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FORMATO DE EXAMEN
UTSV-DAC-FO- 01
Firma del docente Pag _1 de __ 2 __ Instrucciones: El presente examen te permitirá conocer el nivel de conocimientos previos que se requieren para la asignatura de calculo diferencial, es importante que te esfuerces en recordar los contenidos que se presentan. Resuelve de manera individual. ¡¡¡Éxito en este curso!!! I. Realiza las siguientes actividades, anexa operaciones de manera clara y ordenada.
- Realiza las siguientes operaciones con fracciones (Aritmética). a. ! " −^1 =^ b.^ ! ' −^1 =^ c.^3 −^ ! ) =
- Responde F si la igualdad es Falsa y con V si la igualdad es Verdadera (Álgebra) d. ( 2 𝑥 − 3 ).^ = 4 𝑥.^ − 12 𝑥 + 9 ( ) e. (𝑥 + 3 )(𝑥 + 2 )^ = 𝑥.^ + 5 𝑥 + 6 ( ) f. (𝑚 + 3 )(𝑚 − 3 )^ = 𝑚.^ − 9 ( ) g. ( 2 𝑥 + 3 )"^ = 8 𝑥"^ + 36 𝑥.^ + 18 𝑥 + 9 ( ) h. 𝑥.^ + 2 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1 ) ( ) i. 𝑥.^ − 9 = (𝑥 − 3 )(𝑥 − 3 ) ( ) j. 𝑥.^ + 6 𝑥 + 8 = (𝑥 + 4 )(𝑥 + 2 ) ( )
- Tabular las siguientes funciones. k. 𝑓(𝑥)^ = −𝑥 + 3 x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) l. 𝑓(𝑥)^ = 𝑥.^ − 2 𝑥 + 1 x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 f(x) CARRERA MANTENIMIENTO ÁREA INDUSTRIAL MATERIA CALCULO DIFERENCIAL TIPO DE EXAMEN DIAGNÓSTICO^ PERIODO^ MAYO^ -^ AGOSTO^ GRUPO Y MODALIDAD 301 MAU NOMBRE DEL DOCENTE ING. CARLOS DAVID UC FERRAEZ REACTIVOS ACIERTOS CALIFICACION NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA 07 - 05 - 2020
FORMATO DE EXAMEN
UTSV-DAC-FO- 01 2
- Relaciona las siguientes funciones con su formula de derivación correspondiente.
( ) 𝑦 = 4 𝑥'
m.
( ) 𝑦 = "
. 𝑒
9 .:
n.
( ) 𝑦 = 𝑥 ln 6 𝑥
o.
( ) 𝑓(𝑥) = 5 𝑠𝑒𝑛 3 𝑥^2
p.
( ) 𝑔(𝑥)^ = 3 (𝑥.^ + 6 𝑥))
q.
“la vida es el examen más difícil. la mayoría fracasa por intentar copiar a los demás, sin darse cuenta que todos tenemos un examen diferente”. (Anónimo)
= − +
→ ^
lím sen h 0 x h x h cos = −
sen x lím→ 0 h h 1 cos h
= (− sen x )( ) 0 + (cos x ) ( ) 1 =cos x
Pero si y = sen ( ) u y u = f ( ) x , entonces se presenta otra vez la regla de la cadena. Como dy du = cos u , tenemos que dy dx dy du du dx = ⋅ por tanto d dx u u du dx sen = cos Ejemplos
1. Deriva y = sen 2( x + 1 )
Solución Hagamos u = 2 x + 1 , entonces du dx = 2 luego dy dx
= cos 2( x + 1 )( ) 2 = 2 cos ( 2 x + 1 )
2. Deriva y = cos x^2
Solución Hagamos u = x^2 , entonces du dx = 2 x , luego dy dx
= (− sen x )( x )
2 2 = − 2 2 x sen x ( Continúa ) JIMENEZ_6921_2ED_SE_149-178.157JIMENEZ_6921_2ED_SE_149-178.157 157157 5/3/115/3/11 4:39:03 PM4:39:03 PM /Ó Mé NVMUjQMjvévjfO P QSP/VvUPU nQMjvéSÓNPT Mé SÓ5Mé /ÓM QSP/VvUP ÓO PvéTjPOÓT ÓO RVÓ úéZé VOé NVMUjQMjvév UbSNjOPTU qO ÓM véTP /Ó RVÓ úVHjÓSé NaT /Ó /PT UbSNjOPT RVÓ TÓ NVMUjQMjvéO MP RVÓ @T sÓTéSSPMMéS VOé QéSUÓ /Ó Mé ©VOvjfO QéSé QPTUÓSjPSNÓOUÓ éQMjvéS Mé SÓ5Mé
AT nQMjvéS WéSjéT WÓvÓT Mé SÓ5Mé /ÓM QSP/VvUPU 9é /ÓSjWé/é /ÓM QSP/VvUP ÓT j5VéM éM QSjNÓS UbSNjOP QPS Mé /ÓSjWé/é /ÓM TÓ5VO /P UbSNjOP QPS Mé /ÓSjWé/é /ÓM QSjNÓSPU qO SÓéMj/é/ OP jNQPSUé Tj OP TÓ éQMjvé Mé SÓ5Mé ÓO PS/ÓO TjÓNQSÓ Z vVéO/P QéTPT Z TÓ SÓTQÓUÓO MPT Tj5OPTo /ÓT/Ó MVÓ5P MP SÓvPNÓO/éHMÓ ÓT úévÓSMP ÓO PS/Ó 5 o W T x o p E W p W pT o K p núPSé /ÓHÓNPT /ÓSjWéS ÓTUé hMUjNé ÓvVévjfO Z QéSé ÓMMP OÓvÓTjUéNPT Mé SÓ VOé WÓ[U 6SPvÓ/ÓNPT é /ÓTéSSPMMéSU núPSé TjNQMj©jvéNPTU E o W T \ aW R R lvT O PW p R C Razones de cambio y sus aplicaciones Bloque 3
Si aplicamos la definición de derivada f x
f x h f x h h '( ) = ( + ) −^ ( )
→
lím
0
para
derivar y = x
2
, vamos a encontrar que f !( x
2
) = 2 x , luego siguiendo el mismo
procedimiento f !( x
3
) = 3 x
2
, y si continuamos así f !( x
4
) = 4 x
3
, vemos que en
general existe un patrón para derivar f ( x
n
).
Regla 3. Si f ( x ) = x
n
donde n es cualquier número real entonces su derivada es:
d x dx nx
n
( ) n
=
− 1
Ejemplos
a ) d x dx x
5 4
5
( ) = n = 5, n 1 = 4 b ) d x dx x x
−
3 4
3
3 n = 3, n 1 = 4 c ) d x dx d x dx x
3 3 2 1
=
= n = 3 2 , n − 1 = 1 2 Regla 4. Regla del múltiplo constante. Si c es una constante y f ( x ) es una fun- ción, entonces su derivada es: d dx cf x c d dx ( ) =^ f^ ( x ) Ejemplo Si y = 7 x
3
entonces
dy dx d dx x d x dx = ( ) = x x ( ) 7 7 = 7 3( ) = 21
3 3 2 2
Regla 5. Regla de una suma algebraica. Si u , v y w son funciones de x y además
son diferenciables, entonces:
f x a
a h
x h h
→
lím
0
1
f !(0) Fíjate que lím
h
a^ h
→ h −
0
1
es el valor de la derivada de f en 0. Esto significa que la función exponencial f ( x ) = a
x
es diferenciable en 0, y
por tanto la derivada de cualquier función exponencial con base a es: f !( x ) = f !(0) a
x
La base más sencilla que existe para sustituir a es la de los logaritmos natu-
rales e (recuerda que e ~ 2.7182) que se defi ne de la siguiente manera: e es el número tal que lím
h h
e
→ h − =
0
1
1 Si en la expresión f x a a h
x h h
→
lím
0
1
ponemos a = e y lím
h h
e
→ h − =
0
1
1 obtenemos una de las fórmulas más importantes de derivación:
La derivada de la función exponencial
d
dx e e
x x
Como puedes ver, la particularidad que hace tan especial la función f ( x ) = e
x
es que es su propia derivada.
Ejemplos
- Encuentra la derivada de f ( x ) = 2
x
y g ( x ) = 3
x
Solución
Utilizamos valores de h cercanos a 0 para calcular el valor de lím
h h
a
→ h −
0
1
cuando a = 2 y cuando a = 3. (Ver tabla de valores). h lím
h h
→ h
−
0
2 1
lím
h h
→ h
−
0
_068-107.98_068-107.98 9898 5/3/115/3/11 4:01:35 PM4:01:35 PM
