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Introducción a las Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones, Resúmenes de Ecuaciones Diferenciales

formulario para examen parcial de ecuaciones diferenciales

Tipo: Resúmenes

2019/2020

Subido el 31/05/2024

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refugio-mora 🇲🇽

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Reducción de orden
Siempre podemos escribir una ecuación homogénea de segundo
orden de la forma:
𝑦′′ +𝑝(𝑥)𝑦+𝑞(𝑥)𝑦 = 0
Si tenemos que 𝑦1 es solución, entonces
𝑦2= 𝑦1𝑒𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑦1
2𝑑𝑥
También es solución.
Ecuaciones homogéneas
PASO 1. Encontramos la ecuación característica.
PASO 2. Encontramos las raíces 𝑟1 y 𝑟2
PASO 3. Formamos las soluciones 𝑦1 y 𝑦2 y con ellas la solución
general:
CASO 1. RAÍCES REALES Y DISTINTAS En este caso la solución
general será 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥+𝑐2𝑒𝑟2𝑥
CASO 2. RAÍCES REALES REPETIDAS En este caso la solución
general será 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥+𝑐2𝑥𝑒𝑟2𝑥
CASO 3. RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS En este caso la
solución general será 𝑦 = 𝑐1𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥+𝑐2𝑒𝛼𝑥 sen𝛽𝑥
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
Coeficientes indeterminados 𝑎(𝑥)𝑦′′ +𝑏(𝑥)𝑦+𝑐(𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥)
Paso 1: Calcular 𝑦 (La solución general de la ecuación homogénea
relacionada)
Paso 2: Encontrar 𝑦𝑝 (una solución particular de acuerdo a 𝑟(𝑥))
Paso 3: La solución general de la ecuación es: 𝑦 = 𝑦+𝑦𝑝
Método de Variación de parámetros.
Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea.
Paso 2. Consideramos una solución particular donde cambiamos las
constantes de la solución a la ecuación homogénea por funciones.
Paso 3. Encontramos los valores de las funciones 𝑢1 y 𝑢2
𝑦′′ +𝑝(𝑥)𝑦+𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦= 𝑐1𝑦1(𝑥)+𝑐2𝑦2(𝑥)
𝑦𝑝= 𝑢1𝑦1+𝑢2𝑦2
𝑢1= 𝑦2𝑓(𝑥)
𝑊𝑑𝑥 donde: 𝑊 = |𝑦1𝑦2
𝑦1
𝑦2
|
𝑢2=𝑦1𝑓(𝑥)
𝑊𝑑𝑥 𝑦 = 𝑦+𝑦𝑝
Ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler
𝑎𝑥2𝑦′′ +𝑏𝑥𝑦+𝑐𝑦 = 0
Siempre las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler tienen una
solución de la forma 𝑦 = 𝑥𝑟 restringimos los valores a 𝑥 > 0 Así que:
Paso 1. Encontramos las derivadas de 𝑦 = 𝑥𝑟
Paso 2. Sustituimos en la ecuación original y factorizamos 𝑥𝑟
Paso 3. Encontramos los valores de 𝑟 y con ellos definimos 𝑦1 y 𝑦2
OJO: Si 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (complejo), entonces:
𝑦1= 𝑥𝑎cos(𝑏ln𝑥) 𝑦2= 𝑥𝑎sin (𝑏 ln𝑥)
Paso 4. La solución general será: 𝑦 = 𝐶1𝑦1+𝐶2𝑦2

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¡Descarga Introducción a las Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones y más Resúmenes en PDF de Ecuaciones Diferenciales solo en Docsity!

Reducción de orden

Siempre podemos escribir una ecuación homogénea de segundo

orden de la forma:

′′

Si tenemos que 𝑦 1

es solución, entonces

2

1

− ∫

𝑝(𝑥)𝑑𝑥

1

2

También es solución.

Ecuaciones homogéneas

PASO 1. Encontramos la ecuación característica.

PASO 2. Encontramos las raíces 𝑟 1

y 𝑟

2

PASO 3. Formamos las soluciones 𝑦 1

y 𝑦

2

y con ellas la solución

general:

CASO 1. RAÍCES REALES Y DISTINTAS En este caso la solución

general será 𝑦 = 𝑐 1

𝑟

1

𝑥

2

𝑟

2

𝑥

CASO 2. RAÍCES REALES REPETIDAS En este caso la solución

general será 𝑦 = 𝑐 1

𝑟 1

𝑥

2

𝑟 2

𝑥

CASO 3. RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS En este caso la

solución general será 𝑦 = 𝑐 1

𝛼𝑥

cos 𝛽𝑥 + 𝑐

2

𝛼𝑥

sen 𝛽𝑥

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Coeficientes indeterminados 𝑎

′′

Paso 1: Calcular 𝑦 ℎ

(La solución general de la ecuación homogénea

relacionada)

Paso 2: Encontrar 𝑦 𝑝

(una solución particular de acuerdo a 𝑟(𝑥))

Paso 3: La solución general de la ecuación es: 𝑦 = 𝑦 ℎ

𝑝

Método de Variación de parámetros.

Paso 1. Resolvemos la ecuación homogénea.

Paso 2. Consideramos una solución particular donde cambiamos las

constantes de la solución a la ecuación homogénea por funciones.

Paso 3. Encontramos los valores de las funciones 𝑢

1

y 𝑢

2

′′

1

1

2

2

𝑝

1

1

2

2

1

𝑦

2

𝑓(𝑥)

𝑊

𝑑𝑥 donde: 𝑊 = |

1

2

1

2

2

𝑦 1

𝑓(𝑥)

𝑊

𝑝

Ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler

2

′′

Siempre las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler tienen una

solución de la forma 𝑦 = 𝑥

𝑟

restringimos los valores a 𝑥 > 0 Así que:

Paso 1. Encontramos las derivadas de 𝑦 = 𝑥

𝑟

Paso 2. Sustituimos en la ecuación original y factorizamos 𝑥

𝑟

Paso 3. Encontramos los valores de 𝑟 y con ellos definimos 𝑦

1

y 𝑦

2

OJO: Si 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (complejo), entonces:

1

𝑎

cos(𝑏 ln 𝑥) 𝑦

2

𝑎

sin (𝑏 ln 𝑥)

Paso 4. La solución general será: 𝑦 = 𝐶

1

1

2

2