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FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN
𝒏
𝒗
𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+C (n≠1)
𝒏
𝒙
𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ C
𝒅𝒗
𝒗
= 𝒍𝒏𝒗 + 𝑪 = 𝐥𝐧 𝒗 + 𝐥𝐧 𝑪 = 𝐥𝐧 𝐂𝐯 (C=ln C)
Integración de funciones exponenciales y logarítmicas
𝒗
𝒂
𝒗
𝐥𝐧 𝒂
𝒖
𝒖
𝒗
[
𝒗
]
[
]
𝒏
𝒗
𝒏+𝟏
(𝒏+𝟏)
𝟐
[ (
)]
Integración de funciones trigonométricas directas
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟐
[
]
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟐
Integración de expresiones de segundo grado
𝒅𝒗
𝒗
𝟐
+𝒂
𝟐
𝟏
𝒂
𝒗
𝒂
𝟐
𝟐
𝒗
𝟐
𝟐
𝟐
𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒅𝒗
𝒗
𝟐
−𝒂
𝟐
𝟏
𝟐𝒂
𝒗−𝒂
𝒗+𝒂
𝟐
𝟐
𝒗
𝟐
𝟐
𝟐
𝒂
𝟐
𝟐
𝒖
𝒂
𝒅𝒗
𝒂
𝟐
−𝒗
𝟐
𝟏
𝟐𝒂
𝒂+𝒗
𝒂−𝒗
𝟐
𝟐
𝒗
𝟐
𝟐
𝟐
𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒅𝒗
√ 𝒂
𝟐
−𝒗
𝟐
𝒗
𝒂
+ C 41 ) ∫
𝒅𝒗
𝒗
√ 𝒗
𝟐
+𝒂
𝟐
𝟏
𝒂
𝒗
𝒂
𝒅𝒗
√ 𝒗
𝟐
±𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝒅𝒗
𝒗
√ 𝒗
𝟐
−𝒂
𝟐
𝟏
𝒂
𝒗
𝒂
FORMULAS DE DERIVACION
𝐝𝐜
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝟐
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝𝐱
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝟐
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐮
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝𝐰
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝𝐮
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐧
𝐧−𝟏
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
√ 𝟏−𝐯
𝟐
𝐝
𝐝𝐱
𝐧
𝐧−𝟏
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
√ 𝟏−𝐯
𝟐
𝐝
𝐝𝐱
𝐮
𝐯
𝐯
𝐝𝐮
𝐝𝐱
−𝐮
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐯
𝟐
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝟏+𝒗
𝟐
𝐝
𝐝𝐱
𝐮
𝐜
𝐝𝐮
𝐝𝐱
𝐜
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝟏+𝒗
𝟐
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐮
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐯
√
𝐯
𝟐
−𝟏
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐮
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐯
√ 𝐯
𝟐
−𝟏
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
√
𝟐𝐯−𝐯
𝟐
Exponenciales y logaritmos
𝐝
𝐝𝐱
𝐯
𝐯
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐯
𝐯
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐥𝐨𝐠 𝐞
𝐯
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐯
𝟏
𝐯
𝐝𝐯
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
𝐯
𝐧−𝟏
𝐝𝐮
𝐝𝐱
𝐯
𝐝𝐯
𝐝𝐱
Propiedades de los logaritmos
lnx + lny = ln xy 𝒆
𝒍𝒏𝒙
𝒚
lnx – lny = ln
𝒙
𝒚
ln[e] = 1 ln[1] = 0
mlnx = ln𝒙
𝒎
y = 𝒍𝒐𝒈
𝒂
𝒚
ECUACIONES DIFERENCIALES (LAPLACE)
Transformadas básicas
𝟏
𝑺
𝒏
𝒏!
𝒔
𝒏+𝟏
𝒂𝒕
𝟏
𝒔−𝒂
𝒌
𝒔
𝟐
+𝒌
𝟐
𝒔
𝒔
𝟐
+𝒌
𝟐
Transformadas inversas
−𝟏
𝟏
𝒔
−𝟏
𝒏!
𝒔
𝒏+𝟏
𝒏
−𝟏
𝟏
𝒔−𝒂
𝒂𝒕
−𝟏
𝒌
𝒔
𝟐
+𝒌
𝟐
−𝟏
𝒔
𝒔
𝟐
+𝒌
𝟐
Teorema de translación
𝒂𝒕
𝒔→𝒔−𝒂
−𝟏
−𝟏
𝒔−𝒂→𝒔
𝒂𝒕
Ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace
′
(𝟎)
′′
𝟐
( 𝟎
)
(𝟎)
′
′′′
𝟑
𝟐
( 𝟎
)
(𝟎)
′
(𝟎)
′′
𝑰𝑽
𝟒
𝟑
(𝟎)
𝟐
(𝟎)
′
(𝟎)
′′
(𝟎)
′′′
Coeficientes Indeterminados y Sugerencias de 𝒚
𝒑
- Cualquier constante: A
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
- 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 o 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒙 + 𝑩𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙
𝟓𝒙
𝟓𝒙
𝟓𝒙
𝟓𝒙
𝟐
𝟓𝒙
𝟐
𝟓𝒙
𝟑𝒙
𝟑𝒙
𝟑𝒙
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑𝒙
𝟑𝒙
𝟑𝒙
Funciones
Operaciones con funciones Composición de funciones Derivada por los 4 pasos
(f+g)(x) = f(x) + g(x) (f ° g)(x) = f[g(x)] Se tiene f(x), aplicar:
(f-g)(x) = f(x) – g(x) (g ° f)(x) = g[f(x)] 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙+∆𝒙)−𝒇(𝒙)
∆𝒙
(f * g)(x) = f(x) * g(x) (f ° f)(x) = f[f(x)]
𝒇
𝒈
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
(g ° g)(x) = g[g(x)]
Productos notables y Factorización
- Binomio al cuadrado (𝒙 + 𝒚)
𝟐
𝟐
𝟐
3 ) Binomio al cubo (𝒙 + 𝒚)
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
- Suma de cubos 𝒙
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
) 4) Diferencia de cuadrados 𝒙
𝟐
𝟐
- Diferencia de cubos 𝒙
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
Formula cuadrática Rectas paralelas: m
1
= m
2
−𝒃±
√ 𝒃
𝟐
−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
ax
2
+ bx + c = 0 Rectas perpendiculares m
1
𝟏
𝒎
𝟐
Exponentes y Radicales
𝒎
𝒏
𝒎+𝒏
−𝒏
𝟏
𝑿
𝒏
𝟏
𝒏
⁄
𝒏
𝒂
𝒃 = 𝒙 → 𝒚 = 𝒙
𝒃
𝒂
𝑿
𝒎
𝑿
𝒏
𝒎−𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝒎
𝒏
⁄
𝒎
𝒏
𝒙
𝒖
𝒏
√𝒙
𝒏
√𝒖
𝒏
𝒎
𝒏
𝒎𝒏
𝒙
𝒚
𝒏
𝑿
𝒏
𝒀
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
Para un triángulo rectángulo Geometría Analítica (formas de la ecuación de la recta)
𝒐𝒑
𝒉𝒊𝒑
𝒉𝒊𝒑
𝒂𝒅𝒚
𝟏
𝒚
𝟐
−𝒚
𝟏
𝒙
𝟐
−𝒙
𝟐
𝟏
) * Forma general
𝒂𝒅𝒚
𝒉𝒊𝒑
𝒉𝒊𝒑
𝒐𝒑
𝟏
𝟏
) Ax + By + C = 0
𝒐𝒑
𝒂𝒅𝒚
𝒂𝒅𝒚
𝒐𝒑
- Pendiente intersección y = mx + b m = -
𝑨
𝑩
b = -
𝑪
𝑩
a = −
𝑪
𝑨
Para triángulos acutángulos y obtusángulos
Ley de los senos
Ley de los cosenos
𝟐
𝟐
𝒃
𝟐
+𝒄
𝟐
−𝒂
𝟐
𝟐𝒃𝒄
𝟐
𝟐
𝒂
𝟐
+𝒄
𝟐
−𝒃
𝟐
𝟐𝒂𝒄
𝟐
𝟐
𝒂
𝟐
+𝒃
𝟐
−𝒄
𝟐
𝟐𝒂𝒃
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
I) Variables separables
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈(𝒙)𝒉(𝒚) ∫
𝒅𝒚
𝒉(𝒚)
= ∫
𝒈(𝒙)𝒅𝒙
II)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
( 𝒙
) 𝒚 = 𝒇(𝒙) Forma estándar. FI = 𝒆
∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
( 𝑭𝑰
) 𝒚 = 𝒇
( 𝒙
) 𝑭𝑰
∫
𝒅(𝑭𝑰)𝒚 = ∫
𝒇(𝒙)𝑭𝑰 𝒅𝒙
III) Ecuaciones exactas y no exactas
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Si
𝝏𝑴
𝝏𝒚
=
𝝏𝑵
𝝏𝒙
Ecuación exacta
𝝏𝑴
𝝏𝒚
= 𝑴
𝒚
𝒆
∫
𝑴 𝒚
− 𝑵 𝒙
𝑵
𝒅𝒙
(función de x)
𝝏𝑵
𝝏𝒙
= Nx Si
𝝏𝑴
𝝏𝒚
≠
𝝏𝑵
𝝏𝒙
Ecuación no exacta FI =
𝒆
∫
𝑵𝒙− 𝑴𝒚
𝑴
𝒅𝒚
(función de y)
Multiplicar función original por FI y volver a comprobar si es o no exacta.
IV) Ecuaciones Homogéneas
Si N(x, y) más sencillo que M(x, y) sustituir
y = ux dy = udx + xdu u =
𝒚
𝒙
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Sustituir al final
Si M(x, y) más sencillo que N(x, y) sustituir sustituir
x = vy dx = vdy + ydv v =
𝒙
𝒚
V) Ecuación de Bernoulli
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒏
Sustituir u = 𝒚
𝟏−𝒏
Despejar “y” Obtener
𝒅𝒚
𝒅𝒖
Sustituir “y” en ecuación original y obtener
𝒅𝒚
𝒅𝒙
, Sustituir en Regla de la cadena
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Despejar
𝒅𝒖
𝒅𝒙
y hacer Forma Estándar. Al final sustituir u = f(y)
VI) Problemas de aplicación de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden:
Modelo matemático para el crecimiento de bacterias
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒌𝒙, x = población de bacterias, x(𝒕
𝟎
) = 𝒙
𝟎
Modelo matemático de la Ley de Enfriamiento de Newton
𝒅𝑻
𝒅𝒕
= 𝒌(𝑻 − 𝑻𝒂), Ta = Temp. Ambiente
Llenado, Vaciado y Mezcla de Soluciones
𝒅𝑪 𝒔
𝒅𝒕
= 𝑪
𝒔
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 − 𝑪
𝒔
𝒔𝒂𝒍𝒆
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
I) Coeficientes Contantes
Ordenar de mayor a menor grado. Obtener y ecuación auxiliar y sus raíces.
Raíces reales y diferentes y = 𝑪
𝟏
𝒆
𝒎
𝟏
𝒙
𝟐
𝒆
𝒎
𝟐
𝒙
𝟑
𝒆
𝒎
𝟑
𝒙
(𝒎
𝟏
≠ 𝒎
𝟐
≠ 𝒎
𝟑
)
Raíces reales e iguales y = 𝑪
𝟏
𝒆
𝒎 𝟏
𝒙
𝟐
𝒙𝒆
𝒎 𝟐
𝒙
𝟑
𝒙
𝟐
𝒆
𝒎 𝟑
𝒙
, (𝒎
𝟏
= 𝒎
𝟐
= 𝒎
𝟑
)
Raíces imaginarias y = 𝑪
𝟏
𝒆
𝜶𝒙
𝒄𝒐𝒔𝜷𝒙 + 𝑪
𝟐
𝒆
𝜶𝒙
𝒔𝒆𝒏𝜷𝒙 (2 imaginarias)
y = 𝑪
𝟏
𝒆
𝒎 𝟏
𝒙
𝟐
𝒆
𝜶𝒙
𝒄𝒐𝒔𝜷𝒙 + 𝑪
𝟑
𝒆
𝜶𝒙
𝒔𝒆𝒏𝜷𝒙 (1 real y 2 imaginarias)
II) Coeficientes Indeterminados
y = 𝒚
𝒄
𝒑
𝒚
𝒄
de ecuación auxiliar
𝒚
𝒑
tabla de valores 𝒚
𝒑
(checar que los valores de 𝒚
𝒑
no estén repetidos en 𝒚
𝒄
)
Obtener 𝒚
𝒑
de parte derecha de la ecuación y derivar las veces que indique la ec. original y sustituir
en ecuación original para obtener los valores de las constantes
III) Variación de Parámetros
y´’ + P(x)y’ + Q(x)y = f(x) y = 𝒚
𝒄
𝒑
𝒚
𝒄
de la ec. auxiliar. Identificar 𝒚
𝟏
, 𝒚
𝟐
, 𝒚
𝟑 𝒅𝒆 𝒚 𝒄
𝒚
𝒑
= 𝒖
𝟏
𝒚
𝟏
𝟐
𝒚
𝟐
𝒖 𝟏
′
=
𝒘 𝟏
𝒘
𝒖
𝟐
′
=
𝒘 𝟐
𝒘
𝒖
𝟑
′
=
𝒘 𝟑
𝒘
𝒖
𝟏
= ∫ 𝒖
𝟏
′
𝒖
𝟐
= ∫ 𝒖
𝟐
′
𝒖
𝟑
= ∫ 𝒖
𝟑
′
w = 𝒚 𝟏
𝒚
𝟐
𝒘
𝟏
= 0 𝒚
𝟐
w 2 = 𝒚
𝟏
𝟎
𝒚
𝟏
′
𝒚
𝟐
′ f(x) 𝒚
𝟐
′ 𝒚
𝟏
′
𝒇(𝒙)
𝒚
𝟏
𝒚
𝟐
𝒚
𝟑
0 𝒚
𝟐
𝒚
𝟑
𝒚
𝟏
𝟎 𝒚
𝟑
𝒚
𝟏
𝒚
𝟐
𝟎
w = 𝒚
𝟏
′
𝒚
𝟐
′
𝒚
𝟑
′
w 1 = 0 𝒚
𝟐
′ 𝒚
𝟑
′ w 2 = 𝒚
𝟏
′
𝟎 𝒚
𝟑
′ w 3 = 𝒚
𝟏
′
𝒚
𝟐
′
𝟎
𝒚
𝟏
′′
𝒚
𝟐
′′
𝒚
𝟑
′′ f(x) 𝒚
𝟐
′′ 𝒚
𝟑
′′ 𝒚
𝟏
′′
𝒇(𝒙) 𝒚
𝟑
′′ 𝒚
𝟏
′′ 𝒚
𝟏
′′
𝒇(𝒙)
IV) Ecuación de Cauchy-Euler
Caso I: Valores reales y diferentes
y = 𝒄
𝟏
𝒙
𝒎 𝟏
𝟐
𝒙
𝒎 𝟐
x
3
y’’’ – 3x
2
y’’ + 2xy’ + 3y = 0 Caso II: Valores reales e iguales
Hacer y = x
m
y = 𝒄
𝟏
𝒙
𝒎
𝟏
𝟐
𝒙
𝒎
𝟐
𝒍𝒏𝒙 + 𝒄
𝟑
𝒙
𝒎
𝟑
𝒙𝒍𝒏𝒙
Derivar las veces que indique la ecuación Caso III: Valores imaginarios
Sustituir derivadas en ec. orig. y factorizar y = 𝒙
𝜶
(𝒄
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜷𝒍𝒏𝒙 + 𝒄
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝜷𝒍𝒏𝒙)
De la siguiente manera x
m
(ecuación auxiliar)
Nota: Si se presenta f(x) hacer wronskianos.
Para hacer wronskianos en Cauchy-Euler, dejar derivada mayor con coeficiente 1.
