Estadística aplicada, definición y conceptos, Apuntes de Estadística

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Sean A y B dos sucesos tales que P(A) 0,5 , P(B) 0,3 y P(A B) 0,

Calcular las siguientes probabilidades:

3.    

P(A / B) P(A / A  B) P(A  B / A  B) P(A / A B)

Solución:

P(A B) 0,1 1

P(A / B)

P(B) 0,3 3

P(A A B) P(A B)

P(A / A B) 1

P(A B) P(A B)

P (A B) (A B) P(A B) 0,1 1

P(A B / A B)

P(A B) P(A B) 0,7 7

P A (A B) P(A) 0,5 5

P(A / A B)

P(A B) P(A B) 0,7 7

Considérense los siguientes datos: 9, 11, 7, 12, 11

a) Calcular la media, varianza y desviación típica.

b) Considérese también el conjunto de datos obtenidos sumando 20 a cada uno

de los datos in

4.

iciales. Razonar, sin efectuar nuevos cálculos, cuál de los dos conjuntos

está más disperso respecto de su media.

Solución:

5

i i 1^1 2 3 4

x x x x x x a) Media: x 10 N N



5 2 i (^2) i 1

(x x)

Varianza: 3, N



2 Desviación típica:     3,2 1,

Al sumar o restar la misma constante a todos los datos, la

, mientras que la media y el

coeficiente de variación de Pearson va

b)

rían.

varianza permanece invariante

 E(x)  x  E(k  x)  E(k)  E(x)  k x

2 2 2  Var(x)    k (^) x  Var(k  x)  Var(k)  Var(x)  0  x

2 2  k (^)  x  k (^) x  x  x

 Coeficiente variación Pearson:

x k x x C.Vx C.Vk (^) x C.Vx C.Vk x x x x 20

  

En este sentido,

2 2 E(20  x)  20  x  20  x   x 3,2  20 x   x 1,

x x x 20 x

C.V 0,179 C.V 0,

x 10 x 20 30



Es más disperso el conjunto de datos inicial.

Los pesos en kg de 20 alumnos de cierto centro son: 51, 47, 55, 53, 49, 47, 48,

50, 43, 60, 45, 54, 62, 57, 46, 49, 52, 42, 38, 61.

a) Agrupar los datos en clases de amplitud 5, siendo el extremo

5.

inferior del primer

intervalo 37,5. Dibujar el correspondiente histograma y calcular la media de los

datos agrupados.

b) Comparar la proporción de observaciones en el primer intervalo con la que

cabría esperar bajo una distribución normal de media 50 y desviación típica 6,4.

Solución:

a)

Intervalo xi^ ni^ x. ni i^ hi^ n / 5i

5

i i i 1

x. n 1005



5

i i i 1

x n 1005 x 50, N 20

   

a) P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)  0,3  0,6  0,18 0,

o también, P(A  B)  0,12  0,18  0,42 0,

b) Si A y B son independientes, también lo son A y B, con lo cual:

P(A  B)  P(A). P(B)  O,3. 0,4 0,

En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres

cifras, numeradas del 000 al 999.

a) Calcula la probabilidad de que el número premiado acabe en 5.

b) Calcula la probabilidad

8.

de que el número premiado acabe en 55.

c) Sabiendo que ayer salió un número acabado en 5, calcula la probabilidad

de que el número de hoy acabe también en 5.

Solución:

2 a) En el juego hay 1.000 papeletas, entre ellas hay un total de VR10,2 10 100

que acaban en 5.

P(acabe en 5) 0, 1000

b) Hay 10 papeletas que acaban en 55, con lo que:

P(acabe en 55) 0, 1000

c) Los números que salgan en el sorteo son independientes del día.

P(acabe en 5) 0, 1000

Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes

pesos en gramos: 88 , 90 , 90 , 86 , 87 , 88 , 91 , 92 , 89

Halla un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional

9.

, sabiendo

que el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con desviación típica

de 1,8 gramos.

Solución:

Un intervalo de confianza (1  ) para un parámetro poblacional se define:

I 1  (parámetro poblacional)   parámetro muestral error muestral

2 2

En este caso, se trata de construir un intervalo de confianza para la media

poblacional  de varianza  1,8 conocida, es decir:

I 1 x z (^) /2 1 0,95 z (^) /2 z0,025 1,

n

  

x 89 gr 9

0,95 ^ 

I 89 1,96 87,824 ; 90,

Error muestral: 1,96 1, 9

Longitud Intervalo: L  2.   2. 1,176 2,

La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley normal con desviación

típica de 7,5 m. En un estudio estadístico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido

el intervalo de confianza (21,

10.

; 26,94) para la longitud media.

a) Calcula la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra.

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.

Solución:

a) I 1  ( )  x error muestral

x 24 m 2

2

1 /

b) El intervalo de confianza para la media poblacional de varianza

conocida, viene dado por la relación: I ( ) x z n

 

En esta línea, con n  25 , x  24 ,  7,

1 /2 /2 /

I ( ) 24 z 24 z ; 24 z (21,06 ; 26,94)

25 25 25

   

Longitud Intervalo: L  2.   26,94  21,06 5,

/2 /

L 7,5 2,94. 5

Error muestral: 2,94 z z 1, 2 25 7,

Observando la tabla de la normal N(0, 1) se tiene:

b) La población está formada por 150  450  200  100  900 elementos.

Los integrantes de la muestra de cada departamento se repartirán de

forma proporcional a los trabajadores de cada departamento.

1

1 2 3 4 2

3

4

n 0,2. 150 30 Personal

180 n n n n n^ 0,2. 450^90 Ventas 0, 900 150 450 200 100 n 0,2. 200 40 Contabilidad

n 0,2. 100 20 Atención Cliente

^ ^ 

 ^ 

En una ciudad se seleccionó al azar una muestra de 225 familias. A cada

familia seleccionada se le preguntó si tenía contratatado algún seguro de

incendios. Se obtuvo como resultado que 75 famili

13.

as tenían contratado

dicho seguro. A partir de esa información, determina:

a) El intervalo de confianza al 95% para la proporción de familias de esa ciudad

que tienen contratado algún seguro de incendios.

b) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 95%, si diéramos

75 como estimación de dicha proporción el cociente 225

Solución:

a) La proporción muestral pˆ^ , qˆ , donde n 225 225 3 3

/2 0,

1 0,95 z z 1, 

1 /

El intervalo de confianza para la proporción p de una población viene dado

p. q^ ˆ^ ˆ por la expresión: I (p) pˆ z n

 

0,95^ ^ 

I (p) 1,96 0,272 ; 0, 3 225

/

p. qˆ^ ˆ b) Error muestral: z , o bien, L 2. n



L  2.   0,395  0,272  0,123   0,

/

p. qˆ^ ˆ 3 3 o bien, z 1,96 0, n 225

El error máximo que se cometería es del 6,15%

El alcalde de una ciudad prometió en su programa oponerse a la construcción de

una central de tratamiento de ciertos residuos, puesto que en aquel momento sólo

un 10% de los ciudadanos estaba a f

14.

avor de la central.

En los últimos días se ha encuestado a 100 personas de las cuales 14 están a favor de

la central. El alcalde afirma, sin embargo, que el porcentaje de los ciudadanos a favor

sigue siendo del 10% o incluso ha disminuido.

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis defendida por el alcalde a que sucedió

lo contrario, como parecen indicar los datos. Si se concluye que el porcentaje ha

aumentado y la hipótesis del alcalde fuera falsa, ¿cómo se llama el error cometido?

b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado

anterior para un nivel de significación del 5%.

Solución:

a) Se trata de un contraste unilateral para la proporción.

0

a

Hipótesis nula H : p 0,

Hipótesis alternativa H : p 0,

El alcalde tiene razón

El porcentaje ha aumentado

(rechazando

la hipótesis nula), y esto , se cometería un.

Si se admitiera que el porcentaje ha aumentado

fuera falso error TIPO I

Si se admitiera la hipótesis nula,

, el porcentaje no ha cambiado, y esto , se

cometería un.

afirmando que el alcalde lleva

razón fuera falso

error TIPO II

Es mucho más grave cometer un error TIPO II.

0

pˆ p b) Estadístico de contraste para aceptar H : z p. qˆ^ ˆ

n



0,   0,05  z  1,645 n  100 pˆ^  0,14 ˆq 0,

0,

pˆ p 0,14 0, 1,152 1,645 z p. qˆ^ ˆ 0,14. 0,

n 100

En consecuencia, se acepta la hipótesis nula, llevaba razón el

alcalde, con una fiabilidad del 95%, al afirmar que la situación

no había cambiado.

La media de una variable aleatoria X con distribución normal es 5 veces la

desviación típica. Además se verifica: P(X 6)=0,

Calcula la media y la desviación típica de la variable aleatoria X



16.

.

Solución:

La variable aleatoria X sigue una distribución normal N(   5  , )

X 5 6 5 6 5

P(X 6) P P z 0,

 ^ ^ ^ ^   ^ 

P z 01587 , en la tabla N(0, 1) se observa P z 1 01587

 ^ 

 ^ ^ ^ 

Se sabe que dos poblaciones distintas, X e Y, se distribuyen normalmente

con media 0. Además P(X  2)  P(Y  3) 0,1587. Calcula sus respectivas varianzas.

17.

Solución:

Sean las variables aleatorias X  N(0,  1 ) e Y N(0,  2 )

1 1 1

X 0 2 0 2

P(X 2) P P z 0,

 ^    

 ^ ^    

2 2 2

Y 0 3 0 3

P(Y 3) P P z 0,

 ^    

 ^ ^    

En la tabla N(0, 1), se observa P z^  1  01587 , de donde:

2 2 1 1 2 2 1 2

El consumo de carne de pollo parece haberse disparado desde que hace unos meses

cundió la alarma sobre otros tipos de carne. En cierta carnicería, las ventas diarias de

carne de pollo seguían hast

18.

a entonces una normal de media 19 kilos y desviación típica

3 kilos. En una muestra de 35 días posteriores a la citada alarma se obtuvo una media de

21 kilos de carne de pollo vendidos al día. Suponiendo que las ventas siguen una normal

con la misma desviación típica:

a) Plantea un test para contrastar que la venta de pollo no ha aumentado, como parecen

indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega a un nivel de significación del 5%?

b) Calcula un intervalo de confianza del 95% para la venta diaria media de carne de pollo.

Solución:

a) Se trata de un contraste unilateral para la media poblacional con varianza

conocida. Se establecen las hipótesis:

0

a

Hipótesis nula H : 19 kg

Hipótesis alternativa H : 19 kg

Se acepta H 0 si el estadístico de contraste

x z z / n



Región Aceptación  (  ; 1,645)

x  21 kg n  35 días   3 kg   0,05  z (^) 0,051,

0,

x 21 19 Siendo z 3,94 1,645 z / n 3 / 35

Se rechaza la hipótesis nula, aceptando en consecuencia la hipótesis alternativa,

afirmando que el consumo medio de carne de pollo ha aumentado con la alarma,

con una fiabilidad del 95%.

Adviértase que 3,94 ( ; 1,645) , es un valor que está fuera de la región de

aceptación.

1 /2 /2 0,

b) El Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución

normal de varianza conocida: I ( ) x z donde z z 1, n

  

0,95 ^ 

con lo cual, I ( ) 21 1,96 20,01 ; 21, 35

Se observa que 19  20,01 ; 21,99 , se encuentra fuera del intervalo de confianza

En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega

al fútbol o al baloncesto, y el 10% practica ambos deportes. Además hay un 60% que

no juega al fútbol. Halla la p

20.

robabilidad de que, escogido al azar un alumno de la clase:

a) Juegue sólo al fútbol.

b) Juegue sólo al baloncesto.

c) Practique uno solo de los deportes.

d) No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

Solución:

Sean los sucesos: F  " juega al fútbol" B " juega al baloncesto"

P(F  B)  0,6 P(F  B)  0,1 P(F)  0,6  P(F) 0,

O,6 0,4 P(B) 0,

P(F B) P(F) P(B) P(F B)

P(B) 0,

^ ^ ^ 

a) P(F  B)  P(F)  P(F  B)  0,4  0,1 0,

b) P(F  B)  P(B)  P(F  B)  0,3  0,1 0,

c) P(F  B)  P(F  B)  0,3  0,2 0,

d) P(F  B)  P(F  B)  1  P(F B)  1  0,6 0,

Un dado con las caras numeradas del 1 al 6 está trucado de modo que la

probabilidad de obtener un número es directamente proporcional a dicho número.

a) Halla la probabilidad de que salga 3 si s

21.

e sabe que salió impar.

b) Calcula la probabilidad de que salga par si se sabe que salió mayor que 3.

Solución:

P(1)  x P(2)  2x P(3)  3x P(4)  4x P(5)  5x P(6) 6x

P( ) 1 x 2x 3x 4x 5x 6x 21x x 21

P(3) 21 3 1

a) P(3 / salió impar) P(1,3,5) 1 3 5 9 3

P(4, 6) 21 21 10 2

b) P(par / mayor que 3) P(4, 5, 6) 4 5 6 15 3

a) Halla la probabilidad de obtener al menos un seis doble en n tiradas de dos dados.

1 b) ¿Cuántas partidas habrá que jugar para que la probabilidad anterior sea de? 2

22.

Solución:

a) Denotando el suceso Ai "sacar 6 doble en la tirada i‐ésima".

La probabilidad pedida es:

P(A)  P(A 1  A 2  A 3    A )n  1  P(A 1  A 2  A 3   A )n 

 1  P(A 1  A 2  A 3    A )n  1  P(A 1  A 2  A 3   A )n 

 

n n 1 2 3 n i

35 1 P(A ). P(A ). P(A ) P(A ) 1 P(A ) 1 36

           



Adviértase que todos los sucesos son independientes y tienen la misma probabilidad.

n 35 P(al menos un 6 doble en n tiradas de dos dados) 1 36

n n n n 35 1 35 1 35 1 35 1 b) 1 Ln Ln Ln Ln 36 2 36 2 36 2 36 2

Ln n (Ln35 Ln36) Ln2 n 25 partidas Ln36 Ln

Si la probabilidad de que ocurra un suceso A es 1/5, ¿cuál es el mínimo número de veces

que hay que repetir el experimento para que la probabilidad de que ocurra al menos una vez

el suceso A sea ma

23.

yor que 1/2?. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos dos veces A

al realizar 5 veces el experimento?.

Solución:

a) X="número de éxitos en n pruebas", X  B(n, 0,2) , p  0,2 , q 0,

P(X 1) P(X 1) P(X 0)

0 n n 0,8^4 0,

n (^1) P(X 0). 0,2. 0,8 0,8 n 4 (^0 )

Para que el suceso A tenga al menos una probabilidad mayor , hay que repetir el 2

proceso un mínimo de 4 veces.