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Expansión de una función en series de potencias.
La expansión en series de potencias es útil por los siguientes motivos:
Evaluación: Los valores de funciones exponenciales, logarítmicas y trigo-
nométricas pueden ser calculados numéricamente con ayuda de una serie
de potencias.
Aproximación: Los primeros términos de una serie de potencias pueden
usarse para obtener un valor aproximado de alguna función.
Integración termino a termino: No siempre es posible integrar una
función tal como está, sin embargo, la función puede ser representada por
una serie de potencias convergente, esta serie se integra termino a termino
para obtener un valor aproximado de la integral con un buen grado de
precisión.
La siguiente relación es verdadera para muchas funciones:
f (x) =
1 X
n=
a (^) n x
n = a 0 + a 1 x + a 2 x
2
3
n
Una propiedad importante de estas series es que son diferenciables. Una
suposición fundamental es que el valor de la función y de la serie de potencias
coincide en x=0 y también, que los valores de sus derivadas coinciden, lo que
nos lleva al siguiente algoritmo:
1.-La función y la serie coinciden en x=0:
f (0) = a 0 + a 1 · 0 + a 2 · 0 + · · ·
Por lo que a 0 = f (0)
2.- La primer derivada de la función y la serie de potencias debe coincidir en
x=0. derivando:
f
0 (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x
2
n 1
Evaluamos en x=
f
0 (0) = a 1 + 2a 2 (0) + 3a 3 (0)
2
Entonces a 1 = f
0 (0)
3.-La segunda derivada de la función coincide con la función en x=
f
00 (x) = 2 a 2 + 6a 3 x + 3a 3 x
2
- · · · + n (n 1) a (^) n 1 x
n 2
Evaluamos en x=
f
00 (0) = 2 a 2 + 6a 3 (0) + 3a 3 (0)
2
De modo que a 2 =
1 2 f
00 (0).
n.- La n-ésima derivada de la función debe coincidir con la n-ésima derivada
de la función evaluada en cero, por lo tanto:
f
(n) (z) = n⇥(n 1)⇥(n 2)⇥· · ·⇥ 3 ⇥ 2 ⇥ 1 ⇥a (^) n +(n + 1)⇥n⇥(n 1)⇥· · ·⇥a (^) n+1 x+
Al evaluar la derivada en cero:
a (^) n =
f
(n) (0)
n ⇥ (n 1) ⇥ (n 2) ⇥ · · · ⇥ 3 ⇥ 2 ⇥ 1
a (^) n =
n!
f
(n) (0)
Con el algoritmo podemos dar la siguiente definición:
Definición: La expansión de una función f (x) expresada como serie de
potencias es dada por;
f (0) = f (0) +
f
0 (0) x +
f
00 (0) x
2
f
0 (0) x
3
De manera que:
f (x) =
1 X
n=
a (^) n x
n
Con
a (^) n =
f
(n) (0)
n!
Esta serie es conocida como la serie de Maclaurin.
Ejemplo: Haga la expansión del binomio f (x) = (a + x)
n
Asumiendo que a (^) n 6 = 0, introducimos el limite del radio:
l´ım n!
a (^) n+1 x
n+
a (^) n x n
= l´ım n!
a (^) n+1 x
n x
a (^) n x n
= l´ım n!
a (^) n+
a (^) n
x
= l´ım n!
a (^) n+
a (^) n
|x|
Haciendo r = l´ım (^) n!
a (^) n a (^) n+
, el radio de convergencia^ r^ pasa a ser:
l´ım n!
a (^) n+1 x n+
a (^) n x n
r
|x|
La serie es convergente si |x| < r y divergente si |x| > r, para números
complejos se forma un disco de radio r y para números reales un intervalo. un
resultado útil cuando algunos a (^) n = 0 es el resultado del teorema de Cauchy-
Hadamard:
r
= l´ım n!
n
p a (^) n
Ejemplo: Obtener el radio de convergencia de:
x
x
2
x 2
x
3
2
x
4
2
n 1 x^
n
n 2
n x^
n+
(n + 1)
2
a (^) n =
n 1
n 2
n
n 2
a (^) n+1 =
n
(n + 1)
2
r = l´ım n!
a (^) n
a (^) n+
= l´ım n!
( 1) n
n 2 ( 1) n (n+1) 2
= l´ım n!
(n + 1)
2
n 2
= l´ım n!
n
2
n 2
= l´ım n!
n
n 2
Ejemplo: Obtener r para
e
x
1 X
n=
x n
n!
a (^) n =
n (n 1) · · · 2 · 1
a (^) n+1 =
(n + 1) n (n 1) · · · 2 · 1
r = l´ım n!
a (^) n
a (^) n+
= l´ım n!
1 n(n 1)··· 2 · 1 1 (n+1)n(n 1)··· 2 · 1
= l´ım n!
(n + 1) n (n 1) · · · 2 · 1
n (n 1) · · · 2 · 1
= l´ım n!
|n + 1|
r = 1
Ejemplo: Encontrar una cota para el error al aproximar f (x) = e
z /cos (z)
con la serie de Maclaurin, al evaluar en x=0.37 haciendo 2 términos de la serie.
n = 2
f
00 (x) =
4 e
x
cos x
8 e
x sin x
cos 2 x
6 e
x sin
2 x
cos 3 x
6 e
x sin
3 x
cos 4 x
R (^) n (0.5) =
f
000 (0.37)
3
3
|e| 0. 1095
Expansión de una función en una posición arbitra-
ria (serie de Taylor)
En algunos casos resulta útil expandir una función al rededor de un x 0 6 = 0.
Para esto se introduce la variable u = x x 0 , u=0 si x = x 0 :
x = u + x (^0)
f (x) = f (u + x (^) o )
Al expandir al rededor de u = 0:
f (0 + x 0 ) = f (x 0 ) + f
0 (x 0 ) u +
f 00 (x 0 )
u
2
f (n) (x 0 )
n!
u
n
Sustituyendo u = x x 0 se tiene la serie de Taylor:
f (x) = f (x 0 ) + f
0 (x 0 ) (x x 0 ) +
f
00 (x 0 )
(x x 0 )
2
f
(n) (x 0 )
n!
(x x 0 )
n
Reescribiendo:
f (x) =
1 X
n=
a (^) n (x x 0 )
n
a (^) n =
f
(n) (x 0 )
n!
Ejemplo: Encontrar los primeros 4 términos de la serie de Taylor para
f (x) = cos x al rededor de x 0 = ⇡/ 3.
Se obtienen las tres primeras derivadas y se evalúan en el punto :
f (x) = cos x
f (⇡/3) =
f
0 (x) = sin x
f
0 (⇡/3) =
p 3
f
00 (x) = cos x
f
00 (⇡/3) =
f
000 (x) = sin x
f
000 (⇡/x) =
p 3
La serie es:
f (x) =
1 X
n=
a (^) n (x x 0 )
n
cos x =
x
p 3 / 2
x
x
p 3 / 2
x
p 3
x
x
p 3
x
Se desea aproximar el valor de f (61º) = f
⇡ 3
⇡ 180
usando dos términos:
cos (61º) =
p 3
Ejemplo: Encuentra la expansión de la función f (x) = 2x
2
x 0 = 3
f (x) = 2 x
2
f (3) = 31
f
0 (x) = 4 x + 3
f
0 (3) = 15
f
00 (x) = 4
f
00 (3) = 4
f
000 (x) = 0
definida sobre B y cuyas derivadas parciales hasta de orden n+1 son todas
continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para
cualquier x 2 B:
f (x) =
n X
k=
k!
k f (x 0 )
@x k
(x x 0 )
k
1 X
k=n+
R (^) k (x) (x x 0 )
k
Donde
R (^) k (x) sup
k!
k f (x)
@x k
Esta es la representación del polinomio de Taylor de orden n, lo más co-
mún es encontrar representaciones de primer y segundo orden, dado que x =
[x 1 , x 2 , x 3 , · · · , x (^) n ] hacemos un cambio de variable para el punto al rededor del
cual se hace la expansión: x 0 = a y encontramos la representación de primer
orden
f (x) =
1 X
k=
k!
k f (a)
@x k
(x a)
1
1 X
k=
R (^) k (x) (x a)
k
0 f (a)
@x 0
(x a)
0
1 f (a)
@x 1
(x a)
1
= f (a) +
1 f (a)
@x 1
(x a)
1
= f (a) +
@f (a)
@x
(x a)
= f (a) +
@f (a)
@x (^1)
(x 1 a 1 ) +
@f (a)
@x (^2)
(x 2 a 2 ) +
@f (a)
@x (^3)
(x 3 a 3 ) + · · ·
@f (a)
@x (^) m
(x (^) m a (^) m ) +
1 X
k=n+
R (^) k (x) (x x 0 )
k
= f (a) +
m X
k=
@f (a)
@x (^) k
(x a) + R 1 (x, a)
= f (a) + rf (a) (x a)
T
Después hacemos la de segundo orden:
f (x) =
n X
k=
k!
k f (a)
@x k
(x a)
k
1 X
k=
R (^) k (x) (x a)
k
0 f (a)
@x 0
(x a)
0
1 f (a)
@x 1
(x a)
1
2 f (a)
@x 2
(x a)
2
1 X
k=
R (^) k (x) (x a)
k
2 f (a)
@x 2
(x a)
2
2 f (a)
@x 2 1
(x 1 a 1 )
2
2 f (a)
@x 1 x (^2)
(x 1 a 1 ) (x 2 a 2 ) + · · ·
2 f (a)
@x 1 x (^3)
(x 1 a 1 ) (x 1 a 3 ) + · · · +
2 f (a)
@x 1 x (^) m
(x 1 a 1 ) (x (^) m a (^) m )
2 f (a)
@x 2 x (^1)
(x 2 a 2 ) (x 1 a 1 ) +
2 f (a)
@x
2 2
(x 2 a 2 )
2
2 f (a)
@x 2 x (^3)
(x 2 a 2 ) (x 3 a 3 ) + · · · +
2 f (a)
@x 2 x (^) m
(x 2 a 2 ) (x (^) m a (^) m )
2 f (a)
@x (^) m x (^1)
(x (^) m a (^) m ) (x 1 a 1 ) +
2 f (a)
@x (^) m x (^2)
(x (^) m a (^) m ) (x 2 a 2 ) + · · ·
2 f (a)
@x 2 m
(x (^) m a (^) m )
2
Por lo tanto:
f (x) = f (a) + rf (a) (x a)
T
T
Recordamos que el gradiente es:
rf (x) =
@f
@x (^1)
@f
@x (^2)
@f
@x (^3)
@f
@x (^) m
Y la matriz Hessiana es:
Hf (x) =
@ 2 f @x 2 1
@ 2 f @x 1 x (^2)
@ 2 f @x 1 x (^) m @ 2 f @x 2 x (^1)
@ 2 f @x (^22)
@ 2 f @x 2 x (^) m . . .
@ 2 f @x 1 x (^) m
@ 2 f @x 2 x (^) m
@ 2 f @x (^2) m
Teorema de Schwarz: Sea f : A! R con A 2 R
n un conjunto abierto
tal que existen sus derivadas cruzadas de cualquier orden y son continuas en A,
entonces para cualquier punto a 2 A se cumple:
Ejemplos: Obtener el polinomio de Taylor para f (x, y) = e
x cos y en (0, 0)
f (x, y) = e
x cos y
f (0, 0) = 1
@f
@x
= e
x cos y
@f (0, 0)
@x
@f
@y
= e
x sin y
@f (0, 0)
@y
2 f
@x 2
= e
x cos y
2 f (0, 0)
@x 2
2 f
2 y
= e
x cos y
2 f (0, 0)
@y 2
2 f
@x@y
= e
x sin y
2 f (0, 0)
@x@y
Para primer orden:
f (x) = f (x 0 ) +
n X
k=
@f (x 0 )
@x (^) k
(x x 0 ) + R 1 (x, x 0 )
= f (0.0) +
@f (0, 0)
@x
(x 0) +
@f (0, 0)
@y
(y 0)
= 1 + 1 · x + 0 · y
= 1 + x
Para segundo orden:
f (x) = f (x 0 ) +
n X
i=
@f (x 0 )
@x (^) i
(x (^) i x (^) i 0 ) +
n X
i=
n X
j=
@f (x 0 )
@x (^) i @x (^) j
(x (^) i x (^) i 0 ) (x (^) j x (^) j 0 ) + R 2 (x, x 0 )
= f (0.0) +
@f (0.0)
@x
(x 00 ) +
@f (0.0)
@y
(y 0)
2 f (0.0)
@x 2
(x 0)
2
2 f (0.0)
2 y
(y 0)
2
2 f (0.0)
@x@y
(x 0) (y 0)
= 1 + x +
x
2
y
2
= 1 + x +
x
2
y
2
Ejemplo: Obtener el polinomio de Taylor para f (x, y) = x 2
cos y en (1, 0)
f (1, 0) = 2. 841
@f
@x
= 2 x + cos x
@f (1, 0)
@x
@f
@y
= 2 y sin y
@f (1, 0)
@y
2 f
@x 2
= 2 sin x
2 f (1, 0)
@x 2
2 f
@y 2
= 2 cos y
2 f (1, 0)
@y 2
@f
@x@y
@f (1, 0)
@x@y
f (x, y) = f (x 0 .y 0 ) +
@f (x 0 .y 0 )
@x
(x x 0 ) +
@f (x 0 .y 0 )
@y
(y y 0 )
= 2 .841 + 2.5403 (x 1) + 0 (y 0)
= 2. 5403 x + 0. 3007
f (x 0 ) = 23
@f
@x
= 2 xy + z
2
@f (x 0 )
@x
2 f
@x 2
= 2 y
@f
@y
= x
2
2 f
@y 2
= 2 z
@f
@z
= 2 xz + y
2
2 f
@z 2
= 2 x
2 f
@x@y
= 2 x
2 f
@x@z
= 2 z
2 f
@y@z
= 2 y
El gradiente y la matriz Hessiana evaluados en x 0 son entonces:
rf (x 0 ) =
Hf (x 0 ) =
Sustituimos en nuestra formula:
f (x) = f (x 0 ) +
m X
i=
@f (x 0 )
@x (^) i
(x (^) i x (^) i 0 ) +
m X
i=
m X
j=
@f (x 0 )
@x (^) i @x (^) j
(x (^) i x (^) i 0 ) (x (^) j x (^) j 0 ) + R 2 (x, x 0 )
El polinomio de primer orden resulta:
f (x) = 23 + 13 (x 1) + 13 (y 2) + 10 (z 3)
= 46 + 13x + 13y + 10z
Para segundo orden sustituimos en el término restante:
m X
i=
m X
j=
@f (x 0 )
@x (^) i @x (^) j
(x (^) i x (^) i 0 ) (x (^) j x (^) j 0 ) =
4 (x 1)
2
2 (x 1) (y 2) +
6 (x 1) (z 3)
2 (y 2) (x 1) +
6 (y 2)
2
4 (y 2) (z 3)
6 (z 3) (x 1) +
4 (z 3) (y 2) +
2 (z 3)
2
= 2 x
2 26 x + 2xy + 3y
2 26 y + 6xz 20 z + 4yz + z
2
Y finalmente tenemos el polinomio de segundo orden:
f (x) = 46 + 3x + 13y + 10z + 2x
2 26 x + 2xy + 3y
2 26 y + 6xz 20 z + 4yz + z
2
Linealización (Desarrollo en serie de Taylor de un sistema
de ecuaciones diferenciales de primer orden)
El reemplazar un sistema no lineal por su aproximación lineal se denomina
linealización. Un sistema lineal esta descrito por funciones lineales, una función
lineal f (x) cumple con el principio de superposición:
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (ax) = af (x)
para x, y 2 R
n y a 2 R. Hay que notar que las únicas funciones que cumplen
esto son rectas o planos centrados en el origen. Una linea recta no centrada en
el origen no lo cumple y se le denomina función afín, sin embargo, para fines
prácticos en álgebra lineal y análisis real se les considera como funciones lineales,
Al linealizar una función hay que tener en cuenta que esta linealización es
solo valida para una vecindad del punto al rededor del cual estamos linealizando,
por lo regular, en sistemas dinámicos y para fines de control la linealización se
realiza al rededor de un punto de equilibro al cual queremos que nuestro sea
conducido por el controlador. Considera la función no lineal:
y = f (x)
Figura 20: Linealización de una función en R
n
Considera el siguiente sistema no lineal:
x ˙ = f (x)
con:
x ˙ 1 = f 1 (x)
x˙ 2 = f 2 (x)
x ˙ (^) n = f (^) n (x)
Recuerda que x˙ =
d dt
x yx =
x 1 x 2 · · · x (^) n
. Suponiendo que las fun-
ciones f (^) n son continuamente diferenciables:
x ˙ = f (x 0 ) +
@f (x 0 )
@x
(x x 0 )
Considerando que nuestro interés es el comportamiento al rededor de puntos
de equilibrio x˙ = 0 que en consecuencia hacen f (x 0 ) = 0 podemos decir que:
x ˙ =
@f (x 0 )
@x
(x x 0 )
Donde:
@f (x 0 )
@x
@f (^1) @x 1
@f 1 @x 2
@f 1 @x (^) n @f (^2) @x 1
@f 2 @x 2
@f 2 @x (^) n . . .
@f (^) n @x 1
@f (^) n @x 2
@f (^) n @x (^) n
x=x (^0)
Es la matriz Jacobina evaluada en el equilibrio. Hacemos el siguiente cambio
de coordenadas: ˜x = x x 0 y dado quex 0 se un valor constante:
d
dt
x =
d
dt
˜x
Por lo cual el sistema linealizado se representa como:
x˜^ ˙ = Ax˜
con A =
@f (x 0 ) @x
Ejemplo: El oscilador de Van der Pol no forzado es descrito por la función:
x ˙ 1 = x (^2)
x ˙ 2 = μ
1 x
2 1
x 2 x (^1)
El término μ proporciona amortiguamiento a las oscilaciones. Se desea la
linealización del sistema al rededor del punto x 0 = (1, 2), el Jacobiano es:
Jf (x) =
@f (^1) @x 1
@f (^1) @x 2 @f (^2) @x 1
@f (^2) @x 2
2 μx 1 x 2 μx 2 1 μ
Evaluamos al rededor del origen
A =
4 μ 3 μ
El sistema linealizado es dado por
x˜^ ˙ = A˜x
4 μ 3 μ
x (^1)
x (^2)
x ˙ 1 = x (^2)
x ˙ 2 = 4 μx 1 + 3μx (^2)
