Guía de Ejercicios resueltos de Ingreso 2014 en Matematica a la UNS, Ejercicios de Matemáticas

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INGRESO 2014

NIVELACIÓN EN MATEMÁTICA

Guía de Ejercicios

Universidad Nacional del Sur

Selecci´on y resoluci´on de ejercicios

Lic. Denise Belloni

Prof. Sonia Beratz

Lic. Sof´ıa Boltsis

Prof. Ana Cocilova

Lic. Ana de la Torre

Ing. Claudia Egidi

Lic. Carlos Gallardo

Prof. Florencia Gambetta

Ing. Sandra L´opez

Lic. Jorge Mart´ınez

Lic. Silvina Pistonesi

Prof. Ana Julia Rafti Schroeder

Mg. Diana Salgado

Lic. M´onica Zapperi

Prof. Carolina Zeppa

Coordinaci´on general

Mg. Marta A. Casamitjana

Subsecretaria Acad´emica

Digitado y Diagramaci´on General

Mg. Diana Salgado

Agradecimientos

A los docentes Susana Orofino y Marta Zander por la colaboraci´on en el digitado en tex

cient´ıfico y la revisi´on de soluciones.

A los docentes Diana Salgado y Adriana Verdiell, por su colaboraci´on tanto en el digitado

en tex como en la redacci´on de varios ejercicios.

Al docente Carlos Gallardo, por su colaboraci´on en el digitado en tex y a los docentes A´ıda

Kremer y M´onica Zapperi por la cuidadosa revisi´on de soluciones y acertadas observaciones.

A los docentes Claudia Egidi y Flavia Buffo por el aporte de las figuras incluidas en esta

gu´ıa.

Notaci´on

N : conjunto de los n´umeros naturales

Z : conjunto de los n´umeros enteros

Q : conjunto de los n´umeros racionales

I : conjunto de los n´umeros irracionales

R : conjunto de los n´umeros reales

> : mayor que

≥ : mayor o igual que

< : menor que

≤ : menor o igual que

∈ : pertenece

∈ / : no pertenece

∪ : uni´on

∩ : intersecci´on

: : tal que

∅ : conjunto vac´ıo

∀ : para todo

f : A → B : funci´on f definida de A en B

f(x) : f de x

D(f) : dominio de f

Im(f) : imagen de f

sig(x) : signo de x

⇒ : implica

⇔ : equivalente

≈ : aproximado

1. N´umeros Reales 1.1. Operaciones. Propiedades Definici´on: Un n´umero entero a es m´ultiplo de un entero b si es posible encontrar un

n´umero natural n tal que: a = n · b

Notemos que si a es m´ultiplo de b, la divisi´on a ÷ b tiene resto cero, por lo tanto decimos

indistintamente:

a es m´ultiplo de b

b divide a a

b es factor de a

a es divisible por b

Ejemplo: 12 es m´ultiplo de 4 ya que existe 3 ∈ N tal que 3 · 4 = 12. Por lo tanto decimos

indistintamente:

12 es m´ultiplo de 4

4 divide a 12

4 es factor de 12

12 es divisible por 4

1. ¿208 y 736 son m´ultiplos de 8? ¿la suma de ellos es m´ultiplo de 8? ¿y su diferencia? ¿y

su producto?

2. Halle siete m´ultiplos consecutivos para cada uno de los siguientes n´umeros.

2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9

a) ¿se repite alg´un m´ultiplo entre los hallados? ¿Por qu´e?

b) ¿es igual hallar m´ultiplos que factores?

3. Escriba verdadero (V) o falso (F) seg´un corresponda. Justifique su respuesta.

a) Si un n´umero es divisible por 6 entonces es divisible por 3.

b) Si un n´umero es divisible por 3 entonces es divisible por 6

c) Si un n´umero es divisible por 210, es divisible por 6.

d) Existe un n´umero que divide a todos los n´umeros.

e) Existe un n´umero que es m´ultiplo de todos los n´umeros.

4. Escriba en cada caso todos los n´umeros enteros x que satisfacen la condici´on establecida.

a) − 101 < x < − 97 b) − 17 ≤ x < − 12 c) − 1 ≤ x ≤ 2

5. Si n es un n´umero natural, determine para qu´e valores de n estos n´umeros pertenecen al

conjunto de los n´umeros enteros.

a)

n

b)

n

c)n − 5 d)n +

e)

n

6. Complete el cuadro de equivalencias

porcentaje fracci´on n´umero decimal

7. Para pensar (se pretende una deducci´on o un razonamiento expresado con sus palabras

no una demostraci´on formal).

a) Dado un n´umero racional a

i) ¿siempre existe un racional b tal que a + b = 0?

ii) ¿y tal que a · b = 1?

b) Dado un n´umero natural a

i) ¿siempre existe un natural b tal que a + b = 0?

ii) ¿y tal que a · b = 1?

c) Dado un n´umero entero a

i) ¿siempre existe un entero b tal que a + b = 0?

ii) ¿y tal que a · b = 1?

8. Si el inverso del n´umero racional a − 4 es 1/5, determine el opuesto de a + 1.

9. Si x ∈ N y x > 1, ordene los siguientes n´umeros en forma creciente y justifique.

x + 1

x

x −

x

−x − 1

10. Sean m, n, s, t n´umeros enteros. Indique si las siguientes igualdades, siempre que est´en

definidas, son verdaderas (V) o falsas (F).

a)

m

s + t

m

s

m

t

b)1 +

2 m

m + t

3 m + t

t + m

c)

m

m + t

t

d)

3 m + t

m + t

16. Indique a qu´e subconjunto/s de n´umeros reales pertenece cada uno de los siguientes

n´umeros.

a) π/ 2 ∈...... b)

36 ∈...... c) 2, 25111... ∈...... d∗)

Ejemplo d).

pertenece a los conjuntos Z, Q y R.

17. En las siguientes demostraciones, identifique las propiedades de los n´umeros reales que se

utilizan en cada rengl´on (Sugerencia: consulte, si es necesario el Ap´endice al final de esta

unidad).

Sean a, b, c ∈ R:

a∗) a(a + b) + ba + a^2 = a(a + b) + ab + a^2

= (a^2 + ab) + ab + a^2

= a^2 + (ab + ab) + a^2

= (a^2 + a^2 ) + 2ab

= 2 a^2 + 2ab

b) a(b + (a − b)) = a(b + (a + (−b)))

= a(b + (−b + a))

= a(b + (−b) + a)

= a(0 + a)

= a · a = a^2

c) a + (b · (a ÷ b)) = a + (b · (a · b−^1 ))

= a + (b · (b−^1 · a))

= a + ((b · b−^1 ) · a))

= a + (1 · a)

= a + a = 2a

d)

a

1 − 1 b

a

b

a

(b · b−^1 ) +

b

a

(b · b−^1 ) + (− 1 · b−^1 )

a

b−^1 (b + (−1))

= a · (b−^1 (b + (−1)))−^1

= a · ((b−^1 )−^1 · (b + (−1))−^1 )

= a · (b · (b + (−1))−^1 )

= (a · b) · (b + (−1))−^1

ab

b + (−1)

Ejemplo a).

a(a + b) + ba + a^2 = a(a + b) + ab + a^2 [conmutativa del producto]

= (a^2 + ab) + ab + a^2 [distributiva del producto

con respecto a la suma]

= a^2 + (ab + ab) + a^2 [asociativa de la suma]

= (a^2 + a^2 ) + 2ab [conmutativa y asociativa de la suma]

= 2 a^2 + 2ab

18. Verifique las siguientes igualdades (sin usar calculadora).

a)

2 ÷^ (

4 ÷^

(1 − 13 ) ÷ (1 − 15 )

b)

(3^4 )^3 (3^2 )^3

(−3)^15 · 34

c)

[3−^2 − (−2)−^2 ]−^1

d)

{[( √ 6

) 2 ] 3 } 9

19. Las igualdades indicadas en cada caso no son verdaderas. Indique los errores de proce-

dimiento cometidos y halle el resultado correcto.

a)2 − 3(4 · 2 + 8) = − 1 · 16 = − 16 b)

− 22 + 4−^1

− 23 − 2 −^1

−^172

20. Resuelva los siguientes problemas.

a) Un terreno rectangular de 20 km de frente por 5 km de fondo debe cercarse con tres

vueltas de alambre. ¿Cu´antos metros de alambre se necesitan?

b) Debemos colocar perlitas de 8 mm de di´ametro en el borde de una torta circular que

tiene 12 cm de radio. ¿cu´antas perlitas debemos comprar?

21. Sea x ∈ R, indique si son verdaderas o falsas cada una de estas afirmaciones.

a) x^2 ≥ 0.

b) x^3 ≥ 0.

c) 3

x s´olo existe si x ≥ 0.

d) x−^1 < 0 si x < 0.

e) −x^2 ≤ 0.

f) −x < 0.

22. Sea a ∈ R, ordene de menor a mayor los n´umeros a, a^2 , 1/a y

a en estos dos casos.

a) Si a > 1 b) Si 0 < a < 1

7. Factorice y simplifique al m´aximo las siguientes expresiones.

a) a^10 − a^8 − a^6 + a^4 b) 1 − 4 b + 4b^2

c) y^2 − 25 m^2 d∗) x^2 − a^2 + 2xy + y^2 + 2ab − b^2

Ejemplo d).

x^2 − a^2 + 2xy + y^2 + 2ab − b^2 = [x^2 + 2xy + y^2 ] − [a^2 − 2 ab + b^2 ] = [x + y]^2 − [a − b]^2 =

= [(x + y) − (a − b)][(x + y) + (a − b)] = [x + y − a + b][x + y + a − b]

8. Opere algebraicamente, factorice y simplifique al m´aximo las siguientes expresiones for-

males.

a∗)

bx^2 − b − x^2 + 1

b^2 x − x + b^2 − 1

b)

a−^2 − 2 b−^1

a−^4 − 4 b−^2

(b − 2 a)−^1

c)

(a + b)−^2

(ab)−^2

÷

b−^2 − a−^2

d)

m + n

m^2 − n^2

m − n

m^2 − 2 nm + n^2

Ejemplo a).

bx^2 − b − x^2 + 1

b^2 x − x + b^2 − 1

b(x^2 − 1) − (x^2 − 1)

x(b^2 − 1) + (b^2 − 1)

(b − 1)(x^2 − 1)

(x + 1)(b^2 − 1)

(b − 1)(x + 1)(x − 1)

(x + 1)(b + 1)(b − 1)

x − 1

b + 1

, b 6 = 1, x 6 = − 1.

9. Compruebe la siguiente igualdad.

(x−^1 + y−^1 )−^1

x−^1 − y−^1

÷ (x−^2 − y−^2 )−^1 = 1

10. En cada caso racionalice el denominador o el numerador, seg´un sea el caso, y simplifique

al m´aximo la expresi´on resultante.

a)

x^2 − x

x −

2 x − 1

b)

2 x + 14

2 − x − 3

c)

x + 2

y

x^2 y − 4 xy^2

1.3. Ecuaciones

1. Determine si los valores de x indicados son soluciones de la ecuaci´on respectiva.

a) x^3 + 3x^2 − x − 3 = 0; x = 2, x = −1.

b) x +

x^3 + 1 = 2x + 1; x = −1, x = −2.

c)

x + 1

x^2 − 1

= 0; x = −1.

2. Determine el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes ecuaciones y verifique el

resultado obtenido.

a) x^2 + 3x − 5 = x(x − 8) + 9.

b) 3 − x(2 − x) = x^2 − 2(x + 3).

c∗) (x − 3)(2x − 5) = (x − 3)(3 − 4 x).

d) (x^2 + x)^2 − x(x^2 + x) = 0. (Sugerencia: factorice la expresi´on)

e) (2x − 3)^3 + 8 = 0.

f)

2 x − 3

x + 3

4 x − 6

2(x + 3)

g)

7 x^2 − 28 x + 21

x − 1

= 7x − 21.

Ejemplo c). Observamos que hay un factor com´un en ambos miembros de la igualdad.

Conviene entonces escribir la ecuaci´on equivalente

(x − 3)(2x − 5) − (x − 3)(3 − 4 x) = 0.

Factorizando,

(x − 3)[(2x − 5) − (3 − 4 x)] = 0

(x − 3)(6x − 8) = 0

de donde resulta x − 3 = 0 ´o 6x − 8 = 0, es decir x = 3 ´o x =

Verificaci´on:

Reemplazamos x por 3 en la ecuaci´on de partida:

Reemplazamos x por

en la ecuaci´on de partida:

Observaci´on: Seguramente alguien habr´a pensado en suprimir de entrada el factor

x − 3 com´un a ambos miembros de la ecuaci´on y escribir

(x − 3)(2x − 5) = (x − 3)(3 − 4 x) ⇔ 2 x − 3 = 3 − 4 x.

CUIDADO!! Estas ecuaciones son equivalentes si x 6 = 3.

4. Determine el conjunto soluci´on de cada una de las siguientes ecuaciones y verifique el

resultado obtenido.

a)

x

x =

x

x.

b)

x^2 − 4 = 2.

c) x

x + 1 + 3 = 3.

d) 6 − 2 x

e) x

x−^3 = 2

5. Encuentre el o los valores de m para que se cumpla la condici´on que se solicita.

a) x − 2 (1 + 3m) x + 7 (3 + 2m) = 0 no tiene soluci´on.

b) x = −3 es soluci´on de x^2 − 2 (1 + 3m) x + 7 (3 + 2m) = 0.

c) x = 5 es soluci´on de

x + 1

− 6 x + 4m = 2x −

x + 4

m

6. a) Despu´es de un 20 % de descuento, un proyector se vendi´o en 9 600 pesos. Determine

el precio original del art´ıculo.

b) Un grupo de alumnos fue encuestado. El 20 % (700 alumnos) favoreci´o a un nuevo

producto sobre la marca de mayor venta. ¿Cu´antos alumnos fueron encuestados?

c) Encuentre tres n´umeros enteros consecutivos cuya suma sea 48.

d) En 5 a˜nos Alberto tendr´a 3 veces la edad que ten´ıa hace 7 a˜nos. ¿Cu´antos a˜nos tiene

Alberto?

e) El se˜nor Gonz´alez tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de 3 965

d´olares. Una inversi´on de 8 500 de d´olares est´a a una tasa de inter´es anual de 9 %,

otra inversi´on de 11 000 d´olares est´a a una tasa de inter´es anual de 10 %. ¿Cu´al es

la tasa de inter´es anual que recibe sobre la tercera inversi´on, de 15 000 d´olares?

f) Halle en cada caso, el volumen de un cubo sabiendo que

i) la diagonal del mismo mide

300 dm.

ii) la diagonal de la base mide 10 dm.

g) Un tanque de forma c´ubica tiene una capacidad de 216 000 litros. Halle la medida

de la arista.

h) Halle el di´ametro de una esfera cuyo volumen es de

π m^3.

1.4. Inecuaciones

1. Represente los siguientes conjuntos utilizando la notaci´on de intervalo y graf´ıquelos en la

recta.

a){x ∈ IR : − 4 < x < 5 } b){x ∈ IR : 2 < x ≤ 12 }

c){x ∈ IR : x > 2 } ∪ {x ∈ IR : x ≤ 12 } d){x ∈ IR : x > 2 } ∩ {x ∈ IR : x ≤ 12 }

e){x ∈ IR : − 4 < x ≤ 0 } ∪ {x ∈ IR : x ≥ 0 }

2. Complete utilizando la notaci´on de intervalo.

a) Si x ≤ 3 y x > − 7 entonces x ∈....

b∗) Si x < 1 ´o x ≥ 3 entonces x ∈....

c) Si x > 2 ´o x < 4 entonces x ∈....

Ejemplo b). Si es x < 1, x ∈ (−∞, 1). Si es x ≥ 3, x ∈ [3, +∞).

Por lo tanto, x ∈ (−∞, 1) ∪ [3, +∞).

3. Sea x ∈ R. Determine si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justifique

su respuesta.

a) El conjunto soluci´on de x^2 + 1 > 0 es R.

b) El conjunto soluci´on de −x^4 − 2 > 0 es R.

c) ∀x ≤ 1 se cumple que x^2 ≤ 1.

d) El conjunto soluci´on de

(1 − x)^2

> 0 es R − { 1 }.

4. Sean x, y ∈ R. Si x > y > 0, indique cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

a)

x

y

b) −x < −y

c) x − y > 0

5. Sean r, s ∈ R. Si r > s, indique cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

a)

r − s

s − r

b) (r − s)(s − r) > 0.

c)

r − s

s − r

i) (2x − 1) > 0 ⇔ x >

(2x − 1) < 0 ⇔ x <

ii) (x − 3) > 0 ⇔ x > 3

(x − 3) < 0 ⇔ x < 3

Por lo tanto, ambos factores son positivos en el intervalo (3, +∞) y son negativos en

(−∞, 12 ), entonces el conjunto soluci´on es: (−∞, 12 ) ∪ (3, +∞).

Para analizar el signo de un producto, es muy ´util proceder gr´aficamente de la siguiente

manera:

1) Se dibuja una recta num´erica para cada factor y all´ı se indica su signo.

2) Se aplica la regla de los signos para obtener el signo del producto.

Veamos c´omo hacerlo en el ejemplo que estamos considerando:

sig(2x − 1)(x − 3) ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

sig(x − 3) ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

sig(2x − 1) ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

8. Resuelva las siguientes inecuaciones, grafique el conjunto soluci´on y expr´eselo usando la

notaci´on de intervalo.

a)

− 1 − 3 x

1 − 4 x

≤ 2 b∗)

x + 3

x + 1

c)

x + 2

2 − x

≥ 1 d)

x + 2

x^2

x + 2

e) −

x

5 x

x^2 + 6

f)

2 − x

x − 3

x

Ejemplo b). Observemos que la inecuaci´on no tiene un miembro nulo como el ´ultimo

ejemplo desarrollado (7.b), por lo tanto podemos proceder de la siguiente manera para

obtener una inecuaci´on equivalente a la dada que s´ı tenga un miembro nulo.

Ante todo descartamos los valores que no pueden pertenecer al conjunto soluci´on, es decir,

debe ser x 6 = −1.

x + 3

x + 1

x + 3

x + 1

x + 3 − 2 x − 2

x + 1

−x + 1

x + 1

Aplicamos la regla de los signos para obtener el conjunto soluci´on:

sig

(−x+1)

(x+1)

sig(x + 1) ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

sig(−x + 1) ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Por lo tanto el conjunto soluci´on es S = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)

9. Encuentre el error en el siguiente procedimiento.

Sea a un n´umero real arbitrario, tal que a > 2 entonces:

a > 2

2 a > 4

2 a − a^2 > 4 − a^2

a(2 − a) > (2 − a)(2 + a)

a(2 − a)

2 − a

(2 − a)(2 + a)

2 − a

a > 2 + a

a − a > 2 + a − a

10. Plantee y resuelva los siguientes problemas.

a) Halle los valores de x para los cuales el ´area del cuadrado es mayor que la del

rect´angulo.