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MATEMÁTICAS – FIME – E201 5
C
CALCULO DIFERENCIAL
𝑥
𝑛
𝑛− 1
𝑥
[𝑢 ∗ 𝑣] = 𝑢𝐷
𝑥
𝑥
𝑥
[
𝑢
𝑣
] =
𝑣𝐷 𝑥
𝑢−𝑢𝐷 𝑥
𝑣
𝑣
2
𝑥
[𝑙𝑛𝑢] =
1
𝑢
𝑥
𝑥
[
𝑎
]
1
𝑢𝑙𝑛𝑎
𝑥
𝑥
[
𝑢
]
𝑢
𝑥
𝑥
[
𝑢
]
𝑢
ln𝑎𝐷
𝑥
𝑥
[
]
𝑥
𝑥
[
]
𝑥
𝑥
[
]
2
𝑥
𝑥
[
]
2
𝑥
𝑥
[𝑆𝑒𝑐𝑢] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑇𝑎𝑛𝑢𝐷
𝑥
𝑥
[𝐶𝑠𝑐𝑢] = −𝐶𝑠𝑐𝑢𝐶𝑜𝑡𝑢𝐷
𝑥
𝑥
[
]
𝑥
[𝐶𝑜𝑠ℎ𝑢] = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝑥
[
]
2
𝑥
[𝐶𝑜𝑡ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ
2
𝑥
[𝑆𝑒𝑐ℎ𝑢] = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝑥
[𝐶𝑠𝑐ℎ𝑢] = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝑥
[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑢] =
𝐷
𝑥
𝑢
√ 1 −𝑢
2
𝑥
[
]
−𝐷 𝑥
𝑢
√ 1 −𝑢
2
𝑥
[
]
𝐷 𝑥
𝑢
1 + 𝑢
2
𝑥
[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑢] =
−𝐷
𝑥
𝑢
1 + 𝑢
2
𝑥
[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑢] =
𝐷
𝑥
𝑢
| 𝑢
|√ 𝑢
2
− 1
𝑥
[
]
−𝐷
𝑥
𝑢
| 𝑢
|√ 𝑢
2
− 1
𝑥
[
− 1
]
𝐷
𝑥
𝑢
√𝑢
2
𝑥
[
− 1
]
𝐷
𝑥
𝑢
√𝑢
2
− 1
𝑥
[ 𝑇𝑎𝑛ℎ
− 1
𝑢] =
𝐷
𝑥
𝑢
1 − 𝑢
2
𝑥
[
− 1
]
𝐷
𝑥
𝑢
1 − 𝑢
2
𝑥
[
− 1
]
−𝐷
𝑥
𝑢
𝑢 √ 1 −𝑢
2
𝑥
[
− 1
]
−𝐷
𝑥
𝑢
|𝑢|√ 1 −𝑢
2
REGLAS BASICAS DE LA INTEGRACION
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑛
𝑥
𝑛+ 1
𝑛+ 1
CAMBIO DE VARIABLE
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢
ln 𝑎
𝑛
𝑢
𝑛+ 1
𝑛+ 1
En donde u es una función
polinomial o trascendental
𝑙𝑛𝑥
FUNCION LOGARITMICA
𝑑𝑢
𝑢
Propiedades:
Ln (pq) = Ln p + Ln q
Ln e=
Ln (
𝑝
𝑞
) = 𝐿𝑛(𝑝) − 𝐿𝑛(𝑞)
Ln 𝑝
𝑟
FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝑑𝑢 = ln
= −ln|𝐶𝑜𝑠(𝑢)| + 𝐶
𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢)| + 𝐶
= ln|𝑆𝑒𝑛(𝑢)| + 𝐶
𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝑆𝑒𝑐(𝑢) + 𝑇𝑎𝑛(𝑢)| + 𝐶
∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = ln|𝐶𝑠𝑐(𝑢) − 𝐶𝑜𝑡 (𝑢)| + 𝐶
2
2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
2
2
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
𝑑𝑢
√𝑎
2
− 𝑢
2
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
𝑎
2
2
1
𝑎
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
𝑢 √𝑢
2
− 𝑎
2
1
𝑎
− 1
𝑢
𝑎
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS
𝑑𝑢
√𝑎
2
2
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
√𝑢
2
− 𝑎
2
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
𝑢 √𝑎
2
2
− 1
𝑎
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
𝑢 √𝑎
2
− 𝑢
2
− 1
𝑎
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
𝑎
2
− 𝑢
2
1
𝑎
− 1
𝑢
𝑎
𝑑𝑢
√ 𝑢
2
± 𝑎
2
= ln (𝑢 +
2
2
𝑑𝑢
𝑎
2
− 𝑢
2
1
2 𝑎
𝑎+𝑢
𝑎−𝑢
𝑑𝑢
𝑢 √𝑎
2
± 𝑢
2
1
𝑎
𝑎+
√ 𝑎
2
± 𝑢
2
|𝑢|
Forma equivalente de las integrales que dan como resultado
HIPERBÓLICAS INVERSAS
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Forma Sustitución la raíz se sustituye por:
2
2
u= aSen𝜃 aCos𝜃
2
2
u= aTan𝜃 aSec𝜃
2
2
u= aSec𝜃 aTan𝜃
INTEGRAL POR PARTES
CASOS TRIGONOMÉTRICOS
𝑛
𝑛
CASO I.
En donde n es entero impar positivo
Expresar:
𝑛
𝑛− 1
Usar: 𝑺𝒆𝒏
𝟐
𝟐
𝑛
𝑛− 1
Usar: 𝑪𝒐𝒔
𝟐
𝟐
CASO II :
𝑛
𝑚
En donde al menos un exponente es entero impar
positivo, utilizar:
𝟐
𝟐
de manera similar al CASO I
NOTA: Si los dos exponentes son enteros impares
positivos se cambia el impar menor
2
CASO III. Factores cuadráticos distintos.
A cada factor cuadrático (𝑎𝑥
2
corresponde una fracción de la forma
1
1
2
𝑘
𝑘
2
𝑘
CASO IV. Factores cuadráticos repetidos.
A cada factor cuadrático repetido (𝑎𝑥
2
𝑘
le
corresponde la suma de k fracciones parciales de la
forma:
TEOREMAS DE SUMATORIAS
Sean m y n enteros positivos, c = constante
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
[
]
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝒎+𝟏
𝒎
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
𝟐
𝒏
( 𝒏+𝟏
) (𝟐𝒏+𝟏)
𝟔
𝒏
𝒊=𝟏
𝟑
[
𝒏(𝒏+𝟏)
𝟐
]
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
SUMA DE RIEMANN
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑏
𝑎
𝑏−𝑎
𝑛
𝑖
FRACCIONES PARCIALES
CASO I: Factores lineales distintos.
A cada factor lineal (ax + b) le corresponde una
fracción de la forma:
1
2
2
𝑘
𝑘
CASO II: Factores lineales repetidos.
A cada factor lineal repetido (ax + b)
𝑘
. Le
corresponde la suma de k fracciones parciales de
la forma:
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
1
𝐶𝑠𝑐(𝑢)
Csc(𝑢) =
1
𝑆𝑒𝑛(𝑢)
1
𝑆𝑒𝑐(𝑢)
1
𝐶𝑜𝑠(𝑢)
1
𝐶𝑜𝑡(𝑢)
1
𝑇𝑎𝑛(𝑢)
FORMA DE COCIENTE
𝑆𝑒𝑛(𝑢)
𝐶𝑜𝑠(𝑢)
𝐶𝑜𝑠(𝑢)
𝑆𝑒𝑛(𝑢)
PITAGÓRICAS
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ANGULO DOBLE
Sen2u= 2Sen(u)Cos(u)
Cos2u = 𝐶𝑜𝑠
2
2
2
1 −cos( 2 𝑢)
2
2
1 +cos( 2 𝑢)
2
IDENTIDADES HIPERBÓLICAS
2
2
2
2
2
2
𝑠𝑒𝑛ℎ( 2 𝑢) = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑢)cosh(𝑢)
cosh( 2 𝑢) = 𝑐𝑜𝑠ℎ
2
2
2 tanh(𝑢)
1 +𝑡𝑎𝑛ℎ
2
(𝑢)
2
𝑐𝑜𝑠ℎ( 2 𝑢)− 1
2
2
𝑐𝑜𝑠ℎ
( 2 𝑢
)
2
𝑒
𝑥
−𝑒
−𝑥
2
𝑒
𝑥
+𝑒
−𝑥
2
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
𝐶.𝑂.
𝐻𝑖𝑝
𝐶.𝐴.
𝐶.𝑂.
𝐶.𝐴.
𝐻𝑖𝑝
𝐻𝑖𝑝.
𝐶.𝐴.
𝐶.𝑂.
𝐶.𝐴.
𝐻𝑖𝑝.
𝐶.𝑂.
𝐶𝑜𝑠(−𝐵) = cos(𝐵)
𝑠𝑒𝑛
( 0
) = 0
𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0
𝑠𝑒𝑛( 2 𝜋) = 0
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0
𝑠𝑒𝑛 [( 2 𝑛 ± 1 )
𝜋
2
] = −(− 1 )
𝑛
= (− 1 )
𝑛+ 1
𝑠𝑒𝑛 [( 1 ± 2 𝑛)
𝜋
2
] = −(− 1 )
𝑛
= (− 1 )
𝑛+ 1
𝑐𝑜𝑠( 0 ) = 1
𝑐𝑜𝑠(𝜋) = − 1
𝑐𝑜𝑠( 2 𝜋) = 1
𝑐𝑜𝑠( 2 𝑛𝜋) = 1
𝑐𝑜𝑠 [
( 2 𝑛 ± 1
)
𝜋
2
] = 𝑐𝑜𝑠 [
( 1 ± 2 𝑛
)
𝜋
2
] = 0
𝑐𝑜𝑠(−𝑛𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (− 1 )
𝑛
𝑠𝑒𝑛 [( 1 ± 4 𝑛)
𝜋
2
] = 1
𝐶𝑜𝑠 [( 1 ± 4 𝑛)
𝜋
2
] = 0
VALORES IMPORTANTES DEL SENO Y COSENO
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) = 1
𝑠𝑒𝑛 (
3
2
𝜋) = − 1
𝑠𝑒𝑛(−𝑛𝜋) = −𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) = 0
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
) = 0
𝑐𝑜𝑠 (
3
2
𝜋) = 0
𝑐𝑜𝑠( 2 𝑛 − 1 )𝜋 = − 1
𝑆𝑒𝑛( 2 𝑛 − 1 )𝜋 = 0
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋) = (− 1 )
𝑛
𝑐𝑜𝑠
( 1 ± 𝑛
) 𝜋 = −(− 1 )
𝑛
𝑒
±𝑗𝑡
= cos
( 𝑡
) ± 𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑆𝑒𝑛 (𝑡) =
1
2 𝑗
(𝑒
𝑗𝑡
− 𝑒
−𝑗𝑡
)
𝐶𝑜𝑠 (𝑡) =
1
2
(𝑒
𝑗𝑡
−𝑗𝑡
)
𝑚
𝑛
𝑚+𝑛
𝑎
𝑏
𝑚
𝑎
𝑚
𝑏
𝑚
𝑚
𝑛
𝑚𝑛
−𝑛
1
𝑎
𝑛
𝑚
𝑚
𝑚
𝑝
𝑞
= √
𝑝
𝑞
𝑎
𝑚
𝑎
𝑛
𝑚−𝑛
0
𝑎
𝑚
𝑎
𝑛
1
𝑎
𝑛−𝑚
LEYES DE EXPONENTES
TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES
f(t) F(s)
C
t
𝟐
𝒏
𝒏+𝟏
𝒂𝒕
𝟐
𝟐
Cos at
𝒔
𝒔
𝟐
𝟐
, 𝒔 > 0
Senh at
𝟐
𝟐
Cosh at
𝟐
𝟐
𝒏
𝒂𝒕
𝒏!
(𝒔 − 𝒂)
𝒏+𝟏
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS
ELEMENTALES
F(s) f(t)
C
𝟐
t
𝒏+𝟏
𝒏
𝒂𝒕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Cos at
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Cosh at
𝒏+𝟏
𝒏
𝒂𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
𝟐
𝟐
𝒃𝒕
ℒ{𝑓
(𝑛)
(𝑡)} = 𝑠
𝑛
𝐹(𝑠) − 𝑠
𝑛− 1
𝐹( 0 ) − 𝑠
𝑛− 2
𝐹′( 0 )
− ⋯ − 𝑠𝐹
(𝑛− 2 )
( 0 ) − 𝐹
(𝑛− 1 )
( 0 )
ℒ {∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
} =
𝐹(𝑠)
𝑠
ℒ
{ 𝑡
𝑛
𝑓
( 𝑡
)}
( − 1
)
𝑛
𝐹
𝑛
(𝑠)
ℒ
− 1
{𝐹(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒
𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
ℒ
− 1
{𝐹
𝑛
(𝑠)} =
( − 1
)
𝑛
𝑡
𝑛
𝑓(𝑡)
ℒ
− 1
{
𝐹(𝑠)
𝑠
𝑛
} = ∫ … ∫ 𝑓
( 𝑡
) 𝑑𝑡 … 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑡
0
ℒ
− 1
{ 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)
} = ∫ 𝑓(𝑢)𝑔(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
= ∫ 𝑔(𝑢)𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
0
Transformada de la derivada
Transformada de la Integral
Multiplicación por 𝐭
𝐧
Primera Propiedad de Traslación
Transformada Inversa de la Derivada
División por s
Teorema de Convolución o Transformada
Inversa del Producto
Si ℒ
− 1
{ 𝐹
( 𝑠
)} = 𝑓
( 𝑡
) 𝑦 ℒ
− 1
{ 𝐺
( 𝑠
)} = 𝑔
( 𝑡
) ,
entonces:
