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Cap. VI Flujos Internos
El conjunto de ecuaciones para un flujo newtoniano incompresible tiene solución exacta
en muy pocos casos que se estudiarán en este capítulo. Los pasos a seguir para resolver
un problema de este tipo son:
- plantear la dependencia esperada de las componentes de la velocidad con las
variables independientes.
- simplificar las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento de acuerdo a
las hipótesis anteriores, observando si la ecuación de continuidad simplificada
aporta alguna información que permite simplificar aún más las ecuaciones de
conservación de momento lineal.
- plantear las ecuaciones de borde e iniciales y resolver las ecuaciones diferenciales
comenzando por las más simples.
En general los problemas de solución exacta son aquellos con flujos unidireccionales que
están descriptos por
Flujos Poiseuille entre placas planas
Este flujo se origina entre dos placas muy grandes separadas por una distancia
relativamente pequeña debido a una diferencia de presión entre la entrada y la salida. Se
pretende encontrar el perfil de velocidad que se genera entre las placas en la región de
flujo desarrollado es decir lejos de los bordes de las placas de entrada y salida del fluido.
Condiciones de la solución buscada:
- flujo isotérmico
- flujo en estado estacionario
- flujo desarrollado entre x = 0 y x = L.
- flujo newtoniano incompresible
El movimiento del fluido queda descripto por el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales
Las condiciones bajo las cuales se resuelve el problema permite plantear la dependencia
de las variables ( V y P ) con respecto de las variables independientes ( x, y, z, t ). Por lo
tanto, para un flujo desarrollado el perfil de velocidad será el mismo para todo x, mientras
que la presión varía con x generando un flujo en esa dirección. No hay motivo para que
exista un movimiento del fluido en la dirección transversal y ni z.
Comenzando con el punto 1) para resolver el sistema de ecuaciones, se plantea la
dependencia esperada de las variables:
De esta manera, simplificando las ecuaciones (Punto 2) todas las derivadas temporales
serán nulas en virtud del estado estacionario, todos los términos que involucren derivadas
de las componentes vy y vz serán nulos porque estas son constantes, todos los términos
que involucren productos con vy y vz también serán nulos porque éstas son cero y los
términos que impliquen derivadas de vx respecto a y y z también serán cero.
Luego queda:
De esta manera se verifica flujo desarrollado.
2 2 2 1 8
x
H P y v L H
^ = (^) − (^) −
(^)
- Perfil parabólico de la velocidad con máximo en y = 0.
- P < 0, flujo producido por la caída de presión.
Velocidad promedio:
El valor promedio de una variable se calcula integrando la variable en un
intervalo determinado y dividiendo por el tamaño de ese intervalo, es decir:
/ 2^2
/ 2
1 d
12
H
x H
H P V v y
H − L
= = −
Es decir que
2
_
3 2 3 1 siendo 2 2
x x Max
y v V v V H
= (^) − (^) =
^
Caudal:
Se calcula integrando la velocidad sobre el área transversal al flujo,
equivalente a multiplicar la velocidad promedio por al ares transversal:
3
12
WH P Q A V WH V L
= = = (^) −
Lo que muestra que el caudal de fluidos newtonianos entre placas planas es
directamente proporcional al gradiente de presión.
Tensiones:
Este es un flujo de corte puro que solo genera tensiones de corte en el plano
( x,y ).
2
2
x xy yx
dv H P y P
y
dy L H L
^
La tensión de corte es nula en el centro (donde la velocidad es máxima) y
aumenta linealmente hacia las paredes.
Vector velocidad de rotación:
1 la única componente es
1
y (^) x z
z
dv (^) dv P y dx dy L
P y L
= = − = −
= −
ω V
ω
Es positivo si y > 0, negativo si y < 0.
Es decir que las partículas de la mitad superior del flujo se trasladan en un
camino recto rotando sobre si mismas en el sentido anti horario (z) por efecto
del rozamiento con las partículas vecinas. De la misma manera, las partículas
de la mitad inferior del flujo entre las placas se trasladan en un camino recto
rotando sobre si mismas en el sentido horario (-z) por efecto del rozamiento
con las partículas vecinas.
Flujos Couette entre placas planas
Puede determinarse que la presión es una función únicamente de x y la
componente vx como una función exclusiva de y. Volviendo al BCM en x :
Obsérvese que en la ecuación diferencial precedente, la única posibilidad que
una función de x sea igual a una función de y es que ambas sean una
constante. Aplicando el método de separación de variables y junto con las
condiciones de borde
vx = U en y = H
vx = 0 en y = 0
p = constante entre x = 0 - L
Resolviendo primero la ecuación de la presión es posible determinar la constate K.
dp P
K dp Kdx K
dx L
Reemplazando el valor de K
2 2
2 0 ,^2 0,^1 2 ,
x x x
d v d v
v C y C
dy dy
= = = +
Perfil de velocidad para flujo couette x
U
v y H
Flujos Combinado entre placas planas
Se pretende encontrar el perfil de velocidad que se genera entre dos placas planas
cuando una de ellas se mueve a velocidad constante U y considerando un gradiente P
de presión entre la entrada y la salida.
Condiciones de la solución buscada:
- flujo isotérmico
- flujo en estado estacionario
- flujo desarrollado entre x = 0 y x = L.
- flujo newtoniano incompresible
El movimiento del fluido queda descripto por el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales
Obsérvese que en la ecuación diferencial precedente, la única posibilidad que
una función de x sea igual a una función de y es que ambas sean una
constante. Aplicando el método de separación de variables y junto con las
condiciones de borde
vx = 0 en y = 0
vx = U en y = H
p = P 0 en x = 0
p = PL en x = L
Resolviendo primero la ecuación de la presión es posible determinar la constate K.
dp P
K dp Kdx K
dx L
Reemplazando el valor de K
2 2 2 1 2
x x
d v P P
v y C y C
dy L L
Aplicando las condiciones de borde y reordenando:
2 2
2 2
x
U H P y y v y H L H H
^ = + (^) − (^) −
Flujos Poiseuille en una cañería
Este es el flujo se origina en el interior de una cañería debido a una diferencia de presión
entre la entrada y la salida. Se pretende encontrar el perfil de velocidad que se genera en
la región de flujo desarrollado, es decir lejos de los bordes de entrada y salida del fluido.
Considerar que R << L.
Condiciones de la solución buscada:
- flujo isotérmico
- flujo en estado estacionario
- flujo desarrollado entre z = 0 y z = L.
- flujo newtoniano incompresible
El movimiento del fluido queda descripto por el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales en coordenadas cilíndricas
Las condiciones bajo las cuales se resuelve el problema permiten plantear la dependencia
de las variables ( V y P ) con respecto de las variables independientes ( r, , z, t ). Por lo
tanto, para un flujo desarrollado el perfil de velocidad será el mismo para todo z, mientras
que la presión varía con z generando un flujo en esa dirección. No hay motivo para que
exista un movimiento del fluido en la dirección transversal r ni .
Comenzando con el punto 1) para resolver el sistema de ecuaciones, se plantea la
dependencia esperada de las variables:
vr = 0 , vz = f (^) ( ) r , v = 0
De esta manera, simplificando las ecuaciones (Punto 2) todas las derivadas temporales
serán nulas en virtud del estado estacionario, todos los términos que involucren derivadas
de las componentes vr y v serán nulos porque estas son constantes, todos los términos
que involucren productos con vr y v también serán nulos porque éstas son cero y los
términos que impliquen derivadas de vz respecto a r y también serán cero.
La ecuación de continuidad:
De esta manera se verifica flujo desarrollado.
Despreciando las fuerzas de volumen debido a la gravedad, las ecuaciones simplificadas
son:
Comenzamos a resolver las más sencillas:
- Perfil parabólico de la velocidad con máximo en r = 0.
- P < 0, flujo producido por la caída de presión.
Velocidad promedio:
El valor promedio de una variable se calcula integrando la variable en un
intervalo determinado y dividiendo por el tamaño de ese intervalo, es decir:
2
2 0
1 2 dr 8
R
z
R P V v r R L
= = −
Es decir que
2
z^2 1 siendo^ z _ Max^2
r v V v V R
= (^) − (^) =
^
Caudal:
Se calcula integrando la velocidad sobre el área transversal al flujo,
equivalente a multiplicar la velocidad promedio por al ares transversal:
4 2
8
R P Q A V R V L
= = = (^) −
Lo que muestra que el caudal de fluidos newtonianos en una cañería es
directamente proporcional al gradiente de presión.
Tensiones:
Este es un flujo de corte puro que solo genera tensiones de corte en el plano
( r,z ).
2
2
2 1
4 2
z rz zr
dv R P r P r dr L R L
^ = = − = − − − = −
La tensión de corte es nula en el centro (donde la velocidad es máxima) y
aumenta linealmente hacia las paredes.
Vector velocidad de rotación:
1 la única componente es 2
z
dv P r dr L
= = − = (^) −
ω V
Es siempre positivo. Las partículas se trasladan en un camino recto rotando
sobre si mismas en sentido anti horario () por efecto del rozamiento con las
partículas vecinas.
NOTA: Las soluciones de los tres flujos antes analizados se obtuvieron en
forma exacta y sin condiciones por lo que, en teoría, deberían ser válidas
para cualquier valor de los parámetros de flujo ( , U) y de la geometría (R,
H, L). Sin embargo, en la práctica, existe un límite hasta el cual se observa
que las soluciones anteriores son válidas. Esto es para
Re 2100
UR
=
Para número de Reynolds mayores los flujos son inestables.
Flujo Turbulento
Suponemos que ocurre un flujo turbulento en una tubería siempre que el número de
Reynolds Re > 4000; entre 2000 y 4000 el flujo oscila aleatoriamente entre laminar y
turbulento.
donde T es un incremento de tiempo lo suficientemente grande para eliminar toda la
dependencia en el tiempo de v. En un flujo desarrollado en una tubería vr^^ =^ v =0.
Ecuaciones diferenciales
Antes de reemplazar las componentes de velocidad en las ecuaciones de Navier-Stokes y
de continuidad, se definen algunas características de los valores promedios y de las
fluctuaciones de velocidad. En general (en estado estacionario) la velocidad
( , , , ) ( , , ) ( , , , ). (1) i i i
v x y z t = v x y z + v x y z t
En consecuencia
- El promedio de una fluctuación es v = i 0
2) El promedio de una fluctuación al cuadrado es( )
2 vi ^ 0
- El producto de dos fluctuaciones es v vi j^0
La ecuación de Continuidad en coordenadas cartesianas para un flujo incompresible:
0
u v w
x y z
Reemplazando las componentes de velocidad (1) y aplicando el promedio para eliminar la
dependencia temporal
1 dt 0 2
t T
t T
u v w u v w
T x y z x y z
−
+^ +^ +^ +^ +^ =
En este caso es una ecuación lineal, integrando término por término quedan los primero 3
términos mientras que los últimos 3 desaparecen debido a la propiedad 1) el promedio de
una fluctuación es nula. Por lo tanto, la ecuación de Continuidad para un flujo turbulento
queda:
0 (2)
u v w
x y z
Restando de la ecuación original, se obtiene:
0
u v w
x y z
^ ^
Existe la continuidad de las fluctuaciones.
Balance Cantidad de Movimiento en x en coordenadas cartesianas para un flujo
incompresible:
2 2 2
2 2 2
(3)
1 2 3 4
u u u u p u v w u v w t x y z x x y z
^ (^) + + + = − + + + (^)
Los términos subrayados 1, 3 y 4 son LINEALES, por lo tanto quedan escritos con su
valores promedios al reemplazar las componentes de velocidad (1) y aplicando el
promedio para eliminar la dependencia temporal.
2 2 2
2 2 2
(4)
2
u u u u p u v w u v w t x y z x x y z
(^) + + + = − + + +
El término 2 es NO LINEAL y se debe prestar atención a las propiedades 2) y 3) al
reemplazar las componentes de velocidad por sus valores promedios y fluctuantes.
(5)
u u v w y z
u u x
(^) + +
Por ejemplo, comenzando con el primer término en rojo:
( )( )
u u u u u u u u u u u u u u x x x x x x x
^ ^ = + ^ + = + ^ = +
Reemplazando esto último en la expresión (4) y realizando el mismo procedimiento para
el resto de los términos, se obtiene:
(6)
u u u u v v w w y y z z
u u u u x x
^ (^) + + (^) + +
(7)
u u u u v w v w y z y z
u u u u x x
^ (^) + + + + (^) +
Observamos que los primeros tres términos quedaron en función de sus valores
promedios y los podemos reemplazar en la expresión (4):
La mayoría de los flujos en ingeniería son turbulentos y estos flujos pueden ser
considerados como muy pocos dependientes del tiempo con unas fluctuaciones
superpuestas a la corriente principal estacionaria. De esta manera, sólo es de interés las
magnitudes promediadas en el tiempo en lugar de los detalles de la variación con el
tiempo. Las ecuaciones de Navier-Stokes se resuelven para los valores promediados de
las variables, siendo en definitiva los más interesantes para la mayoría de las
aplicaciones. Esta aproximación, propuesta por Reynolds en 1895, propone un nuevo
sistema de ecuaciones denominado RAMS (Reynolds Averaged Navier-Stokes), muy
parecido al original pero con un término adicional desconocido. Por lo tanto, es necesario
proponer un modelo matemático para modelar el efecto de las tensiones de Reynolds o
turbulentas.
Tensiones Turbulentas:
A la hora de resolver las ecuaciones del flujo principal es necesario emplear un modelo de
turbulencia para tener en cuenta los efectos turbulentos
( ) t ij v vi j =
La opción más simple consiste en establecer una analogía entre los efectos viscosos y los
turbulentos definiendo una viscosidad de remolino de la siguiente manera:
( )
( )
( ) t ( ) t
T
j
i
T i
j
v v
v v
= − +
= − +
Donde la viscosidad turbulenta es simplemente un modelo matemático donde su
parámetro principal es la densidad (debido a que provienen de los efectos inerciales).
El modelo de viscosidad turbulenta debe cumplir con las siguientes características:
- No tiene relación con la viscosidad
- Es una propiedad del flujo que varía con la posición y debe ser modelada.
- Tiene que ser nula en la pared
- Dependerá del número de Reynolds.
Los modelos de viscosidad de Eddy viscoso son ampliamente debido a que:
- Sencillos de implementar
- Viscosidad extra que le otorga estabilidad al sistema
- Fundamento teórico simple.
Modelo de longitud de mezcla:
La hipótesis de longitud de mezclado de Plandtl es el más utilizado en flujos
unidireccionales, en el cual se supone que el movimiento de los remolinos en un campo
de flujo turbulento es análogo al movimiento al azar de las molecular en un gas. A la hora
de resolver las ecuaciones del flujo principal es necesario emplear un modelo de
turbulencia para tener en cuenta los efectos turbulentos
( ) t 2 vx l y
( t ) 2 x x ij
v v l y y
Donde l es la longitud de mezclado. El modelo está basado en la premisa de que un
remolino turbulento desplaza a una partícula de fluido una distancia l.
Recordando que la fluctuación de la velocidad es nula en la pared por la condición de no
desplazamiento,
( ) t
= 0 en la pared, lo cual implica que l = 0 en la pared y debe ser una
función dela posición.
En flujos con condiciones de borde de pared, l es proporcional a la distancia desde la
pared. De esta manera, se obtiene un modelo matemático que no depende de las
fluctuaciones de la velocidad.
Flujos Turbulento en una cañería
Este es el flujo se origina en el interior de una cañería debido a una diferencia de presión
entre la entrada y la salida, donde el Número de Reynolds es superior a 4000. Se
pretende encontrar el perfil de velocidad que se genera en la región de flujo desarrollado,
es decir lejos de los bordes de entrada y salida del fluido. Considerar que R << L.
Condiciones de la solución buscada:
- flujo isotérmico
- flujo en estado estacionario
- flujo desarrollado para los valores promedios entre z = 0 y z = L.
- flujo newtoniano incompresible
La dependencia esperada de las variables es
vz = vz ( ) r vr = 0 v = 0
