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1. Matrices y determinantes
1.1 Notaci´on y definiciones
Definici´on 1.1 [Matriz] Una matriz es una tabla de m×n elementos dispuestos en m filas y n columnas.
Se suelen representar por letras may´usculas A, B,.. ., etc. y a sus elementos de la forma aij donde el primer sub´ındice indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece dicho elemento. As´ı pues, una matriz A = (aij ) con 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n es de la forma:
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ... ... am 1 am 2 · · · amn
Definici´on 1.2 [Orden de una matriz] Una matriz de m filas y n columnas se dice que tiene dimensi´on o que es de orden m×n, y al conjunto de todas las matrices de orden m×n lo denotaremos por Rm×n^ (en el supuesto de que los elementos de la matriz A sean elementos de R). Dos matrices A, B ∈ Rm×n^ se dice que son equidimensionales.
Dos matrices A, B ∈ Rm×n, se dice que son iguales si: aij = bij ∀ i = 1, 2 ,... , m y ∀ j = 1, 2 ,... , n
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8 Matrices y determinantes
Definici´on 1.3 [Matrices fila y columna]
Se denomina matriz fila a aquella que consta de una ´unica fila.
A = (a 1 a 2 · · · an) ∈ R^1 ×n
De igual manera, se denomina matriz columna a aquella que consta de una ´unica columna.
A =
a 1 a 2 ... an
∈ Rn×^1
Definici´on 1.4 [Matriz cuadrada]
Se denomina matriz cuadrada de orden n a aquella que tiene n filas y n co- lumnas.
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ...... ... an 1 an 2 · · · ann
A ∈ Rn×n
Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos aii i = 1, 2 ,... , n.
a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ...... ... an 1 an 2 · · · ann
Definici´on 1.5 [Matrices diagonales, escalares y unidad]
Se denomina matriz diagonal a aquella matriz cuadrada cuyos elementos no diagonales son todos nulos. Es decir aij = 0 si i 6 = j
D =
a 11 0 · · · 0 0 a 22 · · · 0 ... ...... ... 0 0 · · · ann
10 Matrices y determinantes
En caso de tratarse de una matriz cuadrada se tendr´ıa una triangular superior.
a 11 a 12 a 13 · · · a 1 m− 1 · · · a 1 n 0 a 22 a 23 · · · a 2 m− 1 · · · a 2 n 0 0 a 33 · · · a 3 m− 1 · · · a 3 n ... ... ...... ... 0 0 0 · · · amm · · · amn
a 11 a 12 a 13 · · · a 1 n 0 a 22 a 23 · · · a 2 n 0 0 a 33 · · · a 3 n ... ... ...... ... 0 0 0 · · · ann 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 0 · · · 0
1.2 Aritm´etica de matrices
- Suma de matrices Sean A, B ∈ Rm×n, se denomina matriz suma de A y B, y se denota por C = A + B, a la matriz C ∈ Rm×n^ tal que cij = aij + bij i = 1,... , m j = 1,... , n.
Propiedades
- Asociativa: ∀ A, B, C ∈ Rm×n^ =⇒ (A + B) + C = A + (B + C).
- Conmutativa: ∀ A, B ∈ Rm×n^ =⇒ A + B = B + A.
- Elemento neutro: Existe la matriz 0 ∈ Rm×n^ denominada matriz nula y cuyos elementos son todos nulos, tal que ∀ A ∈ Rm×n^ =⇒ A + 0 = 0 + A = A.
- Elemento opuesto: Para cualquier matriz A ∈ Rm×n^ existe la matriz −A ∈ Rm×n^ denominada matriz opuesta y cuyos elementos son los opuestos de los elementos de la matriz A tal que A + (−A) = −A + A = 0 Por tanto, (Rm×n, +) es un grupo conmutativo.
Aritm´etica de matrices 11
- Producto por un escalar Sean A ∈ Rm×n^ y α ∈ R, se define producto por un escalar de α por A a la matriz Rm×n^ tal que sus elementos son los de A multiplicados por α. Se denota por αA. αA = α(aij ) = (αaij ) (^1) ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n Propiedades - Asociativa: ∀ α, β ∈ R y ∀ A ∈ Rm×n^ =⇒ α(βA) = (αβ)A. - Distributivas:
∀ α, β ∈ R y ∀ A ∈ Rm×n^ =⇒ (α + β)A = αA + βA. ∀α ∈ R y ∀ A, B ∈ Rm×n^ =⇒ α(A + B) = αA + αB.
- Elemento unidad: ∀ A ∈ Rm×n^ =⇒ 1 · A = A. Por tanto, (Rm×n, +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los n´umeros reales. Para matrices complejas, (Cm×n, +, ·) ser´ıa un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los n´umeros complejos.
- Producto de matrices Si A ∈ Rm×n^ y B ∈ Rn×p^ (n´umero de columnas de A igual al n´umero de filas de B), se define la matriz producto de A por B como la matriz C ∈ Rm×p^ tal que:
cij =
∑^ n k=
aikbkj 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ p
Propiedades:
- Asociativa: A ∈ Rm×n^ B ∈ Rn×p^ C ∈ Rp×q^ =⇒ (AB)C = A(BC)
- Distributiva: A ∈ Rm×n^ B, C ∈ Rn×p^ =⇒ A(B + C) = AB + AC
Transformaciones elementales. 13
Definici´on 1.8 [Matriz antisim´etrica]
Una matriz cuadrada A se dice que es antisim´etrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. (Los elementos sim´etricos respecto de la diagonal principal son opuestos y su diagonal es de ceros).
A antisim´etrica ⇐⇒ A = −AT
Definici´on 1.9 [Matriz ortogonal]
Una matriz cuadrada y no singular se dice ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa, es decir, si AT^ = A−^1 o lo que es lo mismo:
A ortogonal ⇐⇒ AAT^ = AT^ A = In
Definici´on 1.10 [Traza de una matriz]
Se define la traza de A y se denota por tr A como la suma de los elementos de su diagonal principal.
tr A =
∑^ n i=
aii
Propiedades de la traza de una matriz
- tr (A + B) = tr A + tr B.
- tr (αA) = α tr A.
1.3 Transformaciones elementales.
Se denominan transformaciones elementales a ciertas transformaciones que se realizan en una matriz y que nos ser´an de gran utilidad en la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales as´ı como en otras operaciones con matrices que estudiaremos en temas posteriores. Estas transformaciones modifican, de determinadas formas, los elementos de una fila o una columna de la matriz o intercambian dos filas o columnas de esta. Las clasificaremos en dos grupos:
- Transformaciones elementales fila.
- Transformaciones elementales columna.
14 Matrices y determinantes
1.3.1 Transformaciones elementales fila.
- Transformaciones Fij Intercambian las filas i y j de una matriz A ∈ Rm×n. Este efecto se produce al multiplicar, por la izquierda, la matriz A por la matriz Fij , siendo esta el resultado de intercambiar las filas i y j de la matriz Im.
Ejemplo 1.1 Consideremos la matriz
A =
^24 12 31
Para intercambiar las filas 2a^ y 3a^ aplicamos F 23 cuya matriz es
F 23 =
(en I 3 se han permutado las filas segunda y tercera).
F 23 A =
^10 00
^24 12 31
^21 10 32
observ´andose que han quedado permutadas las filas segunda y tercera de la matriz A.
- Transformaciones Fi(α) Multiplican la fila i de una matriz A ∈ Rm×n^ por un n´umero α 6 = 0. Este efecto se produce al multiplicar, por la izquierda, la matriz A por la matriz Fi(α), siendo esta el resultado de multiplicar por α la fila i de la matriz Im.
Ejemplo 1.2 Para multiplicar por 3 la segunda fila de A (v´ease el Ejem-
plo 1.1), aplicamos F 2 (3) cuya matriz asociada es F 2 (3) =
^10 03
16 Matrices y determinantes
Ejemplo 1.4 Si deseamos intercambiar las columnas primera y cuarta de la matriz A (v´ease el Ejemplo 1.1), aplicamos C 14 cuya matriz asociada
es C 14 =
(se han permutado las columnas 1 y 4 de la
matriz I 4 ).
AC 14 =
^24 12 31
^45 12 31
Se han permutado las columnas 1 y 4 de la matriz A.
- Transformaciones Ci(α) Multiplican la columna i de una matriz A ∈ Rm×n^ por un n´umero α 6 = 0. Este efecto se produce al multiplicar, por la derecha, la matriz A por la matriz Ci(α), siendo esta el resultado de multiplicar por α la columna i de la matriz In.
Ejemplo 1.5 Para multiplicar por 2 la tercera columna de la matriz A (v´ease el Ejemplo 1.1) aplicamos C 3 (2), cuya matriz asociada es
C 3 (2) =
(se ha multiplicado por 2 la tercera columna
de I 4 ).
AC 3 (2) =
^24 12 31
^24 12 62
habiendo quedado multiplicada por 2 la tercera columna de la matriz original A
Algoritmo de Gauss-Jordan. 17
- Transformaciones Cij (α) Suman a la columna i de una matriz A ∈ Rm×n^ su columna j multipli- cada por α 6 = 0. Este efecto se produce al multiplicar, por la derecha, la matriz A por la matriz Cij (α), siendo esta la resultante de sumar a la columna i de la matriz In su columna j multiplicada por α, es decir, la matriz resultante de sustituir elemento iji = 0 por α.
Ejemplo 1.6 Para sumar a la tercera columna de A (v´ease el Ejem- plo 1.1) el doble de la primera aplicamos C 31 (2) cuya matriz asociada es
C 31 (2) =
(se ha sustituido el elemento i 13 de la matriz
I 4 por 2).
AC 31 (2) =
^24 12 31
^24 12 79
donde puede observarse que se ha producido en A el efecto deseado.
1.4 Algoritmo de Gauss-Jordan.
Teorema 1.1 Dada una matriz cualquiera A ∈ Rm×n^ existen matrices F y U tales que F A = U siendo U una matriz escalonada.
Demostraci´on. Probaremos el teorema de forma constructiva.
- Comencemos por anular todos los elementos ai 1 con 1 < i ≤ n.
- Si a 11 6 = 0, mediante transformaciones elementales filas Fij (α) po- demos anular todos los elementos de la primera columna situados por debajo de ´el. Estas transformaciones ser´ıan de la forma Fi 1 (− (^) aa 11 i^1 ).
Algoritmo de Gauss-Jordan. 19
Definici´on 1.11 [Matriz escalonada can´onica]
Se denomina matriz escalonada can´onica a una matriz escalonada con la pro- piedad de que el primer elemento no nulo de una fila es un uno y adem´as, es el ´unico elemento no nulo de su columna.
Teorema 1.2 Toda matriz puede ser reducida mediante transformaciones ele- mentales fila a una escalonada can´onica.
Demostraci´on. Basta con observar que una vez obtenida la matriz U , si en una fila hay alg´un elemento no nulo, la dividimos por el primer elemento no nulo de ella mediante Fi(α) y lo utilizamos para hacer ceros todos los de su columna (que se encontrar´an por encima de ´el).
Ejemplo 1.8 En el Ejemplo 1.7 se vi´o que
A −→ U =
^20 − 1 /^12 1 /^32
F −→^1 (^12 )
^1
0 −^1 / 2 1 / 2 1
F −→ 2 (−2)
F^12 −→(−^12 )
F^3 −→(−^15 )
F 13 −→(−2)
^1 0
F −→ 23 (1)
^1 0
0 1 0 −^7 / 5
que se trata de una escalonada can´onica.
Los elementos que utilizamos para anular a los dem´as elementos de una co- lumna se denominan pivotes. Si en un determinado paso del proceso de pasar de A a U alguna columna es de ceros, diremos que el correspondiente pivote es nulo.
Teorema 1.3 Toda matriz A ∈ Rm×n^ puede, mediante transformaciones ele-
mentales, transformarse en una del tipo
Ir 0 0 0
teniendo en cuenta que
para ello es necesario realizar tanto transformaciones fila como transforma- ciones columna.
20 Matrices y determinantes
Ejemplo 1.9 Si nos fijamos en la matriz del Ejemplo 1.7 que transformamos, mediante transformaciones elementales fila (ver Ejercicio 1.8) en la escalonada can´onica (^)
^1 0
0 1 0 −^7 / 5
podemos ahora, mediante la composici´on de las transformaciones columna
C 31 (−^95 )C 32 (^75 )C 33 (−^35 ) llevarla a
^10 01 00
=^ ( I 3 | 0 ).
Teorema 1.4 Una condici´on necesaria y suficiente para que una matriz cua- drada posea inversa es que su forma escalonada can´onica sea la matriz unidad.
Demostraci´on. Si su forma escalonada can´onica es In, existe F ∈ Rn×n^ tal que F A = In =⇒ F = A−^1. Si existe A−^1 tal que A−^1 A = In =⇒ ∃ F = A−^1 tal que F A = In y por tanto, In es la forma escalonada can´onica de A.
Algoritmo de Gauss-Jordan
Este teorema nos permite calcular la matriz inversa, de una matriz dada, mediante transformaciones elementales (filas o columnas, pero no ambas si- mult´aneamente).
El organigrama de la Figura 1.1, muestra el algoritmo de escalonamiento de una matriz A ∈ Rm×n, mediante transformaciones elementales filas. Cuando se alcanza la condici´on de parada, la nueva matriz A es una matriz escalonada.
Ejemplo 1.10 Consideremos la matriz A =
^10 31
(I 3 | A) =
^10 01 00 10 31
F 31 −→(−1)
^10 01 00 10 31
F 12 −→(−3)
22 Matrices y determinantes
1.5 Determinante de una matriz cuadrada.
Los determinantes nos proporcionan un m´etodo para el c´alculo de la matriz inversa de una dada (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son m´ultiples en todas las ramas de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes.
A cada matriz cuadrada A = (aij ) 1 ≤ i, j ≤ n se le asigna un n´umero real que llamaremos determinante de A y representaremos por det A o |A|.
Definici´on 1.12 [Submatrices y menores de una matriz]
Una submatriz de una matriz A es la matriz resultante de eliminar en A de- terminadas filas y/o columnas. Un menor de una matriz A es el determinante de una submatriz cuadrada.
Definici´on 1.13 [Menor complementario y Adjunto de aij ]
Se denomina menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada, y se denota por αij , al determinante de la submatriz obtenida al eliminar en A la fila i y la columna j. Se denomina adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada, y lo denotare- mos por Aij a Aij = (−1)i+j^ αij
F´ormula recurrente para el c´alculo de un determinante
El c´alculo del determinante de una matriz cuadrada A puede ser realizado mediante la siguiente f´ormula recurrente sobre el tama˜no n:
- para n = 1 → A = (a 11 ), se define det(A) = a 11
- para n > 1 → det(A) =
∑^ n i=
akiAki para cualquier k fijo con 1 ≤ k ≤ n
Obs´ervese que mediante esta f´ormula recurrente, el c´alculo de un determinante de una matriz de orden n se traslada al c´alculo de n determinantes de otras tantas matrices de orden n − 1, los menores complementarios de todos los elementos de la fila k-´esima.
Determinante de una matriz cuadrada. 23
Ejemplo 1.11 [Caso n = 2]
Sea A una matriz cuadrada de orden 2:
A =
a 11 a 12 a 21 a 22
=⇒ det A = a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo 1.12 [Caso n = 3]
Sea A una matriz cuadrada de orden 3: A =
^ a a^1121 aa^1222 aa^1323 a 31 a 32 a 33
det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32
Regla de Sarrus
Una forma nemot´ecnica para el desarrollo de un determinante de orden 3 consiste en repetir bajo la fila tercera las filas primera y segunda de la matriz. Los productos de las tres diagonales resultantes en el sentido de la diagonal principal resultan ser los tres t´erminos positivos del determinante, mientras que los productos de las diagonales en sentido contrario resultan ser los t´erminos negativos del determinante.
T´erminos positivos a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 → a 11 a 22 a 33 a 11 a 12 a 13 → a 21 a 32 a 13 a 21 a 22 a 23 → a 31 a 12 a 23
T´erminos negativos a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 13 a 22 a 31 ← a 31 a 32 a 33 a 23 a 32 a 11 ← a 11 a 12 a 13 a 33 a 12 a 21 ← a 21 a 22 a 23
1.5.1 Propiedades de los determinantes
1.- El valor de det A no depende de la fila k elegida. 2.- det AT^ = det A.
