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CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y COLISIONES:
Si una fuerza a causa de la partícula 1 (por ejemplo, una fuerza
gravitacional) actúa sobre la partícula 2, debe haber una segunda fuerza,
igual en magnitud, pero opuesta en dirección, que la partícula 2 ejerce
sobre la partícula 1. Es decir, las fuerzas en las partículas forman un par
acción–reacción de la tercera ley de Newton, y F 12 = - F 21. Así:
F
12
+F
21
Como la derivada es cero la suma debe ser constante, lo que implica que se conserva.
La cantidad de movimiento lineal es una cantidad vectorial porque es igual al producto de una
cantidad escalar m y una cantidad vectorial V a
. Su dirección es a lo largo de V a
, tiene dimensiones
ML/T y su unidad del SI es kg · m/s.
Esta ecuación muestra que la relación de cambio con el tiempo de la cantidad de
movimiento lineal de una partícula es igual a la fuerza neta que actúa sobre la partícula.
La cantidad de movimiento de un sistema de partículas, permanece constante.
Invariante de cantidad de movimiento y se
cumple, sea el sistema conservativo o no.
Cantidad de movimiento inicial = Cantidad de movimiento final
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
Un cambio en las condiciones de movimiento de una partícula se produce por acción de
una fuerza. Utilizando el cambio en la cantidad de movimiento. Así; De acuerdo con la
segunda ley de Newton,
Nota: cuando se realiza una integración, los límites de ésta corresponden a los usados en el diferencial; y no
tienen que ser iguales a los límites del otro miembro de la ecuación
∫ 𝑑𝑷
𝑃𝑓
𝑃𝑖
= ∫ ∑ 𝑭𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
Al integrar la ecuación se produce:
El impulso se define como un vector, que es resultante de la acción de una fuerza sobre un
objeto determinado, un intervalo de tiempo.
TEOREMA IMPULSO–CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
Ejercicio:
En una prueba de choque, un automóvil de 1 500 kg de masa choca con una pared. Las
velocidades inicial y final del automóvil son: - 15 i m/s y 2.60 i m/s, respectivamente. Si la
colisión dura 0.150 seg. encuentre el impulso causado por la colisión y la fuerza promedio
ejercida en el automóvil.
Colisiones elásticas:
Pi = Pf
Ei = Ef
Llevando términos en m 1
al primer miembro de la ecuación y, m 2
al segundo, tendremos:
Factorizando
Ecuación A
De la ecuación de cantidad de movimiento inicial, al agrupar términos en m 1
a la izquierda
y, en m 2
a la derecha, se tiene:
Ecuación B
Al dividir la ecuación A entre la ecuación B, se tiene:
Usando la ecuación inicial, en conjunto con la que se acaba de obtener, se tiene:
Sí se conocen las velocidades iniciales de ambas partículas, se pueden obtener las finales,
así:
Problema:
A un automóvil de 1 800 kg detenido en un semáforo lo golpea por la parte trasera un
automóvil de 900 kg. Los dos autos quedan unidos y se mueven a lo largo de la misma
trayectoria que la del automóvil en movimiento. Si el auto más pequeño se movía a 20.
m/s antes de la colisión, ¿cuál es la velocidad de los automóviles unidos después de la
colisión?
Hay conservación de la cantidad de movimiento 𝑃𝑖
M
1
V
1i
+M
2
V
2i
= M
1
V
1f
+M
2
V
2f
M
1
= 1800 Kg M 2
= 900 Kg, V 1i
=0 m/s i , V 2i
= 20 m/s i
M
1
V
1i
+M
2
V
2i
= M
1
V
1f
+M
2
V
2f
Las velocidades finales son las mismas.
900 kg. (20 m/s i) = (1800 kg + 900 kg ) V 2f
V
2f
= (900/2700). 20 m/s i = 6.67 m/s i
¿Qué fracción de la energía total del sistema se conserva?
2
2
2
2
2
2
Problema:
El péndulo balístico es un aparato que se usa para medir la rapidez de un proyectil que se
mueve rápidamente, como una bala. Un proyectil de masa m 1
se dispara hacia un gran
bloque de madera de masa m 2
suspendido de unos alambres ligeros. El proyectil se incrusta
en el bloque y todo el sistema se balancea hasta una altura h. ¿Cómo se determina la rapidez
del proyectil a partir de una medición de h?
COLISIONES EN DOS DIMENSIONES:
Pix = Pfx y, además Piy =Pfy
Sí la masa 2 está inicialmente en reposo: Componentes en ejes X e Y respectivamente:
𝑬𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝑬𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 + 𝑷é𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂𝒔
Se supone que el choque es elástico.
Colisión en un cruce:
Un automóvil de 1 500 kg, que viaja al este( i ) con una rapidez de 25.0 m/s, choca en un cruce con
una camioneta de 2 500 kg j que viaja al norte con una rapidez de 20.0 m/s, como se muestra en la
figura. Encuentre la dirección y magnitud de la velocidad del choque (par de autos unidos) después
de la colisión, y suponga que los vehículos quedan unidos después de la colisión.
(E
k
+ E
k
i
= (E
k
+ E
k
f
+ Pérdidas
𝟐
𝟐
𝟐
Ejercicio: Un sistema consiste de tres partículas ubicadas como se muestra en la figura. Encuentre el
centro de masa del sistema.
Mk= k kilogramos
m1+m2+m3= 6 kg
X cm= {1 kg.1 m +2 kg (2m)+3 kg(0 m)}/(6 kg) =5 kg m/6 kg
X cm = 0.83 mt
Y cm= {1 kg. 0 m +2 kg ( 0 m)+3 kg( 2 m)}/(6 kg total) = 1 m
R
cm
= (0.83 m, 1 m) punto donde se encuentra toda la masa
del sistema (hipotético), sirve para análisis físicos.
Problema:
A) Demuestre que el centro de masa de una barra de masa M y longitud L se encuentra
equidistante de sus extremos, si supone que la barra tiene una masa uniforme por unidad de
longitud.
(M/L) = (dm/dx) = 𝝀 (masa por unidad de longitud uniforme)
dm = 𝝀 dx
Es necesario tomar un índice que nos indica la distribución de la masa en el volumen del objeto. Así
en esta cinta, no hay distribución conocida en los planos Y y Z; por lo que la distribución pasa de ser
voluminar ( R
3
) a lineal R.
de donde dm = λ dx
B) Suponga que la barra no es uniforme , tal que su masa por unidad de longitud varia linealmente
con x de acuerdo con la expresión λ = ∝ x , donde ∝ es una constante. Encuentre la coordenada
x del centro de masa como fracción de L.
Ejemplo:
Se le pide colgar una señal metálica de un alambre vertical. La señal tiene la forma triangular que se
muestra en la figura. La parte baja de la señal es paralela al suelo. ¿A qué distancia del extremo
izquierdo de la señal se debe unir el alambre de soporte?
MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS :
Multiplicando la ecuación por M
Debido a eso, la cantidad de movimiento lineal total del sistema es igual a la masa total
multiplicada por la velocidad del centro de masa. En otras palabras, la cantidad de
movimiento lineal total del sistema es igual a la de una sola partícula de masa M que se
mueve con una velocidad V cm
La aceleración del centro de masa del sistema, se obtiene derivando la ecuación de
velocidad del centro de masa:
Que, al reordenarse, se obtiene:
En la sumatoria están presentes todos los pares de fuerzas de acción y reacción que actúan
entre las partículas. De tal manera que en la sumatoria final de fuerzas solo quedan
presentes las fuerzas externas. Así:
Al integrar la ecuación en un intervalo de tiempo finito se obtiene:
𝑀∆𝑉𝑐𝑚= M(Vcmf-Vcmi)
Sí, además la sumatoria de fuerzas externas sobre el sistema es cero, se sigue:
El cohete que explota:
Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba (j). En el instante en que llega a una altura de 1 000
m y una rapidez de 300 m/s, explota en tres fragmentos que tienen igual masa. Un fragmento se
mueve hacia arriba con una rapidez de 450 m/s después de la explosión. El segundo fragmento tiene
una rapidez de 240 m/s y se mueve al este justo después de la explosión. ¿Cuál es la velocidad del
tercer fragmento inmediatamente después de la explosión?
Resolver:
- Una pelota de tenis de 57.0 g de masa se sostiene justo arriba de un balón de basquetbol
de 590 g de masa. Con sus centros verticalmente alineados, ambos se liberan desde el
reposo en el mismo momento, para caer una distancia de 1.20 m, como se muestra en
la figura. a) Encuentre la magnitud de la velocidad hacia abajo con la que el balón llega
al suelo. Suponga una colisión elástica (conservación Energía) con el suelo que
instantáneamente invierte la velocidad del balón mientras la pelota de tenis aún se
mueve hacia abajo. A continuación, las dos bolas se encuentran en una colisión elástica.
b) ¿A qué altura rebota la pelota de tenis?
Igualando las ecuaciones de energía se tiene:
2
2
2
2
2
2
Ecuación 2
El sistema formado por las ecuaciones 1 y 2, tiene como incógnitas las velocidades finales
VF y Vf. Los demás valores son conocidos. La solución final será:
Lo que se ve como el machacado de la bola grande entre el piso y la bola pequeña. La
consecuencia inmediata es que la bola pequeña vuelve a la altura inicial de la que fue
soltada.
- Dos discos de juego de tejo, de igual masa, uno anaranjado y el otro amarillo, están
involucrados en una colisión oblicua elástica. El disco amarillo inicialmente está en
reposo y es golpeado por el disco anaranjado que se mueve con rapidez Vi. Después de
la colisión, el disco anaranjado se mueve a lo largo de una dirección que forma un ángulo
∅ con su dirección de movimiento inicial. Las velocidades de los dos discos son
perpendiculares después de la colisión. Determine la rapidez final de cada disco.
𝑓 + pérdidas
2
2
2
2
2
2
∅ 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋
En la dirección i, tendremos:
En la dirección y, tendremos:
- Un bloque pequeño de masa M 1
= 0.5 kg se libera desde el reposo en lo alto de una cuña
sin fricción con forma curva, de masa M 2
= 3.00 kg, la cual se apoya sobre una superficie
horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. Cuando el bloque deja la cuña, se
mide su velocidad de 4.00 m/s hacia la derecha, como se muestra en la figura. a) ¿Cuál
es la velocidad de la cuña después de que el bloque llega a la superficie horizontal? b)
¿Cuál es la altura h de la cuña?
2
2
Igualando m
1
gh = (m
1
V
f
2
+ m
2
V
f
2
De allí que se forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
- Se dispara una bala de masa m hacia un bloque de masa M inicialmente en reposo en el
borde de una mesa sin fricción de altura h. La bala permanece en el bloque y, después
de impactar el bloque, aterriza a una distancia d desde la parte más baja de la mesa.
Determine la rapidez inicial de la bala.
ROTACIÓN DE UN OBJETO RÍGIDO EN TORNO A UN EJE FIJO:
Especifique su eje:
Al resolver problemas de rotación, se debe especificar
un eje de rotación. Esta nueva característica no existe
en el estudio del movimiento traslacional. La elección
es arbitraria, pero una vez que la hace, debe
mantenerse dicha elección, sin cambiar en todo el
problema. En algunos problemas, la situación física
sugiere un eje natural, como el centro de la rueda de
un automóvil. En otros problemas, puede no haber
una opción obvia, y debe ejercitarse el juicio del
ejecutante.
𝑆(𝑚𝑡)
𝑟(𝑚𝑡)
EJEMPLO:
Cuatro esferas pequeñas se amarran a los extremos de dos barras con masa despreciable
que yacen en el plano xy. Se supondrá que los radios de las esferas son pequeños en
comparación con las dimensiones de las barras.
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛
A) Si el sistema da vueltas en torno al eje y con una rapidez angular 𝜔, encuentre el
momento de inercia y la energía cinética rotacional del sistema en torno a este eje.
