Examen cálculo de una variable - 2022-2S, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

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FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

_Nombre: ________________________________________________ Cédula: ________________ Paralelo: ____

COMPROMISO DE HONOR

Al leer este compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera

individual, que puedo usar un lápiz o una esferográfica, que los temas voy a desarrollarlos en forma ordenada,

que a lo sumo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del examen, y, NO USARÉ

calculadora alguna o cualquier instrumento de comunicación ajeno al desarrollo del examen. No debo

consultar libros, ni notas, ni apuntes adicionales a las que se proporcionen para esta evaluación.

Acepto el presente compromiso, como constancia de haber leído y al estar de acuerdo con la declaración

anterior, procedo a firmarlo.

---

"Como estudiante de la ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no

copio ni dejo copiar".

1. ( 5 PUNTOS) De ser posible, calcule:

lim

𝑥 → 1

AÑO: 2022 PERÍODO: II PAO MATERIA: Cálculo de una variable

PROFESORES:

Álvarez I., Avilés J., Baquerizo G., Crow P.,

García A., García E., Hernández C., Laveglia F.,

Mejía M., Ramos M., Ronquillo C., Toledo X.

EVALUACIÓN: PRIMERA FECHA: 21 /noviembre/

Examen:

Lección:

Quiz:

Deber:

Total:

2. La temperatura 𝑇 del café recién hecho es de 130 ℉ y se conoce que dicha temperatura

a través del tiempo 𝑡, medido en 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠, puede ser modelizada con la siguiente

expresión:

− 0. 044 𝑡

(a) ( 1 PUNTO) Determine el valor de la constante 𝐴. Especifique la regla de

correspondencia para la temperatura 𝑇, considerando el valor calculado.

(b) ( 4 PUNTOS) Después que ha transcurrido mucho tiempo, mediante el cálculo de un

límite, calcule la temperatura final 𝑇

𝑓

a la cual se enfría el café. Explique lo que

representa la recta 𝑇 = 𝑇

𝑓

para la gráfica de la función 𝑇.

4. Para cada función, obtenga la expresión simplificada correspondiente a:

(a) (3 PUNTOS) 𝑦 =

4 𝑥

(b) (3 PUNTOS) 𝑦 = 𝑥

𝑠𝑒𝑐(𝑥)

5. (6 PUNTOS) Determine la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑃 0

a la curva:

2

0

7. (8 PUNTOS) De los problemas mostrados a continuación, SELECCIONE SOLAMENTE UNO y

RESUÉLVALO:

Un cuadrado está inscrito en un círculo. Si la longitud del radio del círculo se está

incrementando a una velocidad constante de 0. 8 𝑐𝑚 ⁄𝑠 , calcule la velocidad con la que

crece el área del círculo cuando el lado del cuadrado mide 4 𝑐𝑚.

La función 𝑄(𝑝) = 𝑙𝑜𝑔

2

2

) representa la cantidad, en 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, que

demanda el mercado y 𝑝 es el precio de cada acción en 𝑑𝑜́ 𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠. Si el precio de las

acciones decrece a razón de $ 2 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎, calcule la variación de la demanda cuando

la cantidad demandada es de 4 𝑚𝑖𝑙 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.

8. ( 6 PUNTOS) Dada la función de variable real 𝑓 definida por:

Verifique si cumple con la hipótesis del TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA

DE LAGRANGE) en el intervalo [ 5 , 17 ], y, en caso de hacerlo, determine el valor de 𝑐 cuya

existencia está garantizada por dicho teorema.