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UNIDAD 5
INTERSECCIONES
OBJETIVO
Comprender los conceptos que permitan visualizar las intersecciones de
elementos geométricos en el espacio.
TEMARIO
Mapa Conceptual………………………………………………………………………... Introducción 5.1 Intersección de dos rectas Actividades de Aprendizaje 5.2 Intersección de una recta con un plano Actividades de Aprendizaje 5.3 Intersección de una recta con un volumen Actividades de Aprendizaje 5.4 Intersección de una plano con un volumen Actividades de Aprendizaje 5.5 Intersección de volúmenes Actividades de Aprendizaje Autoevaluación
MAPA CONCEPTUAL
5.1 I NTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
Es uno de los problemas geométricos más sencillos. Tenemos que dos rectas que se cruzan sólo pueden tener en común un punto, coincidente en la misma referencia, en una montea dada. Por lo que el procedimiento plantea localizar tanto el punto en donde coinciden las dos rectas y los extremos de ambas rectas.
Fig. 82. Montea.
Al trazar dos rectas sobre el plano horizontal, a-b y c-d se localiza el punto de intersección denominado p , el punto p se proyectará al igual que los puntos de las rectas sobre el plano vertical encontrando los puntos a - b así como los puntos c´ - d´ , la intersección se localiza en el punto p (ver figura. 82).
Para trazar la intersección de las dos rectas en el espacio se requieren por lo menos dos planos, en donde se proyectan los puntos de las rectas del
plano vertical y del plano horizontal perpendiculares a los planos, donde coincidan en los punto de la recta a-b y la recta c-d, la intersección se localizará sobre el punto P. Como se puede apreciar el la figura 83.
Fig. 83. Intersección de dos rectas en el espacio.
5.2 Intersección de una recta con un plano
En una intersección de una recta y un plano también existe un elemento en común, el punto; este punto pertenece a la recta y a una de las rectas del plano de forma simultanea y en la misma referencia.
Intersección de una recta sobre un plano horizontal.
Al realizar la montea, la proyección vertical del plano horizontal es una recta paralela sobre la línea de tierra, así pues la intersección se realizará en un sólo punto de contacto entre la recta y el plano. En el momento que se detecta el plano vertical, se puede referenciar a las proyecciones horizontales de la recta, para así poder completar la montea. La intersección de una recta y un plano en el espacio se analiza a partir de un plano p sobre la horizontal y un plano p´ para ubicar el plano denominado P; este plano se intercepta con una recta r , sobre la horizontal y una recta r´ sobre la vertical para encontrar una recta denominada R. La intersección de obtienen localizando el punto i , sobre el plano horizontal y el punto i ´ a partir del punto vertical. Para localizar finalmente el punto I , donde se realiza la intersección en el espacio. Se puede apreciar el la figura 84 y 85.
Fig. 84. Intersección de una recta con un plano.
Fig. 85. Isometría.
Fig. 87. Isometría.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Elaborar la Práctica No. 16 “Intersección de una recta con un plano” del Manual de Prácticas.
5.3 I NTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN VOLUMEN
Una línea recta se puede intersectar con un volumen, en tal caso la línea recta atravesara el cuerpo del volumen y deberá localizar dos puntos uno de salida y otro de entrada. Es necesario analizar las características del volumen que intersecta, así como de las rectas que limitan el plano. Que sean visibles en la montea. En la figura 88. Se aprecia el dibujo de un cilindro cortado por una línea a-b, en la que se logran dos puntos de intersección denominados z y x de los cuales son transportados al plano vertical, encontrando los puntos a´- b´ y las intersecciones; z´ - y´ de la línea con el cilindro.
Fig. 88. Línea que corta un cilindro circular recto..
5.4 I NTERSECCIÓN DE UN PLANO CON UN VOLUMEN
El resultado de la intersección de un plano con un volumen es otro plano, sin embargo, es necesario analizar la posición de la recta o rectas que intersectan el volumen, así como las características del propio volumen.
Fig. 90. Intersección de un plano con un volumen.
En la figura 90 se observan tres vistas, una superior, una frontal y otra lateral, de las cuales en la vista lateral se aprecia un plano de canto. En la vista superior se aprecian los puntos a-b-c-d y en el plano lateral los mismos puntos proyectando el plano oblicuo. Las proyecciones de los puntos a-b-c-d del plano vertical junto con las del plano lateral a´´- b´´- c´´ - d´´, al unirlas en el plano frontal encontramos los
puntos a´- b´- c´- d´, así determinamos la visibilidad de la vista frontal. Como se aprecia en la figura 91.
Fig. 91. Intersección de un plano con un volumen.^18
Intersección de un plano y un cono La intersección de un cono y un plano resulta ser un poco más complicada, ya que la curvatura del cono producirá una elipse, la cual tendrá muchos puntos de (^18) Silvestre Fernández Calvo. La Geometría Descriptiva aplicada al dibujo arquitectónico. Pág. 53.
Fig. 93. Intersección de un plano y un cono.^20
Fig. 94. Intersección de un plano y un cono.^21
(^20) Silvestre Fernández Calvo, op. cit ., p. 61. (^21) Idem.
Posteriormente se deben de localizar los puntos de intersección del plano secante en su respectivo círculo, línea con línea (A con A´, B con B´). Cuando se unan los puntos se obtiene la línea de intersección de la vista superior, que mas tarde proyectamos a la vista frontal. Como apreciamos en la figura 94. Por último, se observa en la figura 95 el análisis de las vistas frontal y superior indicando la visibilidad.
Fig. 95. Intersección de un plano y un cono.^22
(^22) Idem.
5.5 I NTERSECCIÓN DE VOLÚMENES
La intersección de volúmenes se puede dar en forma directa, para este caso los sólidos generados a partir de proyecciones ortogonal y cónica las aristas e intersecciones debe de mostrarse lo más claro posible entre los puntos y las rectas. El análisis permite localizar estas intersecciones fácilmente, llevando la referencia apropiada a la vista frontal y superior. En la figura 96 se aprecia la intersección de dos prismas, uno rectangular y otro triangular, en donde los puntos de intersección de ambos forman puntos y líneas fácilmente identificables.
Fig. 96. Intersección directa de volúmenes.
La intersección de dos cilindros, las proyecciones deberán contempla una serie de líneas de referencia que permitan localizar los puntos de intersección.
Para este caso se trata de un cilindro horizontal y otro vertical, incrustándose el cilindro vertical sobre el horizontal exactamente a la mitad de éste.
Fig. 97. Intersección de dos cilindros.
Fig. 98. Axonometría.
