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MIGUEL DE LA TORRE CARBO GEOMETRIA DESCRIPTIVA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA MIGUEL DE LA TORRE CARBO GEOMETRÍA DESCRIPTIVA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL DE ESTUDIOS PROFESIONALES ACATLÁN MÉXICO, 1993 Primera edición: 1965 Segunda edición: 1975 Primera reimpresión: 1978 Segunda reimpresión: 1980 Tercera reimpresión: 1983 Cuarta reimpresión: 1986 Quinta reimpresión: 1993 DR01983, Universidad Nacional Autonoma de México Ciudad Universitaria, 0451 México, D. F. Escuela Nacional de Estudios Profesional Acatlán Impreso y hecho en México ISBN 968-58-2992-6 A to jovenes, estudiamies, A ts persones que coMican esta rama de la Matemitica, Átedtamente. He rogado al har; Sa Arg, y bf De Miguel de la Torre Carbó gue sacrificando su reconocida modestia, permita que estas Frases figuren en su Lira: "Gemmetío Descalflion”, permiso que agradezco Súnceramente Ánte todo, quiero vendia fuzoso homenaje ab corerenia de guien fe Hobo Caballero , dictimpuido y erudito Arguitecto, investigador ciombifico y fibisao : D. Miguel de bh Eme Remimz, jettamente adenitado por es frivenes ars comdiacipunlos de ertudios profesiona en da Escuela Nacional de Bellos Artes (muestra Madre Escuela dle Ss Carlos). Rara ahora, zm vwudadera isfacción, expreso tam- bién que la admiración, el afecta y el recomorimienta que ensuvida demostrí al Distimguido Emdisctpado omemciemado, le ceitaro en justo homomaje 3 su hijo, el ausdr de este lito, el Se Arg. y refe, D. Miquel de la torre Grbe, fut heredero de las olas cualidades pde 4 Señor Úadre. Gara el paren de la Torre Carbó, den $e ls testimonios: Como estudiante, consillaze san hoja de estudios; - Como egresado, consta tn acla A Mención Honorífica tm su recepción de fepatacto; - Como Rejasor de 5 uometeia Descriptiva, Estercctomta, Fesyectiva y Alrbarisao, em sus discipalos et lo elocuencia Como Arquikecto, están sus abras y sus respuestas a . a de arquitectos. Ahora, como abr expreso ai modesta opinas . Le reto de am munvo dibro de Garmetrís Descriptio, De morte y 2 bibi carrado sc pensará; um Ub amás sere eso Modera, de l cual se ham hecho ediciones omurmerables. LA 4e e em realacod el war e a PAra 0 » lo especialistas, da lectura de l Obra com h debida Ma Lenin que 2 um inte - letal conespende, a a los Estudioades, tatudior pro a poro la Obra y pres practicar, 2 titmo com el estadio ba ceselución y el trazo de varios problemas del tipo em cuaskión basta a la verdadero adquándecda del comecioacando que cometa: de la compresión y de E habilidad para tai lo que se ha comprendido, haa , y solamente nal, ae obtended la evidemera de que este amureno libro ve tó rma maidad Jue se agregue a lo móltiple cantidad existente, mo. Com verdadero afirmo que la obra del Sr Ang. de b Torca Carbó fosa desde Leg o 2 figurar en la categoría de los excepcionales tratados e Geometria Descripbiwa au- ténticamente didácticas : Hachette, Adhémer, Leroy, Moncuil, de la Gounnerie, Javary , Resbaudi, ÉS, 45M, Aporici, de Lowray. Elizalde y Hustamanke, entre fos principales, Es decir: tratados que permiten realizar el ideal del werdadero estudiamte: ser autodidacta, o seo, abremder sim amaestro, usando esta expresión em un sentido refabivo, fruesto que el maestro está en el libro, £a Loro del Sr. Arq. de dh Torre Carbó presenta origi- onalidad a | especial em ewanto al métdoy Au LX” Advertencia preliminar Este tratado de Geometría descriptiva, se ha elaborado de acuerdo con el programa del primer curso de la materia, en la Escuela Nacional de Arquitectura. Como consecuencia de ello no aparecen algunos capitulos clásicos de la geometría, que como el de resolución de trie- dros, son més propios de la investigación matemática que de la construcción arquitectónico, Por otra parte, temas como los de tangencia y normalidad de superficies que por necesidad de la enseñonza están dis- tribuidos en dos cursos, se incluyen aqui completos, a fin de presentarlos con unidad. Finalmente se ha procurado dentro de las limitaciones del texto impreso, desarrollar los problemas siguiendo los pasos de su construcción, en la forma más aproximada al trazo gradual que se sigue en la exposición de una close. Como sistema de trabajo se recomienda, muy especial- mente a los estudiantes, la ejecución de los mismos problemas descritos en el texto, inclusive calcándolos, hasta comprender el proceso, y repetir el ejercicio cambiando los datos, a fin de revisar los conocimientos adquiridos y generalizar conceptos, Agradezco u mi maestro el arquitecto Froncisco Centeno, su dirección y ayuda en la elaboración y revisión de este trabajo. MiGUEL DE LA TorRE CARBÓ 1 Plano grabado en el tablero de la estatua sedente de Gudea (2,500 años a.C) Poncelet, el ilustre prisionero de Soratoff, quien, a la sombra de su cautiverio crea la “Geometría proyectiva”. En la labor docente, dentro de esta ciencia, se distinguen Por su producción didáctica del más alto valor, maestros como “Adhemar, Piet, Javory, que junto con los dedicados a otras ramos de la enseñanza como Guadet y Viollet le Duc, por no mencionar sino algunos de los relacionados con los es- tudios de arquitectura € ingeniería, hacen de las escuelas en que imparten sus cátedras, centros de difusión mundial del conocimiento, de los que Francia justamente debe enorgu- Hecerse. El fin inmediato que ahora nos preocupa, es el de hacer notar que esta nueva disciplina en sus dos grandes aspectos especulativo y práctico presento, por decirlo asi, una bifur- cación clara y bien definida permitiendo, por una parte, que mentalidades superiores la eleven a las altos esferos de lo geometría moderna, y por otra, que se extienda y se difunda en el compo de la cultura general er un sentido de aplicación múltiple con utilidad indiscutible en todo género de activi- dades constructivas, wo sólo de carácter profesional, sino elementales en los centros de trabajo industrial y obrero. De* ahí nace, como rudimento de la “Geometria descriptiva” el dibujo constructivo elemental, cuya enseñonsa se ha hecho * accesible en los primeros grados escolares. Es necesario no perder de vista que, simultáneamente con el desarrollo de este moderno género de representación, se presenton tombién los més notobles adelontos en la mecánica . industrial y en el invento, hasta el grado de poder afirmar que el siglo XIX Y lo que va transcurrido del presente, mar- can en lo historia humana una etapa que bien puede llamarse la “Edad del maguinismo” y cuyos caracteres influyen po- derosamente en la conmoción social y económica que ohore presenciamos. Además, es importante reconocer que con esta nuevo roma que constituye lo “Geometrio descriptivo” y en sus bien mar- cados jases de ciencia y de arte, se creó un nuevo modo de expresión imaginativa, universal, claro y preciso, que el len- guaje común hablado o escrito no tiene a su alcance; Pues basta pensar que no es posible describir por medio verbal y con fines prácticos el más sencillo meconismo y, mucho me- nos, uno complicado máquina O 18 edificio. En esta viriud, el dibujo constructivo adquiere verdadera autonomía y se reviste del carácter de lenguaje original, insustituible y universal como se ha dicho, que no reconoce fronteras ni requiere voriontes de pueblo a pueblo. Es decir, el dibujo constructivo se erige a la categoría de factor indis- pensable en lo cultura general, y es así como su enseñanzó se ha impuesto bien pronto a le divulgación en las escuelas elementales del extranjero, as cuendo con designaciones diversas (dibujo de proyecciones, dibujo ortogonal, eteé= tera), pero idénticas en 4 esencia, 14 En México, lp “Geometría descriptiva” se cultiva desde el siglo pasado como materia profesional en las escuelas de arquitectura e ingenierla, pero el dibujo constructivo bn su aspecto elemental, aparece sólo hacia 1910 gracias a los es- juersos del maestro, arquitecto don Carlos M. Loxo. "Entre los distinguidos maestros que han impartido sus en- señonzas en aquellas escuelas, deben mencionarse los arqui- tectos: Del Rivero, Rofael Dondé, Maxime Roisin quien sis ser profesor de geometría descriptiva se recuerda por su gran calidad profesional, y por el impulso que de a ésta y otras materias, y los ingenieros: Carlos Gorbea, Bartolomi Ver- | gara y Octovio Bustamante; este último, publico una primera darte de s tratado de Geometria descriptiva, dejando imé- dita, al morir, el resto de esta importante obra didáctica. Ya en la época actual, se destaca la labor del muestro ar- quitecto Francisco Centeno quien desde 1914, con sus mu- merosos escritos y cátedras en diversos escuelas, pero sobre todo en la Escuela Nacional de Arquitectura, ha desarrollado un sistema pedagógico de la materia, basado en los trabajos de Adhemar, pero enriquecido con su propia experiencia y orientado fundamentalmente a la preparación de arquitectos. Además con el desprendimiento propio de los grundes edu. cadores, ha dedicado su atención a la formación de profe- sores de la materia, creando wno verdadera escuela de la geometría descripiiva pora el arquitecto, Con idéntico empeño, el orquitecio Adrián Ciombini, en su cátedra de la Escuela Nacional de Ingeniería ha encousado sus enseñonsos y obras publicadas, al establecimiento de pro- gramas y sistemas pedagógicos, adecuados a la preparación de estudiantes y profesores, dentro de las necesidades de los diferentes romas de lo ingeniería, 15 PROYECCIÓN CILÍNDRICA OBLICUA figura 4 figura 6 4. Diversos sistemas de proyección: Las diversas posiciones que guarden !as proyectantes de la figura, entre sí y con respecto al plano de proyección, de- terminan varios sistemas de proyección, que son: a) Proyección cilindrica oblicua (figura 4). Cuan- do las proyectantes de la figura son paralelas entre sí, pero oblicuas son respecto al plano de proyección. b) Proyección cilíndrica recta u “ortogonal” (£i- gura 5). Es aquella en la cual las proyectantes son paralelas entre sí y además, perpendiculares al plano de proyección. Esta será nuestra forma usual de proyección, considerándose los otros sistemas, como problemas de ella, £) Proyección cónica (figura 6). En este caso las 18 figura 7 PROYECCIÓN CILÍNDRICA RECTA "ORTOGONAL" figura 8 figura 9 proyectantes divergen de un punto común, denomi- nado vértice o-polo de la proyección. 5. Significado de los proyecciones: La misma pro- yección cambiará de aspecto, según consideremos la manera de ser de las proyectantes, presentándose los siguientes casos: a) si consideramos las proyectantes como rectas en abstracto, obtendremos la PROYEC- CIÓN propiamente dicha (Figuras 4, 5, 6); b) si como rayos luminosos, el resultado sobre el plano será la sommra de la figura, 'ya sea con luz de sol, rayos paralelos (figuras 7, 8), o con luz de lámpara rayos divergentes (figura 9); c) finalmente si con- sideramos las proyectantes, como rayos, visuales, la proyección se llama PERSPECTIVA. Pues aunque este PERSPECTIVA VISUAL CABALLERA figura 1) nombre es propio de una proyección cónica, que tiene como vértice el ojo del observador (perspectiva visual figura 10), lo usamos también para designar ciertas proyecciones cilíndricas que no siendo real- mente perspectiva permiten obtener el aspecto tri- dimensional de los cuerpos del espacio, tales son: la perspectiva Caballera (figura 11) procedente de una proyección cilíndrica oblicua y la isométrica (fi- gura 12), de la cilíndrica recta. Formas de represen- tación, especialmente la segunda, que por la sim- pli'*d de su trazo son muy útiles para apreciar la figura de los objetos del espacio, 6. Extensión del curso: Estas tres posibilidades, definen el plan de trabajo del curso, que incluye: 1. Estudio de los volúmenes del espacio, su posi- figura 12 ción, determinación, propiedades y relaciones. II. Estudio de las sombras de esos volúmenes; las que se produceri en ellos por su forma particular, y las que arrojan sobre los objetos circundantes. TIL. Estudio de la perspectiva geométrica. Los problemas se tratarán en general desde el punto de vista puramente geométrico, pero harernos siempre referencia particular a los asuntos que por su índole se relacionen directamente con cl proyecto de arquitectura. 7. Posición de un cuerpo en el espacio: Es la que guarda con respecto al plano o planos de proyección, 8. Determinación de un cuerpo: Un cuerpo está de- terminado cuando se conocen los elementos suficien= tes, para resolver cualquier problema referente a él. 19 3. Montea triplanar: Con base. en estas- proyec- ciones, podemos resolver cualquier problema referente al punto así determinado. Pero los problemas no se resolverán en el espacio, sino en los planos de pro- EXPLANACIÓN DEL TRIEDRO figura 15 E [Y MONTEA BIPLANAR figura 1? Y z yección y es necesario para ello representarlos en sus dimensiones reales los tres sobre un mismo plano; aquí comienza propiamente la geometría descriptiva, Para lograrlo (figura 15) prescindimos del cuerpo del espacio (figura real) y haciendo abstracción de él extendemos los tres planos en los que se encuen- tran ya situadas las tres proyecciones. Conservamos el plano vertical en su lugar, en seguida separando el horizontal del lateral por la línea OY, hacemos girar el primero sobre OX y el segundo sobre OZ hasta hacerlos coplanares con 'el vertical, pudiendo enton- ces, representarse los tres planos con lo que ellos contienen en uno solo, que es materialmente la hoja de papel en que hemos de dibujar. A esto se llama explanación del triedro y el resultado es el GEOME- TRAL O MONTEA TRIPLANAR, Que representa el es- pacio (figura 16). Nótese en la montea (figura 16) que las lineas px y xp que en el espacio (figura 15) forman un ángulo recto, con vértice + en la línea de tierra, quedan alineadas en una misma perpendicu- lar a LT; en tanto que P'z y 2)” que también for- maban ángulo recto ahora se alinean paralelas a ella. Ésta es condición necesaria e indispensable para que esas tres proyecciones, representen a un mismo pun- to del espacio. Así la montea (figura 16) representa al ptntonpor sus proyecciones: vertical p” ubicada en plano ver- tical mediante anchura y altura; horizontal, p en el horizontal, por anchura y alejamiento y lateral p” en el lateral de proyección por alejamiento y altura. 4. Montes biplonar: Si la proyección lateral con- tiene datos que ya tenemos en las otras dos, podemos suprimirla sin perder ninguna de las coordenadas del punto y sólo la usaremos como auxiliar en casos especiales. De esta supresión, resulta una montea (figura 17) que en sólo dos planos, horizontal y vertical, con- tiene datos suficientes para determinar el punto; tres coordenadas: anchura, altura y alejamiento y dos proyecciones: horizontal y y vertical $”, alineadas en una perpendicular a LT. Ésta es la montea biplanar que habitualmente usaremos, 5. Montea monoplanar: Finalmente (figura 18), situado el punto en proyección horizontal por su anchura y su alejamiento, podemos prescindir de la proyección vertical a condición de fijar mediante un número, COTA, que aparece como sub-indice de P Pm), la altura del punto medida desde el piano ho- rizontal, ésta es la montea monoplanar o plano aco- tado usual en trabajos topográficos. 21 6. Montea del espacio: Supuesto el espacio geo- métrico, definido por tres ejes ilimitados (figura 19), los planos que éstos determinan también lo serán, Hemos eliminado el plano lateral de proyección, conservando sólo el vertical y el horizontal, que se cortan en la línea de tierra, y que extendiéndose ilimitados en sus respectivos sentidos, dividen el espacio en cuatro zonas o cuadrantes. La linea de tierra será en lo sucesivo, origen y referencia para los planos, los cuadrantes y los datos en ellos contenidos, es para nosotros el centro del espacio. A partir de la línea de tierra (figura 19) el pleno horizontal, tendrá parte delante de ella HORIZONTAL ANTERIOR y parte detrás HORIZONTAL POSTERIOR; en tanto el vertical, tendrá parte arriba VERTICAL SUPE- RIOR y «parte abajo VERTICAL INFERIOR, todos estos nombres los abreviamos en las ilustraciones por sus iniciales. Los cuadrantes que numeramos en sentido con- trario al de las manecillas del reloj, se definen como sigue: I Cuadrante, entre horizontal anterior y vertical superior 11 Cuadrante, entre vertical superior y horizontal posterior 111 Cuadrante, entre horizontal posterior y vertical inferior JV Cuadrante, entre vertical inferior y horizontal anterior. e HP VS Vi HA Suponemos siempre la figura vista con el primer cuadrante al frente y arriba, sirviéndonos para orien- tarla, de unos guiones colocados en el horizontal anterior paralelos e inmediatos a la línea de tierra. Para obtener la montea del espacio asi dividido, hacemos girar el plano horizontal en sentido de las manecillas del reloj (figura 203), teniendo como eje la línea de tierra hasta sobreponerlo al vertical, de modo que el primer cuadrante quede al frente abierto como un libro, El resultado es la llamada MONTEA DEL ESPACIO (figura 20b), MEDIANTE LA CUAL PODEMOS REPRE- SENTAR POR SUS PROYECCIONES, CUALQUIER -FIGURA DEL ESPACIO; EN ELLA SE FUNDA TODA LA GEOMETRÍA: DESCRIPTIVA. Sobrepuestos los dos planos de proyección (figura 20b), la montea, tomando como referencia la línea de tierra, queda formada como sigue: Horizontal anterior Vertical superior abajo de la línea de tierra arriba de la línea de tierra Horizontal posterior arriba de la línea de tierra y detrás del vertical superior Vertical inferior abajo de la línea de tierra y detrás del horizontal anterior Los guiones quedarán abajo de la línea de tierra paralelos a ella en el horizontal anterior, señalando en la montea la posición de este plano, y por él la del primer cuadrante. 
