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formulario para examen parcial de ecuaciones diferenciales
Tipo: Resúmenes
1 / 1
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Reducción de orden
Siempre podemos escribir una ecuación homogénea de segundo
orden de la forma:
′′
′
Si tenemos que 𝑦 1
es solución, entonces
2
1
− ∫
𝑝(𝑥)𝑑𝑥
1
2
También es solución.
Ecuaciones homogéneas
PASO 1. Encontramos la ecuación característica.
PASO 2. Encontramos las raíces 𝑟 1
y 𝑟
2
PASO 3. Formamos las soluciones 𝑦 1
y 𝑦
2
y con ellas la solución
general:
CASO 1. RAÍCES REALES Y DISTINTAS En este caso la solución
general será 𝑦 = 𝑐 1
𝑟
1
𝑥
2
𝑟
2
𝑥
CASO 2. RAÍCES REALES REPETIDAS En este caso la solución
general será 𝑦 = 𝑐 1
𝑟 1
𝑥
2
𝑟 2
𝑥
CASO 3. RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS En este caso la
solución general será 𝑦 = 𝑐 1
𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 + 𝑐
2
𝛼𝑥
sen 𝛽𝑥
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
Coeficientes indeterminados 𝑎
′′
′
Paso 1: Calcular 𝑦 ℎ
(La solución general de la ecuación homogénea
relacionada)
Paso 2: Encontrar 𝑦 𝑝
(una solución particular de acuerdo a 𝑟(𝑥))
Paso 3: La solución general de la ecuación es: 𝑦 = 𝑦 ℎ
𝑝
Método de Variación de parámetros.
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea.
Paso 2. Consideramos una solución particular donde cambiamos las
constantes de la solución a la ecuación homogénea por funciones.
Paso 3. Encontramos los valores de las funciones 𝑢
1
y 𝑢
2
′′
′
ℎ
1
1
2
2
𝑝
1
1
2
2
1
𝑦
2
𝑓(𝑥)
𝑊
𝑑𝑥 donde: 𝑊 = |
1
2
1
′
2
′
2
𝑦 1
𝑓(𝑥)
𝑊
ℎ
𝑝
Ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler
2
′′
′
Siempre las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler tienen una
solución de la forma 𝑦 = 𝑥
𝑟
restringimos los valores a 𝑥 > 0 Así que:
Paso 1. Encontramos las derivadas de 𝑦 = 𝑥
𝑟
Paso 2. Sustituimos en la ecuación original y factorizamos 𝑥
𝑟
Paso 3. Encontramos los valores de 𝑟 y con ellos definimos 𝑦
1
y 𝑦
2
OJO: Si 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (complejo), entonces:
1
𝑎
cos(𝑏 ln 𝑥) 𝑦
2
𝑎
sin (𝑏 ln 𝑥)
Paso 4. La solución general será: 𝑦 = 𝐶
1
1
2
2