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EXAMEN CORTE 1 – GRUPO I
- Considere un sistema masa-resorte que oscila horizontalmente, con constante de elasticidad 𝒌 y masa del objeto 𝑴. Existe una
fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie la cual es proporcional y en sentido contrario a la velocidad 𝒗 de la masa. Es
decir, de la forma 𝐹𝑟𝑜𝑧 = − 𝑏𝑣. El sistema se pone a oscilar imprimiéndole al resorte una velocidad inicial desde la posición de
equilibrio. Se registra la posición 𝑥 de la masa en función del tiempo 𝑡 y se obtiene una gráfica como la mostrada en la figura 1.
Figura problema 1. Posición Vs. Tiempo en un sistema masa-resorte sub-amortiguado
La forma de la función para la posición es:
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒
−𝛼𝑡
cos (ω𝑡 + ϕ)
1.1. A partir de la gráfica encuentre el valor de:
a. La frecuencia angular 𝜔.
b. La fase inicial ϕ.
c. La amplitud 𝐴.
d. el factor de amortiguamiento 𝛼 (Sugerencia: tome dos puntos conocidos sobre envolvente de la gráfica).
1.2. Si la masa del objeto atado al resorte es 𝑴 = 𝟐𝟐. 𝟓 𝐊𝐠, encuentre el valor de:
a. La constante de amortiguamiento 𝑏.
b. La constante del resorte 𝑘.
1.3. ¿Cuánta energía pierde el sistema al realizar el primer ciclo?
- Una varilla metálica delgada y uniforme con longitud L y masa M pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y
es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante de fuerza k se conecta al extremo inferior de la varilla, y el otro
extremo del resorte se fija a un soporte rígido. Cuando el sistema está en equilibrio, la varilla está en posición vertical y el resorte
no sufre ningún estiramiento. Si la varilla se desplaza un ángulo pequeño 𝜃 con respecto a la vertical el resorte se estira una
cantidad x respecto a la posición de equilibrio. Se pone a oscilar el sistema armónicamente desplazándolo un ángulo pequeño y
se encuentra que tiene un periodo T.
2.1. Encuentre la ecuación diferencial para las oscilaciones armónicas de la posición angular 𝜃 en función del tiempo y
determine la fórmula para su frecuencia angular de oscilación.
2.2. Encuentre una expresión para calcular la constante de elasticidad del resorte en función de L, M y T.
2.3. Calcule la constante de elasticidad del resorte (en N/m) si L = 50cm , M =0.5 Kg y el sistema realiza 20 oscilaciones en
10 segundos.
Sugerencia: Suponga que 𝜃 es suficientemente pequeño para que las aproximaciones sen𝜃 ≈ 𝜃 y cos𝜃 ≈ 1 sean válidas.
Figura problema 2.
θ=
Solución
- Punto
1.1. La gráfica es de una oscilación sub-amortiguada con:
−𝛼𝑡
cos (ω𝑡 + ϕ) (1)
Donde;
0
2
2
0
2
𝑘
𝑚
𝑏
2 𝑚
La envolvente de la oscilación es
−𝛼𝑡
Tomamos los dos puntos sobre la envolvente (𝑡
1
1
) = ( 0. 7 s, 8. 46 cm) y (𝑡
2
2
) = ( 3. 7 s, 4. 2 cm), los
cuales son máximos consecutivos para hallar la amplitud A, el factor de amortiguamiento 𝛼 y la frecuencia
angular ω. La fase inicial se halla a partir del corrimiento que en radianes tiene la función coseno.
a) Cálculo de la frecuencia angular
La frecuencia angular 𝜔 se calcula estimando el periodo 𝑇 con los dos puntos máximos consecutivos
tomados de la gráfica:
2 𝜋
𝑇
donde 𝑇 = 𝑡
2
1
= 3. 7 s − 0. 7 s = 3. 0 s
2 𝜋
𝑇
2 𝜋
- 0 𝑠
b) Cálculo de la fase inicial
La fase inicial 𝜙 se halla observando que la gráfica del coseno está corrida temporalmente hacia la derecha
un cuarto del periodo (𝑇/ 4 ) lo que corresponde a una fase inicial:
𝝅
𝟐
c) Cálculo de la amplitud
Remplazamos los puntos en la envolvente dada por (5):
1
−𝛼𝑡
1
2
−𝛼𝑡
2
(7)
Dividiendo (6) entre (7) y aplicando logaritmo natural:
Para 𝑚 = 22. 5 Kg, 𝜔 = 2. 0944
rad
𝑠
y 𝛼 = 0. 2334 𝑠
− 1
𝑘 = ( 22. 5 𝐾𝑔)[( 2 𝜋/ 3 rad/s)
2
− 1
2
]
Kg
s
2
= 99. 92 N/m
c) ¿Cuánta energía pierde el sistema al realizar el primer ciclo?
La energía total del sistema en todo instante es Cinética más Potencial elástica:
𝑐
𝑝
1
2
𝑥
2
1
2
2
Según la gráfica, el primer ciclo se realiza desde 𝑡 = 0. 0 s hasta 𝑡 = 3. 0 s y en ambos puntos la masa está
en la posición de 𝑥 = 0. 0 cm. Luego, la energía 𝐸
𝑖
al inicio y 𝐸
𝑓
al final del ciclo es solamente cinética.
Calculamos la velocidad derivando la posición:
−𝛼𝑡
cos (ω𝑡 + ϕ)
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝐴ω𝑒
−𝛼𝑡
sen(ω𝑡 + ϕ) − 𝛼𝐴𝑒
−𝛼𝑡
cos(ω𝑡 + ϕ)
𝑥
−𝛼𝑡
[ω sen
ω𝑡 + ϕ
ω𝑡 + ϕ
]
0
−𝛼( 0 )
[ω sen (−
π
2
) + 𝛼 cos (−
π
2
)] = −𝐴
[
ω
)]
= 𝐴ω
0
10 cm
rad
s
cm
s
0
m
s
0
1
2
( 22. 5 Kg)( 0 .20944m/s)
2
0
Para calcularla al final del ciclo en 𝑡 = 3. 0 𝑠 primero debemos calcular la velocidad:
𝑥
−𝛼𝑡
[ω sen
ω𝑡 + ϕ
ω𝑡 + ϕ
]
En 𝑡 = 3. 0 𝑠 →
3
- 10 m
−( 0. 2334 𝑠
− 1
)( 3. 0 s)
[(
rad
s
) sen (
rad
s
3 .0s
π
− 1
cos
rad
s
3 .0s
π
]
3
𝑚
𝑠
3
1
2
3
2
1
2
( 22. 5 Kg)( 0. 1040 m/s)
2
3
= 0. 1217 J
La pérdida de energía ∆𝐸 es la diferencia entre la energía inicial 𝐸
0
calculada en el inciso anterior y la
energía 𝐸
3
a los 3. 0 s:
0
3
= 0. 4933 J − 0. 1217 J
∆𝐸 = 0. 3716 J
d) ¿A dónde se fue esta energía?
La energía mecánica perdida se convirtió en otras formas de energía mediante fuerzas no conservativas, como
la fricción con la superficie y la resistencia debida al aire.
