Electronica digital y sistemas numericos, Apuntes de Matemáticas

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Notas del curso

Electrónica Digital

Sistemas Numéricos

Sistemas Numéricos

• Numeración INDICE
• Numeración Romana
  • NUMERACIÓN ROMANA
• rayas horizontales se coloquen encima de los mismos. El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como
• Numeración Arábiga
• Decimal
• Binario..................................................................................................................
• Octal
• Hexadecimal
• Quinario
• Senario
• Base 11................................................................................................................
• Conversiones entre sistemas numéricos
• Fórmula General.
• Multiplicar por la base y sumar
• Extracción de potencias
• Residuios...............................................................................................................
• Múltiplo
• Resumen de Sistemas Numéricos
• Reflexión

Numeración Romana

Este sistema (también conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil.

En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez, ¡ imagine la dificultad que presentaría una multiplicación con números romanos ¡.

LIII x IC ¿?

NUMERACIÓN ROMANA

La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:

Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X" , les resta una unidad; la "X" , precediendo a la "L" o a la "C" , les resta diez unidades y la "C" , delante de la "D" o la "M" , les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

Letras I V X L C D M

Valores^1 5 10 50 100 500

En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

La "V" , la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque hay otras letras "X", "C", "M" que representan su valor duplicado.

Ejemplos: X (no VV) = 10 ; C (no LL) = 100 ; M (no DD) = 1.

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

Numeración Arábiga

El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional.

Notación posicional.

La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales.

En la notación posicional los números cambian su valor según su posición, por ejemplo el digito 2 en el número 20 y el mismo digito en el 2,000 toman diferente valor.

.

2.- identificación de la posición de cada digito, símbolo o coeficiente i

En el número 82457.319 para asignar el valor de la posición se toma de referencia el punto decimal de manera que con el punto decimal hacia la izquierda asignamos el valor de cero incrementándose en uno por cada digito hacia la izquierda hasta llegar a +n y del punto decimal a la derecha iniciaremos asignando al primer digito el valor de menos uno (-1) y decrementándose en una unidad por cada dígito a la derecha hasta llegar a – n, como lo muestra la figura

3.- Aplicación de la Formula General

Ejemplo 385 (10)

En donde el digito 5 ocupa la posición cero, el 8 la uno y el 3 la posición dos, como lo indica la figura.

Al aplicar la fórmula general obtenemos:

N 3 ( 10 ) 8 ( 10 ) 5 ( 10 )

N= 3 (100) + 8 (10) + 5 (1)

En donde se puede observar que el número adquiere valor dependiendo la posición que guarde, como el 3 que esta en la posición 2 se multiplica por 100 que es 10^2 como lo llamamos tradicionalmente centenas, al 8 de posición uno por 10^1 o decenas unidades y al 5 de posición cero 10^0 unidades

Tabla que muestra el valor de un número decimal dependiendo la posición que guarde.

Numero posición Potencia Nombre 1 0 10° Unidades 10 1 10¹ Decenas 100 2 10² Centenas 1000 3 10³ Unidades de Millar 10000 4 104 Decenas de Millar 100000 5 105 Centena de Millar 1,000,000 6 106 Unidad de Millón 10,000,000 7 107 Decena de Millón 100,000,000 8 108 Centena de Millón 1000,000,000 9 109 Unidad de Millar de Millón 10,000,000,000 10 1010 Decena de Millar de Millón 100,000,000,000 11 1011 Centena de Millar de Millón 1,000,000,000,000 12 1012 Unidad de Billón Además del sistema decimal existen otras bases de notación posicional que son empleadas en los sistemas digitales como:

Binario o base 2 que consta de solo dos símbolos 0 y 1.

Octal o base 8 consta de ocho símbolos ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ) y es una representación corta del binario y por ejemplo (^111101110) (2) = 756(8). Para las máquinas es mas fácil trabajar con unos y ceros que representarían voltaje o no voltaje mientras que para nosotros es mas cómodo decir solo 756 en lugar de todo el número binario.

Hexadecimal o base 16 consta de 16 símbolos ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ), es la representación corta mas usada del binario y Ejemplo (^111101111010) (2) = F7A(16).

Conversiones entre sistemas numéricos

1.- Para convertir de cualquier base de notación posicional a decimal.

N(x) N(10)

Se proponen los siguientes métodos:

a) para números con decimales la Formula General. b) Para números enteros el método de Multiplicar por la base y sumar.

2.- para convertir de decimal a cualquier base de notación posicional. (clase 4)

N(10) N(x)

Se proponen los siguientes métodos::

a) para números con decimales el método de Extracción de potencias. b) Para números enteros el método de los Residuos.

3.- para convertir directamete de binario a octal o Hexadecimal y viceversa.

N(2) N(8)

N(2) N(16)

Se propone el método llamado del Múltiplo.

Conversiones de N(x) N(10)

Fórmula General.

1.- para números con decimales la Fórmula General.

Ejemplo 1 convertir un número binario a decimal:

1011.11(2) N(10)

a) Identificar la posición.

b) Aplicar la fórmula general

N(10) = 1(2)^3 + 0(2)^2 + 1(2)^1 + 1(2)^0 + 1(2)-1^ + 1(2)-

c) Efectuar operaciones

N(10) = 1(8) + 0(4) + 1(2) + 1(1) + 1(0.5) + 1(0.25)

N(10) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = 11.75(10)

1011.11(2) 11.75(10)

Ejemplo 4 convertir un número de base cinco a decimal:

142.3(5) N(10)

a) Identificar la posición

b) Aplicar la fórmula general (^) N(10) = 1(5)^2 + 4(5)^1 + 2(5)^0 +3(5)-^1

N(10) = 25 + 20 + 2 +.6 = 47.6(10) 142.3(5) 47.6(10)

Ejercicios

Convierta los siguientes números de notación posicional a base diez

a) 1010100.0101(2) b) 3456.4 (^) (8) c) FC5D.8 (^) (16) d) 45.2 (^) (7)

Multiplicar por la base y sumar.

2.-Para números enteros se recomienda el método de Multiplicar por la base y sumar.

En un número de notación posicional el dígito más significativo es la tiene la ponderación más alta (MSD) y se encuentra más a la izquierda y el dígito menos significativo es la que tiene es la tiene la ponderación más baja (LSD) y se encuentra más a la derecha.

En el caso del sistema binario se le llama Bit (Dígito Binario)

Bit = La Unidad de medida más pequeña de la información digital. Un bit sólo tiene dos posibles valores: 0 o 1. La palabra "bit" se forma al combinar "b”- de binary y la letra "t" de digit, o sea dígito binario. Byte = Unidad de medida de la información digital, equivalente a 8 bits o un carácter de información. El byte es una unidad común de almacenamiento en un sistema de cómputo y es sinónimo de carácter de datos o de texto; 100,000 bytes equivalen a 100,000 caracteres. Los bytes se emplean para hacer referencia a la capacidad del hardware, al tamaño del software o la información. Se llama también octeto. Multiplicar por la base y sumar.

Este método consiste en multiplicar el MSD o MSB (más significativo dígito o más significativo Bit) por la base y el producto se suma al valor del dígito siguiente, el resultado se multiplica de nuevo por la base y el producto se suma al dígito siguiente y así sucesivamente hasta llegar al LSD o LSB de modo que el resultado de todas las operaciones es el número equivalente decimal.

2.- para convertir de decimal a cualquier base de notación posicional.

N(10) N(x)

Se proponen los siguientes métodos::

c) para números con decimales el método de Extracción de potencias. d) Para números enteros el método de los Residuos.

Extracción de potencias

Preferentemente para números con decimales.

La aplicación de este método puede realizarse en tres pasos

Primero elaborar una tabla de potencias de la base ala cual se va a convertir el número decimal.

Segundo restar sucesivamente al numero en base diez la potencia igual o próxima menor hasta que la diferencia sea igual a cero

Tercer con las potencias utilizadas en la resta formar el numero.

Ejemplo 1 convertir un numero decimal a binario

25.5(10) N(2)

a) Tabla de potencias de base 2

2 -^2 2 -^1 20 21 22 23 24 25

= = = = = = = =

1 2 4 8 16 32

En donde el rango de valores asignado a la tabla para efectuar la resta deberá cubrir de un valor menor a 0.5 que representa la parte mas pequeña de numero 25.5 la potencia requerida es 2 -^2 = 0.25 y un valor mayor a 25 como 2^5 = 32.

b) Resta sucesiva 2 -^2 2 -^1 20 21 22 23 24 25

c) Formar el numero

El resultado es 25.5(10) 11001.1(2)

Ejemplo 3 convertir un numero decimal a Hexadecimal

61.5(10) N(16)

a) Tabla de potencias de base 16

16 -^1 160 161 162

El rango de valores asignado a la tabla de un valor menor a 0.5, la potencia requerida es 16 -^1 = 0.0625 y un valor mayor a 61 como 16^2 = 256.

b) Resta sucesiva 16 -^1 160 161 162

c) Formar el numero

El resultado es 61.5(10) 3D.8(16)

Convierta los siguientes números de base diez a base que se indica:

A) 100.25(10) N (^) (2) B) 3456.4 (^) (10) N (^) (5) e) 109.25 (^) (10) N (^) (16)

Residuios.

Para números con enteros

Este método consiste en dividir sucesivamente el numero decimal entre la base a la que se desee convertir hasta que el cociente sea menor que la base, el numero equivalente se forma con el ultimo cociente y los residuos.

Ejemplo 1 convertir un numero decimal a binario

(^35) (10) N(2)

(^35) (10) 100011 (2)

Ejemplo 2 convertir un numero decimal a Octal

(^46) (10) N(8)

(^46) (10) 56 (8)