Física eléctrica y de cargas electricas, Resúmenes de Física Cuántica

¡Descarga Física eléctrica y de cargas electricas y más Resúmenes en PDF de Física Cuántica solo en Docsity!

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

FÍSICA II

TEORÍA

Termodinámica y Electromagnetismo

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA

AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

TEMA 3.- ELECTROSTÁTICA DEL VACÍO

Cecilio SÁNCHEZ GUILLÉN (Texto) José Carlos JIMÉNEZ SÁEZ (Ilustraciones) Santiago RAMÍREZ DE LA PISCINA MILLÁN (Composición)

• 3. Electrostática del Vacío
  • 3.1. Introducción
  • 3.2. Carga eléctrica
    • 3.2.1. Cuantificación
    • 3.2.2. Dualidad
    • 3.2.3. Conservación
    • 3.2.4. Invariancia relativista
    • 3.2.5. Concepto de carga puntual
  • 3.3. Clasificación de los materiales en cuanto a sus propiedades eléctricas
    • 3.3.1. Materiales conductores
    • 3.3.2. Materiales aislantes o dieléctricos
    • 3.3.3. Materiales semiconductores
  • 3.4. Ley de Coulomb
    • 3.4.1. Ley de Coulomb para dos cargas puntuales
    • 3.4.2. Principio de superposición
  • 3.5. Campo electrostático
    • 3.5.1. Campo electrostático creado por una carga puntual
    • 3.5.2. Campo electrostático creado por un conjunto de cargas puntuales
    • 3.5.3. Comportamiento del campo electrostático con la distancia
    • 3.5.4. Campo electrostático creado por distribuciones continuas de carga
    • 3.5.5. Cálculo del campo electrostático por integración
  • 3.6. Teorema de Gauss
    • 3.6.1. Enunciado del teorema de Gauss
    • 3.6.2. Ángulo sólido
    • 3.6.3. Teorema de Gauss para una carga puntual
    • 3.6.4. Teorema de Gauss para un conjunto de cargas puntuales
    • 3.6.5. Teorema de Gauss para una carga distribuida en un volumen
    • 3.6.6. Forma diferencial del teorema de Gauss
    • 3.6.7. Aplicaciones del teorema de Gauss
  • 3.7. Potencial electrostático
    • 3.7.1. Campos centrales radiales
    • 3.7.2. Potencial electrostático para una carga puntual
    • 3.7.3. Potencial electrostático para un conjunto de cargas puntuales
    • 3.7.4. Potencial electrostático para una distribución continua de carga
    • 3.7.5. Comportamiento del potencial electrostático con la distancia
    • 3.7.6. Continuidad del potencial electrostático
    • 3.7.7. Cálculo de potenciales electrostáticos
  • 3.8. Energía electrostática
    • 3.8.1. Trabajo en un campo electrostático
  • 3.8.2. Energía electrostática de un sistema formado por dos cargas puntuales
  • 3.8.3. Energía electrostática de un sistema formado por N cargas puntuales
  • 3.8.4. Energía electrostática de un sistema de cargas distribuidas en un volumen
  • 3.8.5. Aplicaciones
• 3.9. Ecuaciones de Maxwell en electrostática

Electrostática del Vacío

3.1. Introducción

La teoría electromagnética clásica es la parte de la Física que se ocupa de estudiar los fenómenos asociados con las cargas eléctricas. Estos fenómenos dependen del estado de movimiento de las cargas, dando lugar a las magnitudes vectoriales que conocemos como campos eléctrico, E~ , y de inducción magnética, B~.

Las leyes que permiten estudiar estos fenómenos se concretan en las cuatro ecuaciones de Maxwell, que han demostrado su validez en una amplia escala de dimensiones, desde distancias del orden del tamaño molecular hasta distancias intergalácticas. Algunos fenómenos a escala muy pequeña quedan fuera del ámbito de esta teoría y su explicación requiere recurrir a la teoría cuántica. Por otra parte, la teoría electromagnética es coherente con la teoría especial de la relatividad y contribuyó al desarrollo de ésta última.

Siguiendo el método habitual, comenzaremos estudiando la situación más sencilla, que consiste en considerar que las cargas se encuentran en reposo respecto de un sistema de referencia. A este supuesto se le conoce como “electrostática” y en él aparecen sólo campos eléctricos, pero no campos magnéticos. Estos últimos, presentes cuando las cargas están en movimiento, se estudiarán más adelante.

3.2. Carga eléctrica

La carga eléctrica es una propiedad de la materia, que se puede detectar y medir por los efectos que produce. Dos sistemas con carga eléctrica interaccionan entre sí intercambiando fuerzas. A continuación se exponen las principales propiedades de la carga eléctrica.

3.2.1. Cuantificación

Existe un valor mínimo de la carga eléctrica observable en estado libre, que se denomina “carga elemental”, e. Su valor es:

e = 1_._ 60206 · 10 −^19 C (3.1)

donde el culombio (C) es la unidad de carga en el Sistema Internacional, en el que la carga es una magnitud derivada.

3.2.3. Conservación

En todo sistema cerrado la carga eléctrica total es constante independientemente de los procesos que tengan lugar en su interior (por sistema cerrado se entiende aquel que no intercambia materia con el exterior, y por carga total, la suma de todas las cargas presentes en el sistema, con su signo). La conservación de la carga eléctrica es un hecho observado a todas las escalas, desde subatómicas hasta escalas macroscópicas.

3.2.4. Invariancia relativista

El valor de una carga eléctrica es independiente de su estado de movimiento relativo a un observador. No ocurre lo mismo con la masa. Supongamos que un observador respecto al que una carga dada está en reposo mide un valor de su masa igual a m 0 (“masa en reposo”) y un valor de su carga igual a q 0. Otro observador respecto al que la misma carga se está moviendo con velocidad v mediría los valores:

m =

m 0 √ 1 −

v^2 c^2

; q = q 0 (3.4)

siendo c la velocidad de la luz en el vacío. Es decir, la masa cambia con la velocidad pero la carga no.

3.2.5. Concepto de carga puntual

Por carga puntual se entiende un sistema que almacena una carga neta q pero cuyas dimensiones se asimilan a un punto. Es un concepto análogo al de partícula material puntual. El concepto de carga puntual es una idealización, dado que todas las cargas eléctricas ocupan un cierto volumen en el espacio, pero es útil en ocasiones para simplificar con buena aproximación algunas situaciones que se plantean en teoría electromagnética.

Dado un sistema de carga neta q y que ocupa un volumen v, observado desde distancias del mismo rango que las dimensiones del volumen no se puede considerar como una carga puntual. Sin embargo, a distancias suficientemente grandes respecto de sus dimensiones sí es posible tratarla como si fuera una carga puntual, con tanta mejor aproximación cuanto mayor sea la distancia

3.3. Clasificación de los materiales en cuanto a sus

propiedades eléctricas

3.3.1. Materiales conductores

Materiales conductores son aquellos en los que hay cargas libres que pueden moverse con relativa facilidad por el material. Cuando se aplica en ellos un campo eléctrico, aunque sea

pequeño, las cargas libres positivas se mueven en el sentido del campo y las negativas en el opuesto, colaborando todas en un proceso de conducción que se traduce en corrientes eléctricas por el material. A estas cargas se les suele llamar cargas libres de conducción. Los conductores oponen una cierta resistencia a las corrientes y el valor de esta depende del tipo de material conductor. Cuando se elimina el campo aplicado las cargas móviles buscan sus posiciones de equilibrio en el material, en un proceso transitorio que sucede muy rápidamente.

Los materiales conductores más comunes son los conductores metálicos (metales puros o aleaciones). Están constituidos por átomos fijos, salvo movimiento térmico en torno a sus posiciones de equilibrio, y por una “nube electrónica” constituida por electrones libres que pueden moverse a lo largo del material bajo la acción de campos eléctricos externos. Cada átomo proporciona un factor comprendido entre uno y dos electrones, dependiendo del tipo de conductor, a la nube electrónica.

Otros tipos de materiales conductores son las disoluciones electrolíticas (en las que hay cargas libres positivas y negativas) o el plasma. También el vacío se comporta como un medio conductor. En lo sucesivo, cuando hablemos de materiales conductores nos referiremos implícitamente a los conductores metálicos convencionales si no se especifica ningún otro supuesto.

3.3.2. Materiales aislantes o dieléctricos

En los dieléctricos todas las cargas están ligadas a sus posiciones y no reaccionan apreciablemente a la acción de campos eléctricos de pequeña intensidad. Si se aplican campos suficientemente intensos el material dieléctrico reacciona de forma que se producen pequeños desplazamientos locales entre cargas positivas y negativas, pero no se generan corrientes eléctricas. Los materiales aislantes suelen ser sustancias inorgánicas no metálicas o sustancias orgánicas.

3.3.3. Materiales semiconductores

Los materiales semiconductores tienen un comportamiento intermedio entre los conductores y los dieléctricos. En un semiconductor al aplicar un campo eléctrico el movimiento de cargas es local (a pequeñas distancias) y tienen resistencias eléctricas muy grandes. Materiales semiconductores típicos son el germanio (Ge) y el silicio (Si).

Ejercicio 1. Una esfera metálica maciza, de radio R =1cm, dispone de 1.5 electrones libres de conducción por cada átomo metálico.

Si está descargada y el diámetro de cada átomo es d = 1_._ 2 · 10 −^10 m, hállese:

a) el número de átomos en la esfera.

Nat =

vesfera vátomo

(4 / 3) πR^3 (4 / 3) π ( d/ 2)^3

= (2 R/d )^3 = (

10 −^2 m 1_._ 2 · 10 −^10 m

)^3 = 4_._ 6 · 1024 átomos (3.5)

donde F~ 21 representa la fuerza sobre la carga q 2 y F~ 12 la que actúa sobre q 1 , | ~r 2 − ~r 1 | es la distancia entre las dos cargas, ~u 21 es el vector unitario cuya dirección es la recta que contiene las dos cargas y cuyo sentido apunta desde q 1 hacia q 2 y k es una constante que debe determinarse experimentalmente y cuyo valor depende del medio en el que estén situadas las cargas.

Como se indica en la Fig. 3.1 las dos fuerzas cumplen la ley fuerte de acción y reacción (esto no es así para las fuerzas de interacción entre cargas en movimiento como se verá en capítulos posteriores).

En la ley de Coulomb las cargas tienen signo implícito de forma que si son del mismo tipo, ambas positivas o ambas negativas, entonces q 1 q 2 > 0 y las fuerzas son repulsivas, pero si son de distinto signo, entonces q 1 q 2 < 0 y las fuerzas son atractivas. Si el espacio en que se encuentran las cargas es el vacío entonces el valor numérico de la constante, que llamaremos k 0 , depende de las unidades que empleemos para aplicar la ley de Coulomb. Utilizando el Sistema Internacional de unidades su valor es: k 0 =8.988 · 109 Nm^2 C−^2 , que significa que si suponemos dos cargas de 1C separadas entre sí por una distancia de un metro, en el vacío, la fuerza que actuaría sobre cada una de ellas sería del orden de 9 · 109 N. Este valor es enorme si lo comparamos con el de la constante G que aparece en la ley de gravitación universal.

En lo sucesivo expresaremos la constante k 0 en la forma: k 0 = 1 / (4 πε 0 ), donde ε 0 es la permitividad eléctrica del vacío, cuyo valor es ε 0 = 8.854 · 10 −^12 C^2 N−^1 m−^2. La razón de escribirla de esta forma es porque así las ecuaciones de Maxwell adoptan una expresión más sencilla y más fácil de interpretar. Todo medio material eléctricamente homogéneo e isótropo tiene una permitividad eléctrica característica, ε , cuyo valor es siempre mayor que la del vacío. Así, si las cargas estuvieran en un medio de permitividad eléctrica ε =2 ε 0 , entonces el valor de la fuerza que actúa entre ellas sería la mitad que en el vacío. En este capítulo sólo se desarrollará la electrostática en el vacío, dejando el caso de medios materiales para más adelante. Por ello, la expresión definitiva de la ley de Coulomb que utilizaremos a partir de ahora es:

F^ ~ 21 = 1

4 πε 0

q 1 q 2 | ~r 2 − ~r 1 |^3

( ~r 2 − ~r 1 ) = − F~ 12 (3.10)

donde se ha tenido en cuenta que ~u 21 es el vector unitario asociado al vector ~r 2 − ~r 1.

El módulo de la fuerza es de la forma: ∣∣ ∣ F~ 21

∣∣ ∣ =

∣∣ ∣ F~ 12

∣∣ ∣ =

4 πε 0

| q 1 q 2 | r^212

esto es, directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r 12 , entre ellas. En este sentido hay analogías entre la ley de gravitación y la ley de Coulomb, pero difieren en la intensidad relativa de la fuerza como se ha mencionado antes.

3.4.2. Principio de superposición

La fuerza que ejercen un conjunto de cargas sobre otra es la suma vectorial de las fuerzas que cada una de aquellas ejerce por separado sobre ésta.

En la Fig. 3.2 se muestra la fuerza resultante F~q que actúa sobre q debida a su interacción electrostática con q 1 y q 2. En el supuesto de N cargas, la expresión para la fuerza sobre q es

F^ ~q =

∑^ N

i =

F^ ~qqi = 1 4 πε 0

∑^ N

i =

qiq | ~r − ~ri |^3

( ~r − ~ri ) (3.12)

Figura 3.2: Principio de superposición de fuerzas.

Ejercicio 2. Dos esferas metálicas de 1cm de radio, del mismo material de densidad ρ =5 g/cm^3 , están cargadas con cargas q 1 =2 mC y q 2 =-1 mC y separadas entre sí una distancia de 10 m.

1. Hállese la fuerza electrostática que actúa sobre cada una.

F^ ~ 12 E = 1

4 πε 0

q 1 q 2 r^212

~u 12 = − 180 ~u 12 (N) = − F~ (^) 21 E (3.13)

2. Hállese la fuerza de atracción gravitatoria entre ambas.

M 1 = M 2 = ρV = 5(g / cm) · (4 / 3) π (1cm)^3 = 20_._ 94 g (3.14)

F^ ~ 12 G = − GM^1 M^2

r 122

~u 12 = − 2_._ 93 · 10 −^16 ~u 12 (N) = − F~ (^) 21 G (3.15)

3. Hállese el cociente entre los módulos de la fuerza electrostática y gravitatoria. ∣∣ ∣ F~ (^) 12 E

∣∣ ∣ /

∣∣ ∣ F~ (^) 12 G

∣∣ ∣ = 6_._ 15 · 1017 (3.16)

Es mucho más intensa la fuerza electrostática.

4. Hállese a qué distancia de q 1 , medida sobre la recta que une ambas cargas, podríamos colocar una tercera carga q para que estuviera en equilibrio.

Para que q esté en equilibrio la fuerza que ejercen sobre ella q 1 y q 2 ha de ser nula. Usando unos ejes en los que q 1 esté en el origen y q 2 en el punto (10m,0,0), la distancia x a la que ha de situarse la carga q sólo puede ser mayor que 10m en este caso. La fuerza total sobre la carga q es

Para definir el campo electrostático que crea una carga puntual q 1 , cuyo vector de posición respecto de un sistema de referencia es ~r 1 , en un punto genérico del espacio definido por el vector de posición ~r , suponemos que colocamos otra carga puntual q en este punto (Fig. 3.3). Se define entonces el campo como

E^ ~ 1 ( ~r ) =

F~qq 1 q

4 πε 0

q 1 | ~r − ~r 1 |^3

( ~r − ~r 1 ) (3.20)

que representa la fuerza que actuaría sobre q por unidad de carga. Las unidades de campo electrostático son N/C o, equivalentemente, V/m (ésta se justificará más adelante). Otra forma de expresar el campo, en función del vector unitario asociado al vector ~r − ~r 1 , que denotamos por ~u 1 , es

E^ ~ 1 ( ~r ) = 1 4 πε 0

q 1 | ~r − ~r 1 |^2

~u 1 (3.21)

donde | ~r − ~r 1 | representa la distancia entre la carga que crea el campo, q 1 , y el punto en el que está expresado el campo. La intensidad del campo varía con el inverso del cuadrado de la distancia a la carga y tiene un alcance teórico infinito. Cuando la distancia a la carga tiende a cero el campo tiende a infinito. Esta singularidad es debida al modelo de carga puntual. Como cualquier carga real ocupa un cierto volumen en el espacio, aunque sea pequeño, el límite a cero de la distancia al punto donde está situada la carga no es aplicable.

En la expresión del campo el valor de la carga que lo crea puede ser positivo o negativo. Así, cargas positivas crean campos cuyo sentido apunta hacia afuera de la carga y cargas negativas crean campos cuyo sentido apunta hacia la carga. La fuerza que actúa sobre una carga q situada en un punto por interacción de la carga con el campo es:

F^ ~q E~ = q E~ ( ~r ) (3.22)

3.5.2. Campo electrostático creado por un conjunto de cargas

puntuales

Para calcular el campo debido a un conjunto de cargas puntuales se aplica el principio de superposición. El campo total en cada punto es la suma vectorial de los campos que crean cada una de las cargas en ese punto.

Dadas N cargas qi cuyos vectores de posición respectivos son ~ri , el campo que crean en un punto definido por el vector de posición ~r (Fig. 3.4) es

E^ ~ ( ~r ) =

∑^ N

i =

E^ ~i ( ~r ) = 1 4 πε 0

∑^ N

i =

qi | ~r − ~ri |^3

( ~r − ~ri ) (3.23)

que expresa el campo electrostático en todos los puntos del espacio. La fuerza que aparece sobre una carga q por la acción de este campo tiene la misma expresión que en el caso del campo creado por una única carga puntual.

Figura 3.4: Principio de superposición del campo electrostático.

La representación gráfica del campo electrostático mediante líneas de campo para un conjunto de cargas depende de sus valores y sus posiciones.

En la Fig. 3.5 se muestran las líneas de campo para una carga puntual positiva (monopolo eléctrico positivo), para una carga puntual negativa (monopolo eléctrico negativo) y para dos cargas del mismo valor pero de signo contrario separadas entre sí (dipolo eléctrico). Se observa que las líneas nacen o mueren en las cargas positivas y negativas y que el campo tiene un alcance infinito.

Figura 3.5: Líneas de campo de una carga puntual positiva (izquierda), negativa (centro) y dipolo (derecha).

3.5.3. Comportamiento del campo electrostático con la distancia

Un sistema de cargas puntuales con posiciones definidas en torno al origen de un sistema de referencia ocupa una cierta región del espacio. Para distancias del orden de las dimensiones de esa región el campo electrostático se calcula según hemos visto, y a distancias tendiendo a infinito el campo tiende a cero. Para distancias intermedias, pero grandes respecto de las dimensiones del sistema de cargas, el conjunto se ve como una carga puntual, de valor

Q =

∑^ N

i =

qi (3.24)

E^ ~ ' 3 q 4 πε 0

x − l/ 3 ( x − l/ 3)^3

~i ' 3 q 4 πε 0 x^2

~i (3.31)

bajo la misma aproximación.

Ejercicio 4. Un dipolo eléctrico está formado por una carga puntual – q situada en el punto ( l /2,0,0) de un sistema de referencia y por otra, + q , situada en el punto ( l /2,0,0).

1.- El valor del campo que crea el dipolo en un punto P ( x ,0,0), para x>l /2, es

E^ ~ ( x, 0 , 0) = q 4 πε 0

( x − l/ 2)^2

( x + l/ 2)^2

) ~i (3.32)

2.- Para grandes distancias, x>>l , tiende a

E^ ~D ' ql 2 πε 0 x^3

~i (3.33)

3.- Comparado con el campo que crearía un monopolo eléctrico, q , situado en el origen de coordenadas, el cociente entre ambos para grandes distancias es ∣∣ ∣ E~D

∣∣ ∣ ∣∣ ∣ E~M

∣∣ ∣

ql/ (2 πε 0 x^3 ) q/ 4 πε 0 x^2

2 l x

de forma que si x = 10^3 l por ejemplo, entonces el cociente entre los dos campos es del orden de 2 · 10 −^3. La resolución del ejercicio para puntos del eje Oy se hace de forma similar, aunque el resultado es diferente.

Ejercicio 5. La Fig. 3.6 muestra un cuadripolo eléctrico, formado por cuatro cargas de valores + q y – q situadas en los vértices de un cuadrado de lado l centrado respecto a un sistema de referencia, según se indica. Constituye un sistema de carga total nula, como el dipolo.

Figura 3.6: Cuadripolo eléctrico.

1. Hállese el campo electrostático que crea el cuadripolo para distancias grandes ( x>>l ), en el punto ( x ,0,0).

E^ ~C ( x, 0 , 0) ' − 3 ql

2 4 πε 0 x^4

~j (3.35)

2. Hállese el cociente entre el módulo del campo del cuadripolo y el del campo del dipolo obtenido en el ejercicio anterior, para el mismo punto ( x ,0,0) con x>>l.

∣∣ ∣ E~C

∣∣ ∣ /

∣∣ ∣ E~D

∣∣ ∣ '

3 l 2 x

de forma que si x = 10^3 l , por ejemplo, el cociente anterior es del orden de 1_._ 5 · 10 −^3.

3.5.4. Campo electrostático creado por distribuciones continuas de

carga

En este apartado se planteará el caso del campo electrostático creado por sistemas cargados eléctricamente que no pueden tratarse como cargas puntuales. Consideremos el caso de un sistema material que ocupa un volumen v’ y que está cargado con una carga total q.

Que el cuerpo está cargado quiere decir que en torno a algunos de sus puntos se ha roto el equilibrio natural entre cargas positivas y negativas. Así, si consideramos un pequeño volumen ∆v’ en torno a un punto del material cuya posición está definida por el vector de posición ~r ′, la carga total ∆ q contenida en ∆v’ puede ser distinta de cero, positiva o negativa (Fig. 3.7).

Figura 3.7: Campo de una distribución continua volumétrica.

Se define la densidad de carga eléctrica en ese punto como

ρ ( ~r ′) = l´ım ∆v′→ 0

∆ q ∆v′^

dq d v′^

La densidad de carga representa en cada punto del sistema la concentración de carga por unidad de volumen en torno a ese punto. Es un campo escalar que puede tomar valores positivos, negativos o nulos en cada punto del cuerpo cargado. Su unidad en el Sistema Internacional es el C/m^3. En la definición anterior hay que tener en cuenta que la carga neta ∆ q se obtiene como la suma total de cargas elementales positivas y negativas contenidas en el volumen ∆v’ y que estas cargas corresponden a las de electrones o iones atómicos o moleculares. Así en el proceso

σ ( ~r ′) = l´ım ∆ S ′→ 0

∆ q ∆ S ′^

dq dS ′^

Según esta definición, σ representa la concentración de carga por unidad de superficie en torno a cada punto de la misma. Su unidad en el sistema Internacional es C/m^2. Es un campo escalar definido en todos los puntos de la superficie cargada. Siguiendo un tratamiento similar al del apartado anterior, la expresión del campo electrostático en este caso adopta la forma

E^ ~ ( ~r ) = 1 4 πε 0

∫

S ′

( ~r − ~r ′) dq | ~r − ~r ′|^3

4 πε 0

∫

S ′

σ ( ~r ′)( ~r − ~r ′) dS ′ | ~r − ~r ′|^3

que nos permite calcular el campo electrostático si se conoce la geometría de la superficie y la forma de la función σ. En el caso de distribuciones superficiales homogéneas de carga σ es constante.

Figura 3.8: Campo de una distribución superficial.

Con un tratamiento similar podemos considerar una distribución de carga eléctrica asociada a una línea de longitud L ’. Se define en este caso la densidad longitudinal de carga eléctrica como (Fig. 3.9)

λ ( ~r ′) = l´ım ∆ l ′→ 0

∆ q ∆ l ′^

dq dl ′^

que representa la concentración de carga por unidad de longitud en cada punto. Su unidad en el Sistema Internacional es el C/m. En este caso la expresión del campo electrostático creado por toda la distribución de carga adopta la forma

E^ ~ ( ~r ) = 1 4 πε 0

∫

L ′

( ~r − ~r ′) dq | ~r − ~r ′|^3

4 πε 0

∫

L ′

λ ( ~r ′)( ~r − ~r ′) dl ′ | ~r − ~r ′|^3

con las mismas consideraciones que en los casos anteriores.

A distancias muy grandes respecto de las dimensiones de una distribución de carga eléctrica el campo que crea tiende al de una carga puntual, de valor igual a la carga total de la distribución

q =

∫

v′

ρ ( ~r ′) d v′^ (3.47)

situada en su centro de carga, centro que en este caso se define como

~rq =

q

∫

v′

ρ ( ~r ′) ~r ′ d v′^ (3.48)

La expresión del campo electrostático en este supuesto es

E^ ~ ( ~r ) ' q 4 πε 0

~r − ~rq | ~r − ~rq |^3

si | ~r − ~rq |^2 ' r^2 (3.49)

Figura 3.9: Campo de una distribución longitudinal.

Para distribuciones de carga no homogéneas pero cuya carga total sea nula no es aplicable lo anterior. No obstante, en este caso el campo electrostático a grandes distancias será en general no nulo, de forma similar a lo que sucede con el dipolo y con el cuadripolo eléctrico.

3.5.5. Cálculo del campo electrostático por integración

Para ilustrar el apartado anterior plantearemos algunos supuestos típicos de cálculos de campos electrostáticos.

Ejercicio 6. Campo electrostático creado por un hilo rectilíneo uniformemente cargado.

En la Fig. 3.10 se representa un hilo rectilíneo AB de sección despreciable y longitud L , cargado uniformemente con una densidad de carga por unidad de longitud λ. Para calcular el campo electrostático que crea en el punto P ( x,y,0 ) utilizaremos la expresión del campo correspondiente a este supuesto (ec. [3.46]).

Llamando Oy al eje que contiene al hilo, en este caso:

λ = cte ; ~r = x~i + y~j ; ~r ′^ = y ′ ~j ; dl ′^ = dy ′

de donde ~r − ~r ′^ = x~i + ( y − y ′) ~j ; | ~r − ~r ′| = ( x^2 + ( y − y ′)^2 )^1 /^2.

Sustituyendo en la expresión del campo se obtiene: