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tema fisica que son en formato latex
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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(Creada por Ley Nº 25265)
C ´ATEDRA: Fisica I CATEDR ´ATICO: Ing. Paitan Mendez, Cesar Augusto ALUMNOS: Soriano Paucar, Jefry Junior; Ramos Quispe, Dania Angeles; Moran Navarrete, Jose Kevin; Romero Quispe, Eberson; Mollehuara Garcia, Mayc Robinson; Quispe Guerrero, Alex Gerardo CICLO Y SECCI ´ON: II A
El centro de gravedad de un objeto es el punto ubicado en la posici´on promedio del peso del objeto. En el caso de un objeto sim´etrico, este punto se encuentra en el centro geom´etrico. Pero un objeto irregular, como un bate de b´eisbol, tiene m´as peso en uno de sus extremos y el centro de gravedad est´a cargado hacia dicho extremo. El centro de gravedad se llama tambi´en centro de masa, que es la posici´on promedio de todas las part´ıculas de masa que forman el objeto. Estos t´erminos son equivalentes para casi todos los objetos que est´an sobre la superficie terrestre o sus cercan´ıas. Se denomina ”posici´on de peso ponderado.o^ centroide a la posici´on promedio de cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar posiciones. En este tema llegaremos a aprender c´omo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicaci´on de la resultante W , para cuerpos de varias formas. A su vez, se incluyen conceptos que est´an muy relacionados con la determinaci´on del centro de gravedad de una placa o alambre, como lo es el centroide de un ´area o de una l´ınea, y se utilizar´a el teorema de Pappus-Guldinus para determinar el ´area o volumen de un cuerpo en revoluci´on.
Objetivos
Estudiar el concepto de gravedad, centro de masa y centroides. Determinar la ubicaci´on del centro de gravedad y centroide para un sistema de part´ıculas discretas y un cuerpo de forma arbitraria. Determinar centroides para ´areas planas simples y para ´areas planas compuestas. Usar los teoremas de Pappus-Guldinus para encontrar el ´area de una superficie de revoluci´on o el volumen de un cuerpo en revoluci´on.
⃗r (^) cg es el vector de posici´on del centro de gravedad.
W es el peso total del cuerpo.
dW es un elemento diferencial de peso.
La integral se extiende sobre todo el volumen del cuerpo.
Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravi- tatoriog⃗ es el mismo en todos los puntos, la definici´on anterior se reduce a la equivalente a la definici´on del centro de masas:
r⃗ (^) cg =
V
r ρ⃗ r(⃗ ) dV
Donde ρ es la densidad de masa del cuerpo. Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo m´asico cuya distancia al objeto conside- rado sea muy grande comparado con las dimensiones del cuerpo m´asico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto tambi´en se aproxima al centro de masas.
1.1. 2.1. Centro de Gravedad para un Sistema de Part´ıculas
Es el punto donde se ubica el peso resultante de un sistema de part´ıculas.
Las part´ıculas solo tendr´an peso bajo la influencia de una atracci´on gravitatoria.
El peso resultante de un sistema ser´a igual al peso total de la suma de las part´ıculas.
F´ormula general si la gravedad g es constante:
x ¯ =
Wixi P Wi
, y¯ =
Wiyi P Wi
, z¯ =
Wizi P Wi Donde:
Wi = mig es el peso de la part´ıcula i.
(xi, yi, zi) son las coordenadas de la part´ıcula i.
Figura 3: F´ormula general si la gravedad (g) es constante.
2.2 Centro de Gravedad
Donde:
m: masa de la part´ıcula.
(xi, yi, zi): coordenadas de cada part´ıcula. P W : es la suma resultante de los pesos de todas las part´ıculas presentes en el sistema, Wi = mi · g.
Mediante este an´alisis, llegamos a la conclusi´on de que los pesos no producir´an momentos respecto al eje Y si se hace coincidir la direcci´on de los pesos con dicho eje.
Un cuerpo r´ıgido est´a compuesto por un n´umero infinito de part´ıculas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones del centro de gravedad para un sistema de part´ıculas discretas son aplicados al sistema de part´ıculas que componen un cuerpo r´ıgido, resulta necesario usar integraci´on en vez de una suma discreta de t´erminos. Considerando una part´ıcula arbitraria ubicada en (x, y, z) y con un peso diferencial dW , las ecuaciones resultantes para el centro de gravedad son:
Figura 4:
Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser expresado en t´erminos de su volumen asociado dV. Si γ representa el peso espec´ıfico del cuerpo, medido como un peso por unidad de volumen, entonces: Por lo tanto, las ecuaciones se transforman en:
Figura 5:
Aqu´ı, la integraci´on debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.
3.1 Centro de Masas
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geom´etrico que din´ami- camente se comporta como si en ´el estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera an´aloga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales, el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. Este concepto se utiliza en an´alisis f´ısicos donde no es indispensable considerar la distribuci´on de masa, como por ejemplo en las ´orbitas de los planetas.
2.1. 4.1 Centro de Masa
La densidad ρ, o masa por unidad de volumen, est´a relacionada mediante la ecuaci´on:
γ = ρg
Donde:
g es la aceleraci´on debida a la gravedad.
Sustituyendo esta relaci´on en las ecuaciones del centro de gravedad y cancelando g en los numeradores y denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con ρ reemplazando a γ) que se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo.
Distribuci´on de masa homog´enea: Si la masa est´a distribuida homog´eneamente, la densidad ser´a constante, por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relaci´on.
Distribuci´on de masa no homog´enea: Los centros de masa en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la funci´on de densidad.
El centroide es un punto que define el centro geom´etrico de un objeto.
Su ubicaci´on puede determinarse a partir de f´ormulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. En particular, si el material que compone el cuerpo es uniforme u homog´eneo, la densidad o peso espec´ıfico ser´a constante en todo el cuerpo. Por tanto, este t´ermino se puede cancelar en los numeradores y denominadores de las integrales.
Las f´ormulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya que son independientes del peso y dependen solo de la geometr´ıa del objeto.
3.1. 4.1 Centroide del Volumen
Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dV , la ubicaci´on del centroide C(¯x, y,¯ ¯z) puede determinarse con:
¯x =
x dV, y¯ =
y dV, z¯ =
z dV
3.2. 4.2 Centroide del ´Area
Para una superficie plana como una placa o un disco:
x¯ =
x dA, y¯ =
y dA
3.3. 4.3 Centroide de una L´ınea
Para una barra delgada o un alambre:
¯x =
x dL, y¯ =
y dL
3.4. 4.4 Simetr´ıa
Cuando la forma tiene un eje de simetr´ıa, el centroide se encuentra a lo largo de ese eje.
Ejemplo: Una figura sim´etrica respecto al eje y tendr´a su centroide sobre ese eje.
Si una forma tiene dos o tres ejes de simetr´ıa, el centroide se encuentra en la intersecci´on de esos ejes.
Ejemplo: Un c´ırculo tiene simetr´ıa respecto a los ejes x y y, por lo tanto su centroide est´a en el centro.
Estas ´areas est´an compuestas por figuras m´as simples (rect´angulos, tri´angulos, semicir- cunferencias, etc.). El centroide total se obtiene aplicando:
¯x =
Aixi P Ai
, y¯ =
Aiyi P Ai Ejemplo: Para dos rect´angulos combinados, se calcula el centroide de cada uno y se aplica la f´ormula.
Los dos teoremas de Pappus-Guldinus permiten encontrar el ´area superficial y el volumen de cuerpos de revoluci´on.
Un ´area superficial de revoluci´on se genera al girar una curva plana alrededor de un eje fijo.
Un volumen de revoluci´on se genera al girar un ´area plana alrededor de un eje fijo.
Primer Teorema ( ´Area superficial):
A = 2π yL¯
Donde L es la longitud de la curva generatriz y ¯y es la distancia desde el centroide de la curva al eje de rotaci´on.
Segundo Teorema (Volumen):
V = 2π yA¯
Donde A es el ´area generatriz y ¯y es la distancia desde su centroide al eje de rotaci´on.
Sustituyendo, se obtiene que el volumen:
V = 2π˜rA
Y el diferencial de volumen: dV = 2πrdA
Por lo tanto, la f´ormula general ser´a: V = θrA˜
Tambi´en podemos aplicar los dos teoremas anteriores a l´ıneas o ´areas que pueden estar compuestas por una serie de partes componentes. En este caso, el ´area superficial o volumen generado total es la suma de las ´areas superficiales o vol´umenes generados por cada una de las partes
A = θ
(˜rL)
V = θ
(˜rA)
Llegamos a concluir este presente trabajo monogr´afico, mediante el cual, para poder aplicar m´as adelante, es un tema muy importante que debemos dominar.
