Reducción de orden
Siempre podemos escribir una ecuación homogénea de segundo
orden de la forma:
𝑦′′ +𝑝(𝑥)𝑦′+𝑞(𝑥)𝑦 = 0
Si tenemos que 𝑦1 es solución, entonces
𝑦2= 𝑦1∫𝑒−∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑦1
2𝑑𝑥
También es solución.
Ecuaciones homogéneas
PASO 1. Encontramos la ecuación característica.
PASO 2. Encontramos las raíces 𝑟1 y 𝑟2
PASO 3. Formamos las soluciones 𝑦1 y 𝑦2 y con ellas la solución
general:
CASO 1. RAÍCES REALES Y DISTINTAS En este caso la solución
general será 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥+𝑐2𝑒𝑟2𝑥
CASO 2. RAÍCES REALES REPETIDAS En este caso la solución
general será 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥+𝑐2𝑥𝑒𝑟2𝑥
CASO 3. RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS En este caso la
solución general será 𝑦 = 𝑐1𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥+𝑐2𝑒𝛼𝑥 sen𝛽𝑥
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
Coeficientes indeterminados 𝑎(𝑥)𝑦′′ +𝑏(𝑥)𝑦′+𝑐(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥)
Paso 1: Calcular 𝑦ℎ (La solución general de la ecuación homogénea
relacionada)
Paso 2: Encontrar 𝑦𝑝 (una solución particular de acuerdo a 𝑟(𝑥))
Paso 3: La solución general de la ecuación es: 𝑦 = 𝑦ℎ+𝑦𝑝
Método de Variación de parámetros.
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea.
Paso 2. Consideramos una solución particular donde cambiamos las
constantes de la solución a la ecuación homogénea por funciones.
Paso 3. Encontramos los valores de las funciones 𝑢1 y 𝑢2
𝑦′′ +𝑝(𝑥)𝑦′+𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦ℎ= 𝑐1𝑦1(𝑥)+𝑐2𝑦2(𝑥)
𝑦𝑝= 𝑢1𝑦1+𝑢2𝑦2
𝑢1= −∫𝑦2𝑓(𝑥)
𝑊𝑑𝑥 donde: 𝑊 = |𝑦1𝑦2
𝑦1
′𝑦2
′|
𝑢2=∫𝑦1𝑓(𝑥)
𝑊𝑑𝑥 𝑦 = 𝑦ℎ+𝑦𝑝
Ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler
𝑎𝑥2𝑦′′ +𝑏𝑥𝑦′+𝑐𝑦 = 0
Siempre las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler tienen una
solución de la forma 𝑦 = 𝑥𝑟 restringimos los valores a 𝑥 > 0 Así que:
Paso 1. Encontramos las derivadas de 𝑦 = 𝑥𝑟
Paso 2. Sustituimos en la ecuación original y factorizamos 𝑥𝑟
Paso 3. Encontramos los valores de 𝑟 y con ellos definimos 𝑦1 y 𝑦2
OJO: Si 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (complejo), entonces:
𝑦1= 𝑥𝑎cos(𝑏ln𝑥) 𝑦2= 𝑥𝑎sin (𝑏 ln𝑥)
Paso 4. La solución general será: 𝑦 = 𝐶1𝑦1+𝐶2𝑦2
