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Tipo: Ejercicios
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Universidad Autónoma del Estado del Estado de México
Facultad de Economía
Proyecto Colaborativo.
Cálculo Integral.
Licenciado en Economía: José Hernández Galeana
Campos Amparo Jeremy Israel
Cuenca Acevedo Carlos
Gonzales Cristóbal Aiton Leonardo
Neri Reyes Ximena
Segundo Semestre
Grupo: E
Programa de Cálculo integral
1.1. Concepto de diferencial.
1.2. Incremento de una función.
1.3. Errores de aproximación.
1.4. Aplicaciones de las diferenciales.
2.1. La antiderivada.
2.2. Concepto de integral indefinida.
2.2.1. Significado geométrico de la constante de integración.
2.2.2. Integración directa.
2.3. Técnicas de integración.
2.3.1. Integración por cambio de variable.
2.3.2. Integración por partes.
2.3.3. Integración de potencias de funciones trigonométricas y de funciones parciales.
2.4. Integrales impropias.
3.1. Concepto de integral definida.
3.2. Sumas de Riemann.
3.3. Teorema fundamental del cálculo.
3.4. Propiedades de la integral definida.
3.5. Área bajo una curva.
3.6. Área entre curvas.
4.1. Integrales en el aspecto económico – administrativo.
4.2. Ingreso total.
4.3. Utilidad total.
4.4. Excedente del consumidor.
4.5. Excedente del productor.
4.6. Excedente total.
4.7. Gráficas de caso.
Rango:
𝑓
Sistema de números reales:
Funciones:
❖ Polineales (polinomiales)
➢ Funciones constantes.
➢ Funciones lineales.
➢ Funciones cuadradas.
➢ Funciones cubicas.
➢ Funciones cuarticas.
➢ Funciones quinticas.
➢ Funciones polinomiales.
❖ Racionales:
❖ No algebraicas:
➢ Función exponencial.
➢ Función logarítmica.
➢ Función trigonométrica.
Funciones de salto o hueco.
Algebraicas
⇔ n exponente.
Función polineal.
Función polineal.
Funciones exponenciales.
Funciones logarítmicas.
Funciones trigonométricas.
Ejemplo de diferenciales:
𝑥
𝑥
𝑛
𝑛− 1
− 1
Determine el diferencial de la variable dependiente y, dadas las funciones siguientes:
Derivada:
Diferencial:
2
Derivada:
Diferencial:
2
Derivada:
Diferencial:
2
3
6
𝑥
Derivada:
−
1
3
− 2
3
2
Diferencial:
3
2
5
Derivada:
4
𝑥
4
4
Diferencial:
4
3 𝑥
8 𝑥+ 1
Derivada:
2
2
2
Diferencial:
2
𝑥
2
Derivada:
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
2
Diferencial:
3
( 𝑥
2
− 1
)
Derivada:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Diferencial:
2
2
2
2
6
√
( 6 𝑥+ 2 )
−
1
2
Derivada:
𝑥
−
1
2
]
−
3
2 [𝐷
𝑥
−
3
2 ( 6 )
−
3
−
3
2
3
Diferencial:
3
( 10 𝑥− 4 )
3
√
( 𝑥− 1
)
Derivada:
1
2 [ 3 ( 10 𝑥 − 4 )
2
3
−
1
2 ( 1 )]
2
2
1
2 −
3
2
1
2 −
3
3
Diferencial:
2
1
2 −
3
3
1.2. Incremento de una función.
Todos de alguna manera hemos visto la
expresión:
𝑥
2
1
x
variable independiente
(x).
Mientras que el incremento de la variable:
𝑥
𝑥
Su diferencial dx=∆ x
Incremento de la función:
𝑦
𝑥
Por lo que:
𝑦
Ya que 𝑑𝑦 = 𝑓
’
Gráficamente:
𝑦
y el 𝑑𝑦 si la función
es 𝑦 = 𝑥
2
𝑥
Incremento de la función:
𝑦
𝑥
𝑦
𝑦
𝑦
2
2
𝑦
𝑦
𝑦
Diferencial de la función:
′
Pero: 𝑑𝑥 = ∆
𝑥
Checar que 𝑑𝑦 ≠ ∆
𝑦
𝑦
𝑦
𝟐
Obtenemos el diferencial:
para hallar la √ 10. 367 :
𝑥
Sustituimos:
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
A través de diferenciales, estima la √ 64. 0910
3
entre los cuales se halla el valor
dado en la raíz
3
3
1
al valor más
cercano dado en el radicando:
1
2
independiente
𝑥
𝑥
2
1
𝑥
𝑥
a tratar y hallar la diferencial
Problema: Se Trata de una función
de raíz cubica:
3
1
3
Obtenemos la derivada:
−
2
3
2
3
2
3
Obtenemos el diferencial:
2
3
para hallar la √
3
𝑥
Sustituimos:
𝑥
3
2
3
𝑥
3
2
3
𝑥
𝑥
𝑥
1.4. Aplicaciones de los diferenciales.
En esta sección analizamos algunas de las muchas aplicaciones que tienen los diferenciales en
situaciones de la vida cotidiana.
Ejemplo:
Hallar la variación del área de un cuadrado si uno de sus lados cambia de 12 cm a 12.3440 cm.
Variación de los lados:
𝑙
2
1
𝑙
𝑙
Formula del área del cuadrado:
2
Utilizamos el elemento de aproximación:
Función:
Derivada:
𝐴
𝑙
Diferencial
𝐴
𝑙
𝑙
𝐴
𝑙
2
𝑙
2
𝑙
2
2
𝑙
2
Variación del radio:
2
1
Error medio:
3
3
Elemento de aproximación:
𝑟
𝑟
4
3
3
2
𝑟
3
2
𝑟
3
3
𝑟
3
Error porcentual:
3.- Hallar la variación en el volumen de un cubo que pasa de 2m a 2.5m.
3
Función: 𝑣 = 𝑎
3
Derivada:
3
2
Variación de a:
2
1
Error medio:
6
3
Elemento de aproximación:
𝑟
𝑟
3
2
𝑟
3
2
𝑟
𝑟
3
Error porcentual:
Interpretación:
Al haber un aumento en el lado de
2m a 2.5m, el error porcentual será
de 75% y el elemento de
aproximación de 14cm.
Unidad temática 2. Integración indefinida
2.1. La antiderivada.
Hasta ahora nos hemos dedicado a determinar problemas de la forma “dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥),
determine 𝑦
′
′
o bien dada 𝑑𝑦 = 𝑓
𝑑𝑥 “. Es decir, dada y determinen su derivada o su
diferencial.
Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir dada 𝑓
determine 𝐹
. A este problema
inverso se llamamos antiderivada (integral indefinida).
Teorema:
Dada a y n, la antiderivada más general de una función dada como 𝑓
𝑛
, su antiderivada
más general es: 𝑓
𝑎
𝑛+ 1
𝑛+ 1
De tal manera que la “derivada de la antiderivada es la función”, es decir 𝐹
′
Como:
𝑎
𝑛+ 1
𝑛+ 1
Si 𝑓
𝑎
𝑛+ 1
𝑛+ 1
→ es la primitiva de F.
Regresamos 𝐹
′
𝑛+ 1
(𝑛+𝑎)− 1
𝑛
Ejemplos:
Encuentre la antiderivada más general de las funciones dadas por:
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 , su antiderivada más
general es:
1
1 + 1
1 + 1
1
2
2
5
5 + 1
6
6
1
2
1
2
3
2
6
2
𝑥
6
− 6
− 6 + 1
− 5
5
5
5
2
5
2
7
2
7
6
√ 𝑥
7
3
− 7
3
−
7
3
−
4
3
4
3
Ejercicio:
2
1 + 1
1 + 1
2
2
2
2
2
2
2
x C<0 C=0 C>
Tarea:
x C<0 C=0 C>
1
2
2
2 + 1
3
3
x C<0 C=0 C>
1 + 1
2
x C<0 C=0 C>
