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ejercicios resueltos de ecuaciones de circunferencia hipérbolas y parábolas
Tipo: Ejercicios
1 / 25
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“Año de la lucha contra la Corrupción y la Impunidad”
Calculo vectorial
Mg. Díaz Díaz, Oscar Alejandro.
Barrientos Muñoz, Brandon
Sullon Peña, Carlos Jonathan
Padilla Astudillo, Jordán David
Guaranda Dioses, Yasseni
Ramírez Herrera, Danny Xavier
EXAMEN
de intersección de las rectas L 1
: 2 x y 6 0 y L 1
: x 3 y 10 0
Solución:
Sistema de ecuaciones:
multiplicas .3 6 x 3 y 18 (^0)
x 3 y 10 0
7 x 28
x 4
Re emplazamos el valor x 4
1
: 2(4) 6 y y 2
Calcular el RADIO
centro (4; 2) Punto (3; 6)
2 (6 (2))
2 ( 3 (4))
2
2 8
2 1
2
circunferencia:
x
2 y
2 4 x 6 y 8 0
Solución:
x
2 y
2 4 x 6 y 8 0
( x
2 4 x 4) ( y
2 6 y 9) 8
Calculamos la Pendiente P (6; 2) (^) C (2;3)
( x 2)
2 ( y 3)
2
m
3 2
2 (6)
centro (2;3) Radio
1
8
42 32
6
FACuLtAD: INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
2 y
2 6 x 2 y 4 0
Solución:
( x
2 6 x 9) ( y
2 2 y 1) 4
Calculamos la dis tan cia Máxima P (7; 2)
( x 3)
2 ( y 1)
2
d Max
Radio
Centro (3; 1) Radio
d Max
d Max 5
distancia de dicho punto a la directriz de la parábola.
Solución:
La distancia del foco al punto es igual la distancia de dicho punto a la directriz de la
parábola.
Foco (7; 3)
Punto (1;3)
d
2 (3 (3))
2 ( 1 7)
2
d
2 36 64
d
(7 3)2 (2 (1))
6
d 10
vértice se encuentra en x (x>2) y pasa por los puntos A (2; 3) y B (-1; 12).
Solución:
B (1;12) (^) V ( x ;
F ( x ; p ) d FB
d BL
d FA
d AL
( p 3)
2 ( x 2)
2 (3 p )
2
p
2 6 p 9 x
2 4 x 4 9 6 p
p
2
x
2 4 x 4 12 p
Re emplazamos x
2 4(5) 4 12 p
p 3 / 4
( p 12)
2 ( x 1)
2 (12 p )
2
p
2 24 p 144 x
2 2 x 1 144 24 p p
2
x
2 2 x 1 48 p
Re emplazamos
4 x
2 16 x 16 x
2 2 x 1
3 x
2 18 x 15 0
x
2 6 x 5 0
Ec
Parábola
x 5 x 1
( x 5)
2 ( y 3 / 4)
2 ( y 3 / 4)
2
( x 5)
2 y
2
y
y
2
y
( x 5)2 3 y
largo del eje (^) “x”, la longitud del lado recto es igual a 6 y su excentricidad es 1/2.
Solución:
P ( k ; 3)
1
( k ;0) F 2
( k ;0)
d PF 1
d PF 2
2 a
2(2 k )
2 a
( (2 k )
2 (3)
2 )
2 (4 k 3)
2
4 k
2 9 16 k
2 24 k 9
24 k 12 k
2 k 2
Centro (0; 0) E Mayor
x e 1 /
1
1
2
2
c
k
Donde : a 2 k c 1 k
a 2 k
Calculamos el valor de " b "
a
2 b
2 c
2 (2 k )
2 b
2 (1 k )
2 b 3 k
*Re emplazamos el valor k 2
Donde : a
b
c 2
Ec.
x
2 y
2
Elipse
a
2 b
2
x
2 y
2
3 x
2 4 y
2 48 0
a 10, eje transverso igual a 14 y eje focal paralelo al eje “x”
Centro (3; 1)
Eje Conjugado
Eje Transverso 14
Donde :
( k k )2 (0
( k ( k ))2 ( 3
(2 k )2
25 x 2 49 y 2 150 x 98 y 1049 0
Ec
Hipérbola
c
2 a
2 b
2
Re
emplazando :
c
2 7
2 5
2
( x h )
2
( y k )
2 ( x 3)
2 ( y 1)
2
a
2 b
2 7
2 5
2
Desarrollamos : 25( x 3)
2 49( y 1)
2 1225
25( x
2 6 x 9) 49( y
2 2 y 1) 1225 0
x 2 y 2 4
2 y
2 10 x 2 y 5 0
Solución:
x
2 y
2 10 x 2 y 5 0
( x
2 10 x 25) ( y
2 2 y 1) 26 5
( x 5)
2 ( y 1)
1
Centro (5; 1)
2
Radio
2
Solución:
Radio
Radio 10 / 5 2
Centro (0; 0) R 2
de las ordenadas.
Solución:
( x 4)
2 ( y 3)
2 R
2
x
2 8 x 16 y
2 6 y 9 4
2
.
x 2 8 x y 2 6 y 9 0
FACuLtAD: INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
Solución:
dPF dPA
( x 1)
2 ( y 2)
2 ( x 9)
2
x
2 2 x 1 ( y 2)
2 x
2 18 x 81
( y 2)
2 20 x 80
Solución:
Foco (3;
Vertice (3;
p
L : x p
( x h )
2 4 p ( y
k ) ( x 3)
2 4.2.( y
2) x
2 6 x 9 8
y 16
pasa por el punto (3; 6). Determine las coordenadas de su foco.
Solución:
dPF dPA
2 (3 p )
2 (3 p )
2
36 9 6 p p
2 9 6 p p
2
36 12 p
p 3
Foco (3; 0)
( y 2)2 20( x 4)
x 2 8 y 6 x 25 0
ecuación y
2 x
2
y
2 x
2
2
b
2
40
c
2 a
2
b
2
c 10
foco 1
9 x
2 16 y
2 144 0
9 x
2 16 y
2 144
x
2 y
2
(^16 9) Donde
a
b 3
2 4
2
2
c 5
2 b
2
2 9
a 4 2
c
a 4
foco 2 (0; 10 2)
Baricentro (4; 0)
4 x 3 y 13 0
9 x 13 y 24 0
x
Solución:
x
y ^
x 4 y 0
a punto (1; 3).
Solución:
1
: 3 x 4 y 11 0 y además pasa por
el
1
: 3 x 4 y 11 0 m 1
Re ctas Perpendiculares m 1
. m 2
3 y^ ^3
1
3 y 9 4 4 x
rectas:
2
: 24 x 7 y 21 0
Solución:
1
: 3 x 4 y 9 0
y
24 x 7 y 21
2 7
2
3 x 4 y 9
24 x 7 y 21
15 x 20 y 45 24 x 7 y 21
3 x 4 y
x 2 y 2 10 x 2 y 23 0
Solución:
( x 5)
2 ( y 1)
2 7
2
x
2 10 x 25 y
2 2 y 1 49
2 y
2 8 x 6 y 11 0 , hallar el radio y
las coordenadas del centro.
Solución:
x
2 y
2 8 x 6 y 11
x
2 8 x 16 y
2 6 y 9 11 16
9 ( x 4)
2 ( y 3)
2 6
2
circunferencia: coordenados.
Solución:
x
2 y
2 8 x 8 y 9 0 , con los
ejes
x
2 y
2 8 x 8 y 9
x
2 8 x 16 y
2 8 y 16 16 16
9 ( x 4)
2 ( y 4)
2 41
Si : x
Si : y
Calculamos
Calculamos
y 1
x
y 9
y 9
Centro (4;3) Radio 6
P 1 (0;1) yP 2 (0; 9)
P 3 (1; 0) yP 4 (9; 0)
6 x 2 6 y 2 32 x 25 y 34 0
y 2 28 x
FACuLtAD: INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
(4; 6)
Solución:
1
2
3
Centro ( h ; k
Radio R
( h 2)
2 ( k 2)
2 ( h 1)
2 ( k 4)
2 ( h 4)
2 ( k 6)
2 R
2
h
2 4 h 4 k
2 4 k 4 h
2 2 h 1 k
2 8 k 16 h
2 8 h 16 k
2 12 k 36 R
2
4 h 4 4 k 4 2 h 1 8 k 16 8 h 16 12 k 36 R
2
12 k 6 h 9 10 h 4 k 35
4 k 2 h 3 Re emplazamos : 10 h 2 h 3 35
4 k 2(
) 3 12 h 32
k 25 / 12
Ecuación de la Circunferencia
h 8 / 3
( x
2 ( y
2 (
2 (
2
x
2 16 x / 3 64 / 9 y
2 50 x / 12 625 / 144 64 / 9 32 / 3 4 625 / 144 100 / 12
12 x
2 64 x 12 y
2 50 y 128 48 100 48
Solución:
Vertice (0;
Foco (7;
p
LR : x 7
Ecuación de la Parábola
( x 7)
2 ( y 0)
2 ( x 7)
2
x
2 14 x 49 y
2 x
2 14 x 49
FACuLtAD: INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
14. La ecuación de la parábola es x
2 9 y 0 , los puntos A (3; a) y B (b; -4) pertenecen a la
parábola. Hallar la longitud del segmento AB. (B IIIC)
Solución:
*Re emplazamos : Si : x
y y^ ^ a
2 9 a 0 a 1
Punto A (3; 1)
*Re emplazamos : Si : x
b
y y^ ^ ^4
b
2 9(4) 0 a 6
Punto B (6; 4)
Dis tan cia
15. Las coordenadas de los vértices de una elipse son (-3; 7) y (15; 7) y de sus focos (1; 7) y (11;
7). Hallar la ecuación de la elipse y la longitud de su lado recto.
Solución:
1
2
1
2
a
c
a
2 b
2
c
2
Re emplazamos
b
2 56
Ec. Parábol
a
( x h )
2
a
2
( y k )
2
b
2
( y 7) 112 / 9
2 ( y 7)
( y 7)
(11 6)2 ( y 7)
Si : x
( x 6)2 ( y 7)
(0 1) 2 ( c 6) 2 (2 c ) 2 ( 2 0) 2
(0 1) 2 ( c 6) 2
16. Una elipse cuyo eje focal coincide con el eje “x” pasa por los puntos ( 6; 1) y (2; 2) ,
hallar su ecuación ( el centro es (0; 0))
Solución:
1
( a ; 0); V 2
( a ;
1
( c ;
2
( c ;
A ( 6;1) B (2; 2) Centro (0; 0)
dAF 1
dAF 2
2 a dBF 1
dBF 2
2 a
2 c
2 14
2 ( c 6)
2 )
2 (
2 c
2 12
(2 c )
2 ( 2 0)
2 )
2
( c
2 2 6 c 7)( c
2 2 6 c 7))
2 ( ( c
2 4 c 7)( c
2 4 c 7))
2
( c
2 7)
2 (2 6 c )
2 ( c
2 6)
2 (4 c )
2
c
4 14 c
2 49 24 c
2 c
4 12 c
2 36 16 c
2
6 c
2 14
( ( c
2
7)
2
(2 6 c )
2
)
2
(3 c
2
7)
2
c
4 14 c
2 49 24 c
2 9 c
4 42 c
2 49
Donde el valor
c 2
Re emplazamos el valor encontrado en
2 a
2 (2
4 a
2
2 )
2 (2 a )
2
2
(4 6)
2
)
2
(2 a
2
11)
2
2 96 4 a
4 44 a
2 11
2
a
4
11 a
2
24
Donde
a
2
a
2 3
a
2 b
2 c
2
*Re emplazamos : 8 b
2
4 b
2
4
Ec.
Elipse :
x
a
2 y
2
(0 1) 2 ( 6 c ) 2 (2 c ) 2 ( 2 0) 2
(0 1) 2 ( 6 c ) 2 (2 c ) 2 ( 2 0) 2
( c 2 2 6 c 7)( c 2 2 6 c 7)
( c 2 4 c 7)( c 2 4 c 7)
( c 2 7) 2 (2 6 c ) 2
( c 2 7) 2 (2 6 c ) 2
( c 2 7) 2 (2 6 c ) 2
(0 1) 2 ( 6 c ) 2
2
