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Gu´ıa preparcial An´alisis Matem´atico I (CiBEx)
Ejercicios para practicar la Parte A
Ejercicio 1
Encontrar la derivada de cada una de las siguientes funciones. S´olo se requiere utilizar correcta- mente las reglas de derivaci´on. No hace falta simplificar posteriormente las expresiones ni calcular los dominios de derivabilidad.
a)
f (x) = (− 9 x^3 + 8)
6 x^7 +
x
b)
h(x) =
18 x^2 + 32x − 11 + x−^4
c)
g(x) =
8 x^10 − 7 x^2 − 15 x + 7
x
d)
h(x) = x−^9
2 + x^14 + 3x^6
e)
g(x) =
x^3
x
f)
f (x) =
x^2 3
− x^1 /^4
Ejercicio 2
Sea f (x) =
x^2 +2x− 8 x+4 si^ x <^ −^4 − 2 x+ 3 x+15 si^ x^ ≥ −^4 a) Determinar, usando la definici´on de continuidad, si la funci´on es continua en x = −4. En caso que no lo sea, indicar el tipo de discontinuidad que presenta. b) ¿Es f derivable en x = −4? Justificar. c) ¿Tiene la gr´afica de f alguna as´ıntota horizontal? Justificar. En caso que la respuesta sea afirmativa, hallar la o las ecuaciones de las rectas as´ıntotas.
Ejercicio 3
Considerar la funci´on f (x) =
5 − (^) x+2^3 si x < − 1 4 si x = − 1 −x^2 + 2x + 5 si x > − 1 a) Estudiar, usando la definici´on, la continuidad de f (x) en x = −1. En caso de ser discontinua en x = −1, indicar qu´e tipo de discontinuidad presenta (evitable o inevitable). b) ¿La funci´on f es derivable en x = −1? ¿Por qu´e? c) Hallar, usando la definici´on de derivada, f ′(2). d) Encontrar la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto de abscisa x 0 = 2.
Ejercicio 4
Sea f (x) =
3 x^2 +7x+ x^3 − 4 x si^ x^ ̸=^ −^2 5 si x = − 2
a) Determinar, usando la definici´on de continuidad, si la funci´on es continua en x = −2. En caso que no lo sea, indicar el tipo de discontinuidad que presenta. b) ¿Es f derivable en x = −2? Justificar. c) Estudiar si f tiene as´ıntota horizontal para x → +∞. En caso que la respuesta sea afirmativa, hallar la ecuaci´on de la recta as´ıntota.
Ejercicio 5
Considerar la funci´on g(x) = (^) x+3x. a) Calcular, usando la definici´on de derivada, g′(1). b) Calcular, usando reglas de derivaci´on, g′(1). c) Determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en x = 1.
Ejercicio 6
Considerar la funci´on g(x) = (2x
(^2) − 12 x+18)(x+2) 7 x− 21. a) Encontrar el Dom(g). b) Hallar l´ımx→ 3 g(x) y l´ımx→ 1 + g(x). c) ¿Son x = 3, x = −1 y x = 12 valores cr´ıticos de g? ¿Por qu´e?
Ejercicio 7
Considerar la funci´on f (x) = 2x^2 − x + 1. a) Calcular, usando la definici´on de derivada, f ′(2). b) Determinar la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en x = 2.
Ejercicio 8
Considerar la funci´on g(x) cuya gr´afica se presenta a continuaci´on:
Calcular, en caso que exista, los siguientes valores. En el caso que no existe, explicar por qu´e. Justificar apropiadamente.
a) Hallar, si existe: g(1), g(5), g(2), l´ımx→ 2 g(x) y l´ımx→ 5 g(x). En el caso de que alguno no exista, explicar por qu´e. b) Determinar todos los valores cr´ıticos de g.
Ejercicios para practicar la Parte B
Ejercicio 1
Considerar la funci´on f (x) = 2(x^2 − 7)^4. a) Indicar para qu´e valor de x, la funci´on f (x) alcanza un m´aximo absoluto en el intervalo [− 1 , 3]. b) ¿Puede afirmarse que f(x) alcanza un valor m´ınimo absoluto en el mismo intervalo? En caso afirmativo, ¿en qu´e valor de x se alcanza?
Ejercicio 2
Considerar la funci´on f (x) = x^2 + 2 + (^) x^3. Determinar si f tiene un valor m´aximo absoluto y un valor m´ınimo absoluto en el intervalo [1, 5]. En caso afirmativo, encontrar el valor m´aximo absoluto y el valor m´ınimo absoluto; adem´as, los valores de x en los que se alcanzan. Justificar el procedimiento utilizado.
Ejercicio 3
Determinar, en cada caso, si la afirmaci´on es verdadera o falsa. Explicar la respuesta apropiada- mente. a) La ecuaci´on 5x − 3 = x^5 − x + (^) x^3 tiene al menos una soluci´on en el intervalo [− 2 , −1]. b) Si l´ımx→+∞ f (x) = 0 entonces l´ımx→+∞ f (x)x^2 = 0. c) Si f ′′(x) es positiva en el intervalo (− 3 , 2) entonces f (x) es creciente en el intervalo (− 3 , 2). d) Si f es una funci´on derivable en el intervalo (− 1 , 3) y f ′(0) = 0 entonces en x = 0 tiene un m´ınimo relativo. e) La ecuaci´on x^5 − 8 = 3x tiene al menos una soluci´on en el intervalo [0, 2]. f) Si f ′(x) es positiva en un intervalo entonces f (x) es c´oncava hacia arriba en ese intervalo.
Ejercicio 4
Considerar una funci´on f (x) cuyo dominio es Dom(f) = R y de la que se conoce adem´as que
l´ım x→− 2 f (x) = 0 l´ım x→ 1 +^
f (x) = 3 f (0) = − 4
No tiene m´aximo absoluto El m´ınimo absoluto lo alcanza en x = 0 En x = −2 tiene una discontinuidad evitable En x = 1 tiene una discontinuidad inevitable f ′(x) < 0 en (−∞, −2) ∪ (− 2 , 0) f ′(x) > 0 en (0, 1) ∪ (1, +∞) f ′′(x) < 0 en (3, +∞) f ′′(x) > 0 en (−∞, −2) ∪ (− 2 , 1) ∪ (1, 3)
a) Realizar la gr´afica de f teniendo en cuenta toda la informaci´on suministrada. b) ¿Cu´al es el valor m´ınimo absoluto de f? c) ¿Tiene f alg´un punto de inflexi´on? Justificar.
Ejercicio 5
Considerando la funci´on f (x) = 6 x
(^3) + x a) Indicar su dominio natural. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´on f (x). c) Determinar los intervalos de concavidad de la funci´on f (x). d) ¿Tiene m´aximos o m´ınimos relativos? En caso afirmativo, dar el valor o los valores m´aximos y m´ınimos relativos de la funci´on y d´onde se alcanzan.
Ejercicio 6
Considerar la funci´on f (x) = x
2 x+1 : a) Determinar su dominio natural. b) Determinar sus comportamientos asint´oticos. Dar las ecuaciones de las rectas as´ıntotas en el caso que existan. c) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Determinar, en el caso que existan, sus valores m´aximos y m´ınimos relativos. Indicar los x en los que se alcanzan. e) Determinar sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexi´on, en el caso que existan.
Ejercicio 7
Considerar la funci´on f (x) = x^2 + (^16) x. a) Determinar su dominio natural. b) Determinar sus comportamientos asint´oticos. c) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Determinar, en el caso que existan, sus valores m´aximos y m´ınimos relativos. Indicar los x en los que se alcanzan. e) Determinar sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexi´on, en el caso que existan.
Ejercicio 8
Considere los siguientes datos
F (en Newton) a(en m/s^2 ) 3 10 5 20 6 30
donde F denota la fuerza ejercida sobre un bloque de madera medida en Newton (kg m/s^2 ) y a es la aceleraci´on (medida en m/s^2 ). a) Escribir la f´ormula del ECM(k) que mide el error cuadr´atico medio (ECM) asociado al modelo lineal de la forma
F = k · a
para los datos recopilados en la tabla. b) Explicar en palabras c´omo har´ıa (y por qu´e) para determinar, a partir de ECM(k), el modelo lineal que mejor ajuste los datos seg´un el criterio del error cuadr´atico medio. c) Hallar el modelo lineal de la forma F = k · a que mejor ajuste los datos seg´un el criterio del error cuadr´atico medio.
