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Ing. Luis Alberto Cobacango L. Mg. Mat.

PRESENTACIÓN

Es un honor como Docente de la Universidad Técnica de Manabí, presentar

al estudiantado de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicas y

Químicas este compendio de Fórmulas de algunas de las ramas de las

Matemáticas, que a veces son un poco temidas por nuestros estudiantes.

El presente documento que va dirigido especialmente a ellos, es una fuente

de fácil consulta, basado en la experiencia de algunos años de compartir

materias relacionadas con las Matemáticas.

Esta herramienta que pretende ser de mucha utilidad en su carrera como

estudiante de Ingeniería, espero sea de mucha ayuda a todos ustedes y a

todo profesional que necesite un documento que le proporcione de forma

ágil, la información básica de algunas partes de las Matemáticas como por

ejemplo: Álgebra, Geometría Analítica, Trigonometría, Cálculo Diferencial

y el Cálculo Integral.

LUIS ALBERTO COBACANGO LORA

ÍNDICE

• ÁLGEBRA
• GEOMETRÍA ANALÍTICA
• TRIGONOMETRÍA
• CÀLCULO INTEGRAL
• BIBLIOGRAFÍA

 Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base, pero con exponente positivo.

𝑎−𝑝^ =

 Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m. equivale a una raíz:

𝑎

𝑛 ⁄𝑚 = √𝑎𝑛 𝑚

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00

que, en principio, no está definido.

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales,

complejos o incluso matriciales.

Propiedades de la Potenciación

Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la

unidad (1), puesto que:

𝑎^1

𝑎^1

= 𝑎1−1^ = 𝑎^0

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

𝑎^1 = 𝑎

Ejemplo:

541 = 54

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la

misma expresión, pero con exponente positivo:

𝑎−𝑛^ = 𝑎𝑜−𝑛^ =

𝑎𝑛^

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada

a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman

los exponentes):

am^ ∙ an^ = am+n

Ejemplo:

93 ∙ 92 = 93+2^ = 9^5

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la

resta de los exponentes respectivos:

𝑎𝑛^

= 𝑎𝑚−𝑛^ , 𝑎 ≠ 0

Ejemplo:

= 95−3^ = 9^2

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados

cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b

y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor

b también elevado a n:

(a. b)n^ = a n^. bn

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas

posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda

si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.

Ejemplos:

10 -5=0. 10 -4=0, 10 -3=0, 10 -2=0, 10 -1=0, 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1. 104 = 10. 105 = 100. 106 = 1.000.

Propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades

de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente

racional.

Ejemplo:

(^4) √𝑥 (^3) = 𝑥 (^3) ⁄ 4

Raíz de un producto

√3^2. 2^4 = √3^2. √3^4 =√9 ∙ √16 = 3.4 = 12

o también se puede hacer de esta manera:

√3^2. 2^4 = √9.16 = √144 = 12

Raíz de un cociente

El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del

numerador entre la raíz del denominador.

𝑎 𝑏

𝑛

𝑎1/𝑛 𝑏1/𝑛=

𝑛 √𝑎 𝑛 √𝑏 , b≠ 0

Con n distinto de cero (0).

Ejemplo:

√^

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a

potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

𝑥^3

𝑦^9

3

3 3

𝑦

9 3

𝑦^3

Ejemplo:

(√𝑎^2

4 )^8 = (𝑎

2 (^4) )^8 = √𝑎^416 =𝑎^4

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se

conserva la cantidad subradical.

√ √𝑎^ 𝑚

𝑛 = 𝑛.𝑚√𝑎

Con n y m distintos de cero (0).

Ejemplo:

√√5^93 = (^27) √

Factorización de polinomios Notables

𝑥^2 − 𝑦^2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)

𝑥^3 + 𝑦^3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥^2 − 𝑥𝑦 + 𝑦^2 )

𝑥^3 − 𝑦^3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥^2 + 𝑥𝑦 + 𝑦^2 )

Teorema del binomio

(𝑥 + 𝑦)^2 = 𝑥^2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦^2

(𝑥 − 𝑦) = 𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2

(𝑥 + 𝑦)^3 = 𝑥^3 + 3𝑥^2 𝑦 + 3𝑥𝑦^2 + 𝑦^3

(𝑥 − 𝑦)^3 = 𝑥^3 − 3𝑥^2 𝑦 + 3𝑥𝑦^2 − 𝑦^3

(𝑥 + 𝑦)𝑛^ = 𝑥𝑛^ + 𝑛𝑥𝑛−1^ 𝑦 +

𝑛(𝑛 − 1) 2 𝑥𝑛−2𝑦^2 + ⋯ + ( 𝑛 𝑘) 𝑥

𝑛−𝑘𝑦𝑘 (^) + ⋯ + 𝑛𝑥𝑦𝑛−1 (^) + 𝑦𝑛

donde: ( 𝑛 𝑘) =^

𝑛(𝑛−1)⋯(𝑛−𝑘+1) 1.2.3…𝑘

VALOR ABSOLUTO

|𝑥| = {

MATRICES

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos

en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila

y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de

una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,…Si la matriz

tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2,

3, …

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por 𝐴𝑚𝑥𝑛 o

(𝑎𝑖𝑗), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y

en la columna j, por 𝑎𝑖𝑗.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los

elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Ejemplos de matrices:

) 2 x 2 (cuadrada)^ 2. (

) 3 x 3 (cuadrada)

) 2 x 3 4. (

) matriz 0 de 2 x 4

) 3 x 2

Los vectores pueden ser vistos como casos especiales de matrices.

El siguiente ejemplo es una matriz cuadrada de orden 3, está formada por 3

filas y 3 columnas:

Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

(

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la

diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la

diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por

debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la

diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la

diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se

obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas y se denota

por 𝐴𝑡.

Si A=(

), entonces la traspuesta es:^ 𝐴𝑡^ = (

Propiedades:

(𝐴𝑡)𝑡^ = 𝐴

(𝐴 + 𝐵)𝑡^ = 𝐴𝑡^ + 𝐵𝑡

(𝑎. 𝐴)𝑡^ = 𝑎. 𝐴𝑡 (𝐴. 𝐵)𝑡^ = 𝐵𝑡. 𝐴𝑡

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Definición.- Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑦 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) dos matrices de m x n.

La suma de A y B es la matriz A + B de m x n dada por:

donde:

𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 = (

𝑎 11 𝑎 12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

) y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 = (

𝑏 11 𝑏 12 ⋯ 𝑏1𝑛 𝑏 21 𝑏 22 ⋯ 𝑏2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 ⋯ 𝑏𝑚𝑛

)

Es decir que, A + B es la matriz de m x n obtenida al sumar las

componentes correspondientes de A y B.

NOTA: La suma de dos matrices está definida solamente cuando ambas

matrices tienen el mismo tamaño. Así, por ejemplo, no es posible sumar

entre las matrices:

(^5 3

Ejemplos:

Sumar

Multiplicación de una matriz por un escalar

Definición.- Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) es una matriz de m x n y si 𝛼 es un escalar,

entonces la matriz 𝛼𝐴 de m x n está dada por:

Es decir que 𝛼𝐴 = (𝛼𝑎𝑖𝑗) es la matriz que se obtiene multiplicando por 𝛼

cada componente de A.

Ejemplo:

Multiplicar

Producto de vectores y matrices

En esta parte veremos cómo se multiplican dos matrices entre sí.

Empezaremos definiendo el producto escalar de dos vectores.

Producto escalar de dos vectores

Definición.-

Sean: 𝑎 = (

) dos n vectores

Entonces el producto escalar de a y b, notado por a.b, está dado por:

𝑎. 𝑏 = 𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏𝑛

Es decir, el producto escalar de dos vectores es conocido frecuentemente

como producto punto de los vectores. Este producto escalar de dos

n-vectores es un escalar (número).