es correcta.

C) +

3 L^2 uˆ

D) −

3 L^2 uˆ/ 2

E) −

3 L

2 uˆ

A

B

L

u ˆ

23. Sean dos vectores arbitrarios V y ˆu con | uˆ| = 1. Se puede escribir que V = V‖ + V⊥ donde

V‖ es paralelo a ˆu y V⊥ es perpendicular a ˆu. Se cumple que

A) V‖ = V − (V · uˆ) uˆ y V⊥ = (V · uˆ) uˆ.

B) V‖ = |V |

2 uˆ y V⊥ = V − |V | 2 uˆ.

C) V‖ = V − uˆ × V y V⊥ = uˆ × V.

D) V‖ = (V · uˆ) uˆ y V⊥ = V − (V · uˆ) uˆ.

E) V‖ = V y V⊥ = 0.

1.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN

24. Un plano contiene dos vectores no colineales A y B. Los vectores Z que pertenecen al plano

son aquéllos que cumplen:

A) Z + A × B = 0

B) Z · (A × B) = 0

C) Z × (A × B) = 0

D) Z · A + Z · B = 0

E) (A × Z) · (B × Z)· = 0

25. Sean P y Q dos puntos del espacio cuyos vectores posición respecto al origen son r P y r Q

respectivamente. Un plano infinito con vector normal ˆn contiene al punto Q. Sea h la distancia de

P al plano ( h es la longitud de una línea perpendicular al plano que va desde éste a P ). Se cumple

que

A) h =| (r P − r Q ) · nˆ |.

B) h = 0.

C) h =| (r P − r Q ) × nˆ |.

D) h =| r P · nˆ |.

E) no hay suficientes datos para calcular h.

26. Un plano está determinado por tres puntos distintos con vectores de posición Q 1 ,Q 2 y Q 3. Un

punto con vector posición r pertenece a este plano si y sólo si existen números reales λ y μ que

satisfacen la ecuación:

A) r = λ Q 2 + μ Q 1 × Q 3.

B) r = Q 1 + λ Q 2 + μQ 3.

C) r = Q 3 + λ (Q 2 − Q 1 ) + μ(Q 3 − Q 2 ).

D) r = λ (Q 3 − Q 1 ) + μ(Q 2 − Q 1 ).

E) r = Q 1 + λ (Q 2 + Q 1 ) + μ(Q 3 + Q 1 ).

1.B P ROBLEMAS DE DESARROLLO

b. Calcule el vector unitario en la dirección de (a − 2 b).

33. Sobre una partícula de masa M = 2 kg actúan dos fuerzas

F 1 y F 2. Ambos vectores fuerza son paralelos al plano xy y

se muestran en la figura. Sus módulos son |F 1 | = 2 Newton y

|F 2 | = 4 Newton, los ángulos α y β se suponen conocidos.

a. Halle las fuerzas F 1 y F 2 en la base cartesiana {i, j}.

F 1

F 2

j

i

α

β

b. Para el caso particular α = 30 ◦^ y β = 60 ◦^ calcule: el módulo de la fuerza neta Fneta ≡ F 1 + F 2

y la componente x del vector aceleración a.

Nota: Use el hecho de que la aceleración de la partícula satisface la ecuación Fneta = M a.

34. Sean dos vectores a y b que satisfacen las siguientes condiciones: a es perpendicular al plano

yz , a · b = 12, a + b = 7 ˆx − 3 ˆy + 5 ˆz. Determine los vectores a y b.

35. La figura muestra un paralelogramo con vértices en los puntos P 1 , P 2 , P 3 y P 4.

Se conocen las coordenadas cartesianas de los puntos P 1 y

P 2 , y las componentes del vector D:

P 1 = ( 1 , 1 , 0 ) , P 2 = ( 2 , 3 , 0 ) , D = xˆ + 3 ˆy + 3 ˆz.

a. Se definen los vectores a y b, el primero parte de P 1 y llega

a P 2 y el segundo parte de P 4 y llega a P 1. Encuentre las com-

ponentes de a y b.

b. Halle las coordenadas de los puntos P 3 y P 4.

c. Halle el ángulo α.

x

y

z

α

D

P 1

P 2

P 3

P 4

36. Se tienen dos vectores a y b tales que | a |=| b |= 2 y a · b = 2.

a. Halle | a − b | y el ángulo α entre a y b.

b. Se construye un paralelogramo de tal forma que el vector a coincide con uno de sus lados y el

vector b con una de sus diagonales. Determine el área A de dicho paralelogramo.

37. La figura muestra un paralelepípedo en un sistema de referencia cartesiano. Las coordenadas

de algunos de sus vértices son conocidas: P 1 = ( 0 , 1 , 0 ); P 2 = ( 1 , 2 , 0 ); P 3 = ( 0 , 4 , 0 ); P 4 = ( 0 , 2 , 3 ).

a. Halle las componentes cartesianas de los

vectores a, b, c.

b. Halle las componentes y módulo de d.

c. Halle las coordenadas del punto P 5 y el

ángulo α.

d. Halle el volumen del paralelepípedo. (^) x

y

z

α

a

b

c d

P 5

P 1

P 2

P 3

P 4

1 V ECTORES

38. Sean los vectores A = A (^) x i + A (^) y j y B = i − 2 j + k. Calcule las componentes A (^) x y A (^) y sabiendo

que el producto vectorial A × B está en el plano xy y A · B = 5.

39. Sean los vectores a = a i, b = b j y c = c k; las cantidades a , b y c se asumen conocidas.

Considere el triángulo T cuyos tres vértices están en los puntos r 1 = a + c (vértice 1), r 2 = a + b

(vértice 2) y r 3 = b + c (vértice 3).

a. Determine los tres vectores que unen los tres vértices de T: L 1 apunta del primero al segundo,

L 2 del segundo al tercero y L 3 del tercero al primero.

b. Halle un vector normal al plano del triángulo T y encuentre la proyección de este vector sobre

el eje z.

c. Calcule el área del triángulo T.

40. Sea A un vector de módulo 2, paralelo al plano xz , de componente z positiva y que forma un

ángulo de 120 ◦ con la dirección positiva del eje x.

a. Calcular las componentes del vector A en la base canónica { uˆ x , uˆ y , uˆ z }.

b. Hallar un vector de módulo 4 perpendicular al plano formado por los vectores A y C = uˆ y +2 ˆu z.

41. Halle en la base {i, j, k} un vector unitario perpendicular

al paralelogramo de la figura.

x

y

z

42. Considere una partícula de masa M = 1 kg con vector posición en función del tiempo dado por

r( t ) = i m + 3 t j m/s − 4 t 2 k m/s 2

donde t es el tiempo, m indica metros y s segundos.

a. Los vectores velocidad y aceleración de la partícula se definen por v = d r/ dt y a = d v/ dt

respectivamente. Halle los vectores r, v y a al instante t = ( 1 / 2 ) s.

b. La fuerza neta F sobre una partícula satisface la ecuación F = M a y la potencia de una fuerza

se define por P = F · v. También definiremos la energía cinética de la partícula como T ≡ M |v| 2 / 2

y su momento angular por L = M r × v.

Halle para el instante t = ( 1 / 2 ) s la potencia de la fuerza neta, la energía cinética de la partícula

y su momento angular.

1 V ECTORES

( 2 , 0 , 0 ), ( 0 , − 2 , 0 ) y ( 0 , 0 , 2 ). Escriba la ecuación en la forma c 1 x + c 2 y + c 3 z = c 4 determinando

los números ci. Represente gráficamente el plano.

Capítulo 7

Respuestas

Aquí se dan las respuestas finales a todos los ejercicios propuestos en este

libro.

7.A V ECTORES (S ELECCIÓN )

Sección 7.A Vectores (Selección)

A

C

3 E 4 D 5 C

6 E 7 E 8 A

B

D

D

B

E

C

A

B

D

B

A

C

C

E

D

B

A

C

7 R ESPUESTAS

Sección 7.B Vectores (Desarrollo)

a

b

b

c

A = 2km/h

D

|D|

= ( 4 i +

3 j + 1 k)

km/h

θ x = θ y = π/4 (por simetría), θ z = π/ 2

30. Por simetría los cosenos directores (a las tres aristas que salen del punto) cumplen cos( θ x ) =

cos( θ y ) = cos( θ z ) = 1 /

3, luego θ z = arcos( 1 /

a.

A = l zˆ , B = l xˆ + l zˆ , C = l xˆ − l yˆ + l zˆ ,

|A| = l , |B| = l

2 , |C| = l

b.

θ z = arcos( Cz /|C|) = arcos( 1 /

c.

B − C = l yˆ

B − C

B

C

x

y

z

a.

a = 3 ˆu x + 2 ˆu y − uˆ z , b = uˆ x − uˆ y + uˆ z