¡Descarga Guía del método Húngaro para problemas de asignación y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Investigación de Operaciones solo en Docsity!
EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.
GENERALIDADES.
Son un caso particular de los problemas de transporte, son la clase más sencilla de los problemas lineales.
Supongamos que nos dan n exigencias que se deben satisfacer y n métodos para satisfacerlas; Cada exigencia debe ser satisfecha por uno de los métodos; Un método no se puede utilizar para satisfacer más que una exigencia; Disponemos de una matriz de costes n x n siendo cada elemento () el coste de satisfacer la exigencia j por el método i; El problema de asignación consiste en hallar aquella combinación de métodos y exigencias que minimizan el coste total.
Para este tipo de problemas existe un método denominado Método Húngaro. El principio fundamental del método húngaro es que si un problema de asignación se modifica sumando o restando una constante a todos los elementos de una fila o columna (el menor en ambos casos) de la matriz de coste, la solución óptima del problema modificado es la misma que la solución óptima del problema original.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se plantea y como una variable binaria. Si = 1 entonces se utiliza el método i para satisfacer la exigencia j ; = 0 el método i no se utiliza para satisfacer la demanda j. A
partir del hecho de que cada método está asociado con una y sólo una exigencia, y que cada exigencia está asociada con un y sólo un método la forma matemática del problema debe ser hallar la matriz X que satisface:
y = 1 ∀ = {1,2, … , }
Que minimiza:
Donde representa la matriz de costos asociados de satisfacer la exigencia j con el método i.
¿CÓMO OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA POR EL MÉTODO HÚNGARO?
PRIMER PASO
Localizar el coste más pequeño en cada una de las filas de la matriz de costes. Se supone que inicialmente son no negativos todos los costes (en caso de maximizar, que requiere un cambio de signo a todos los elementos de la matriz, restar el coste más pequeño de todos los elementos de la matriz).
Localizado este elemento se resta de cada elemento de la fila.
Dibujar el mínimo conjunto de líneas pasando por los ceros obtenidos. Si menos de n líneas cubren todos los ceros, todavía no hemos localizado la solución óptima.
SEGUNDO PASO
Si no se ha obtenido la solución óptima en el paso anterior, repetir el mismo proceso con las columnas. Algunas de estas ya tendrán ceros que se consideran como el valor mínimo de la columna. Dibuje otra vez el mínimo conjunto de líneas que cubren todos los ceros. Si el conjunto mínimo de líneas es menor que n debe recurrirse al tercer paso.
TERCER PASO
A partir de la matriz del segundo paso, encontrar el elemento mínimo de todos los elementos no cubiertos por líneas , restar este elemento de todos los no cubiertos (incluido el mismo) y añadirlo (sumarlo) a aquellos elementos que se encuentran en una intersección de líneas. Dibujar nuevamente el mínimo conjunto de líneas que pasan por los ceros de la matriz. Si este número iguala a n se ha terminado, si no, debe continuar.
CUARTO PASO
Repetir el paso tres hasta que el conjunto mínimo de líneas iguale a n.
QUINTO PASO
Si el mínimo número de líneas que cubren todos los ceros es n , ha aparecido la solución óptima. Para determinarla se procede al marcado de ceros. Marcar los ceros que son únicos en una línea determinada, descartar las filas y las columnas que contienen el cero y continuar hasta que todos los ceros independientes estén marcados.
NOTAS
Se pueden presentar problemas en los que hay más exigencias que métodos para satisfacerlas o viceversa. En este caso añadiremos filas o columnas ficticias para conseguir que la matriz de coste sea cuadrada.
