


















































Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
ejemplos y descripción del uso de las series de potencia para la aproximacion de valores de un sistema
Tipo: Apuntes
1 / 58
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
La expansión en series de potencias es útil por los siguientes motivos:
Evaluación: Los valores de funciones exponenciales, logarítmicas y trigo-
nométricas pueden ser calculados numéricamente con ayuda de una serie
de potencias.
Aproximación: Los primeros términos de una serie de potencias pueden
usarse para obtener un valor aproximado de alguna función.
Integración termino a termino: No siempre es posible integrar una
función tal como está, sin embargo, la función puede ser representada por
una serie de potencias convergente, esta serie se integra termino a termino
para obtener un valor aproximado de la integral con un buen grado de
precisión.
La siguiente relación es verdadera para muchas funciones:
f (x) =
1 X
n=
a (^) n x
n = a 0 + a 1 x + a 2 x
2
3
n
Una propiedad importante de estas series es que son diferenciables. Una
suposición fundamental es que el valor de la función y de la serie de potencias
coincide en x=0 y también, que los valores de sus derivadas coinciden, lo que
nos lleva al siguiente algoritmo:
1.-La función y la serie coinciden en x=0:
f (0) = a 0 + a 1 · 0 + a 2 · 0 + · · ·
Por lo que a 0 = f (0)
2.- La primer derivada de la función y la serie de potencias debe coincidir en
x=0. derivando:
f
0 (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x
2
n 1
Evaluamos en x=
f
0 (0) = a 1 + 2a 2 (0) + 3a 3 (0)
2
Entonces a 1 = f
0 (0)
3.-La segunda derivada de la función coincide con la función en x=
f
00 (x) = 2 a 2 + 6a 3 x + 3a 3 x
2
n 2
Evaluamos en x=
f
00 (0) = 2 a 2 + 6a 3 (0) + 3a 3 (0)
2
De modo que a 2 =
1 2 f
00 (0).
n.- La n-ésima derivada de la función debe coincidir con la n-ésima derivada
de la función evaluada en cero, por lo tanto:
f
(n) (z) = n⇥(n 1)⇥(n 2)⇥· · ·⇥ 3 ⇥ 2 ⇥ 1 ⇥a (^) n +(n + 1)⇥n⇥(n 1)⇥· · ·⇥a (^) n+1 x+
Al evaluar la derivada en cero:
a (^) n =
f
(n) (0)
n ⇥ (n 1) ⇥ (n 2) ⇥ · · · ⇥ 3 ⇥ 2 ⇥ 1
a (^) n =
n!
f
(n) (0)
Con el algoritmo podemos dar la siguiente definición:
Definición: La expansión de una función f (x) expresada como serie de
potencias es dada por;
f (0) = f (0) +
f
0 (0) x +
f
00 (0) x
2
f
0 (0) x
3
De manera que:
f (x) =
1 X
n=
a (^) n x
n
Con
a (^) n =
f
(n) (0)
n!
Esta serie es conocida como la serie de Maclaurin.
Ejemplo: Haga la expansión del binomio f (x) = (a + x)
n
Asumiendo que a (^) n 6 = 0, introducimos el limite del radio:
l´ım n!
a (^) n+1 x
n+
a (^) n x n
= l´ım n!
a (^) n+1 x
n x
a (^) n x n
= l´ım n!
a (^) n+
a (^) n
x
= l´ım n!
a (^) n+
a (^) n
|x|
Haciendo r = l´ım (^) n!
a (^) n a (^) n+