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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEM ATICAS´ DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MATEM ATICA´ MA2601 - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Gu´ıa de Ejercicios
- Pruebe que las siguientes funciones son de orden exponencial y encuentre sus transformadas de Laplace por definici´on: (a) f (t) = tnsenh(at). (b) f (t) = tet^ cos(t). (c) f (t) = e−tPab(t), con a ≤ b. (d) f (t) = tP 01 (t) + H(t − 1). (e) f (t) = (t + a)P−a 0 (t) + (a − t)P 0 a(t), con a > 0.
- Determine si existe una funci´on g : [0, ∞) → R de orden exponencial y continua por pedazos tal que L(g)(s) = (^) (s (^2) + 1)^11 / 4.
- La funci´on gamma Γ(x) se define como
Γ(x) =
0 e−ttx−^1 dt. (a) Verifique que la integral converge para todo x > 0. (b) Usando integraci´on por partes, pruebe que Γ(x + 1) = xΓ(x) para todo x > 0. (c) Deduzca que Γ(n + 1) = n! si n ∈ N. (d) Sea α > −1. Demuestre que L(tα)(s) = Γ( sαα^ + 1)+. (Hint: Hacer t = us en la integral que define la funci´on Γ).
- Suponga que f es continua por pedazos y de orden exponencial tal que f (0) = 0 y es soluci´on de la ecuaci´on integro-diferencial f ′(t) = sen(t) +
∫ (^) t 0 f (t − β) cos(β)dβ. Aplicando transformada de Laplace, determine la funci´on f.
- Sea a > 0, n ∈ N. Denotaremos por Ln = L(senn(at)). Queremos calcular Ln, para cada n ∈ N. (a) Calcular L 1 y L 2. (b) Pruebe que Ln = Ln− 2 − L(senn−^2 (at) cos^2 (at)) para cada n ≥ 3. (c) Muestre que L(senn−^2 (at) cos^2 (at))(s) = ( s
2 a^2 n(n − 1) +^
n − 1 )Ln, para cada n ≥ 3. (Hint: Integrar por partes identificando derivadas de senn−^1 (at) y senn(at)).
(d) Deduzca que Ln = a s^22 n+(na 2 −n1) 2 Ln− 2 si n ≥ 3 y escriba una f´ormula cerrada para Ln. (e) Encuentre una f´ormula de convoluci´on para senn(at) en funci´on de senn−^2 (at).
- Dada una funci´on y ∈ C([0, 1]), definimos su Transformada Mellin en s > 0 mediante:
M y =
0 xs−^1 y(x)dx, cuando este l´ımite exista. (a) Demuestre que M [1] = (^1) s y que M xay = M [y](s + a) para cada a ∈ R. (b) Suponga que para cada s > 0 la funci´on y satisface
xlim→ 0 +^ xsy(x) = 0. Demuestre que M [xy′] = −sM [y] + y(1). (c) Defina z(x) = ∫^ x^1 y( uu )du. Use la parte anterior para demostrar que M [z] = (^1) s M [y]. (d) Resuelva la siguiente EDO usando la transformada de Mellin y las propiedades de- mostradas en los puntos anteriores: x(xy′)′^ + 2xy′^ = 1, y(1) = 0, y′(1) = 0. (Hint: Puede asumir que si M [f ] = M [g] entonces f = g.)
- Sean n ∈ N \ { 0 } y ω 6 = 0. Use la transformada de Laplace para probar la igualdad: tn^ ∗ sen(ωt) = (^) n ω+ 1 tn+1^ ∗ cos(ωt). (Hint: Le puede ayudar el Teorema de Lerch.)
- Calcular, usando transformadas de Laplace, las siguientes integrales: (a) ∫^0 ∞^1 t (e−t^ − e−^3 t)dt. (b) ∫^0 ∞ e−t^2 dt. (c) ∫^0 ∞ t(1 − e−^ t^2 + e−^2 t) cos(t)dt.
- Usando transformada de Laplace encuentre una soluci´on no nula de los siguientes problemas de valor inicial: (a)
ty′′^ + (t − 1)y′^ + y = 0 y(0) = 0. (b)
y′′^ + ty′^ − 3 y = 0 y(0) = 0, y′(0) = 1. (c)
ty′′^ + 4y′^ + 9ty = cos(3t), t > 0 y(0) = 0, y′(0) = 1/ 4. (d)
ty′′^ − 2 y′^ + ty = f (t) y(0) = 0, y( π 2 ) = 0, con^ f^ (t) =
−sen(t), 0 ≤ t < π − cos(t), t ≥ π. (Hint: Recuerde que d dsn F (s) = (−1)nL(tnf (t))(s) donde F (s) = L(f )(s)).
- Calcule L−^1
[
arctan
s+
)]
- Determine L−^1
[ 1
(s^2 + k^2 )^2
]
usando la f´ormula de convoluci´on.
- Dada la funci´on f (t) = n, si (n + 1)α < t < nα, para n ≥ 1, siendo α un n´umero real positivo y no nulo, se pide: (a) Trazar su gr´afica y obtener para f (t) una f´ormula que la exprese como una serie cuyos t´erminos sean funciones de Heaviside. (b) Calcular la transformada de Laplace de f (t).
- Dada la funci´on
f (t) =
0 , si 4ka < t < (4k + 2)a, k ≥ 0 , a, si (4k + 2)a < t < 4(k + 1)a, k ≥ 0 , con a > 0, se pide: (a) Obtener su transformada de Laplace. (b) Resolver el problema de Cauchy { y′′^ − 2 y′^ + y = f (t)(H(t) − H(t − 3 a)), y(0) = y′(0) = 2.
