ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES
Espacios vectoriales.
Un espacio vectorial (o lineal) es un conjunto no vacío V, cuyos elementos se denominan
vectores, en el que hay definidas dos operaciones, suma y multiplicación por escalares (números
reales o complejos) que satisfacen los siguientes axiomas. Para vectores arbitrarios u, v, w y
escalares c y d:
1. La suma es una operación interna: u + v ∈ V
2. La suma es conmutativa: u + v = v + u
3. La suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w
4. Elemento neutro de la suma: ∃0 ∈ V | v + 0 = v, ∀v ∈ V
5. Elemento inverso en la suma: ∀v ∈ V , ∃v’ ∈ V | v + v’ = 0, se escribe v’ = (−v)
6. La multiplicación por un escalar produce un vector: cv ∈ V
7. Distributividad I: c (u + v) = cu + cv
8. Distributividad II: (c + d)v = cv + dv
9. Asociatividad: c(dv) = (cd)v = cd v
10.1 · v = v.
El vector 0 es único y, dado v, también lo es −v. Además 0v = 0, c0 = 0 y −v = (−1)v.
Subespacios vectoriales.
Dado un espacio vectorial V, decimos que un subconjunto no vacío U ⊆ V, es un subespacio
vectorial de V cuando al restringir las operaciones de suma y multiplicación por escalares para V a U,
éste es un espacio vectorial. Formalmente, lo que estamos diciendo es que:
1. Para cualesquiera u, v ∈ U, se verifica que u + v ∈ U
2. Para cualesquiera λ ∈ K, u ∈ U se verifica que λ · u ∈ U
Observar que la segunda condición anterior implica que el vector cero de V está también en
U, ya que si u ∈ U, entonces 0 · u = −0 ∈ U.