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Tipo: Apuntes
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Presentaci´on
Puede decirse que la actividad de un cient´ıfico es contribuir a conocer mejor el universo que habitamos y que la de un ingeniero es utilizar el ingenio para resolver problemas. Las matem´aticas son un lenguaje que permite al cient´ıfico expresar y precisar ese conocimiento y una herramienta que permite al ingeniero resolver problemas pr´acticos a partir de ese conocimiento. En cualquier disciplina, la pr´actica hace al maestro, y trat´andose de matem´aticas, la pr´actica a trav´es de la resoluci´on de problemas no solamente es muy importante, sino indispensable para comprender realmente el significado y alcance de sus diversas ramas y teor´ıas. S´olo a trav´es de la resoluci´on de problemas se logran comprender los conceptos y los m´etodos y se consigue su integraci´on al acervo cultural del estudiante y, lo que es m´as importante, s´olo as´ı se aprende a aplicarla en otras ´areas del conocimiento y la t´ecnica.
Por este medio, estamos poniendo al servicio de los estudiantes y profesores universitarios de los cursos de c´alculo de las ´areas de ciencias e ingenier´ıa, una colecci´on con m´as de cuatrocientos ejercicios y problemas sobre los distintos t´opicos que cubren los cursos regulares de esta materia. Esta colecci´on de Ejercicios y problemas de C´alculo tiene el prop´osito de complementar el texto Fundamentos del C´alculo, de los mismos autores, y, como tal, su organizaci´on y presentaci´on corresponden a las de ´este; sin embargo, puede utilizarse independientemente con cualquier otro libro de c´alculo del mismo nivel y orientaci´on, pues se ha procurado evitar referencias espec´ıficas al libro de texto.
El C´alculo es una de las herramientas matem´aticas m´as poderosas que ha creado el hombre en virtud de la variedad y profundidad de sus aplicaciones, y por eso re- sulta a´un m´as importante su buena comprensi´on y manejo. Basados en estas razones, los ejercicios y problemas aqu´ı propuestos son de distintos niveles de dificultad, y buscan no s´olo la mera aplicaci´on de rutinas y m´etodos, sino que pretenden incitar al estudiante a pensar y adentrarse en los temas planteados, extendiendo y pro- fundizando la teor´ıa. Los ejercicios y problemas han sido divididos por cap´ıtulos y por grandes temas, y en dos niveles, seg´un su grado de dificultad, pues hemos llamado ejercicios a los que requieren la aplicaci´on m´as o menos rutinaria de los conceptos y t´ecnicas del c´alculo, y problemas a aquellas preguntas que requieren un pensamiento y una reflexi´on m´as elaborada. Por otra parte, con el fin de que sean utilizadas como gu´ıa y para brindar confianza al estudiante en su trabajo, se incluyen un buen n´umero de respuestas y sugerencias a los problemas planteados, algunas de ellas desarrolladas con todo detalle. Como mencionamos, este problemario est´a dirigido al ´area de ciencias e ingenier´ıa y puede utilizarse en el dise˜no de los cursos de c´alculo. Ha sido elaborado en el marco
10 Conocimientos previos
(a) A ∩ B (b) (A ∪ B) ∩ C (c) (A ∩ C) ∪ (A ∩ B) (d) (A ∩ Bc) ∪ C.
(a) (A ∪ B) ∩ (Bc^ ∩ A) ⊂ A (b) (Ac^ ∩ Bc) ∩ (A ∩ C) = ∅ (c) (A ∩ Bc) ∪ (Ac^ ∩ B) ⊂ (Ac^ ∩ Bc)c.
Problema
(a) Si para ser candidato a la presidencia de M´exico se requiere tener m´as de 30 a˜nos y haber nacido en M´exico de padres mexicanos, exprese el conjunto de los candidatos posibles en t´erminos de los conjuntos U, A, B, C y las operaciones conjuntistas. (b) Escriba en t´erminos de los conjuntos U, A, B, C y de las operaciones con- juntistas el conjunto X de las personas que no pueden ser presidente de M´exico.
1.2 Algebra´
Ejercicios
| 2 x + 4
2 | + | x −
es positiva.
x^2 − x x^2 + 13x
1.2 ´Algebra 11
n − 1
n
(a) x^2 − 7 x = − 12
(b) 2 x − 1 x + 2
x + 2 2 x − 1
(c)
4 x + 1 = 3 − 3 x (d) x^3 − 7 x
(^32) − 8 = 0.
2 u − v = − 5 s 3 u + 2v = 7r − 4 s.
(b) Exprese las variables x y y en t´erminos de a y b :
ax − by = a^2 + b^2 2 bx − ay = 2b^2 + 3ab − a^2.
Problemas
x^3 − y^3 = 19 x^2 + xy + y^2 = 19.
(a) Un n´umero natural n es par si y s´olo si n^2 es par. (b) Un n´umero natural n es impar si y s´olo si n^2 es impar. (c) El cuadrado de un n´umero natural es m´ultiplo de tres si y s´olo si el n´umero es m´ultiplo de tres.
1.4 Trigonometr´ıa 13
A B
θ
α
Figura 1.1 Diagrama para el problema 24
Problema
1.4 Trigonometr´ıa
Ejercicios
y sec θ < 0, encuentre los valores de cos θ y tan θ.
Problema
1.5 Geometr´ıa Anal´ıtica
Ejercicios
14 Conocimientos previos
Problemas
Respuestas y sugerencias
9a. x 1 = 3, x 2 = 4. 9b. x 1 = − 7 , x 2 = 1. 9c. x 1 =
, x 2 = 2. 9d. x 1 = 2, x 2 = 4.
si suponemos que x, y y z son n´umeros distintos.
16 Conocimientos previos
Cap´ıtulo
Los n´umeros reales
En este cap´ıtulo se propone una serie de ejercicios y problemas para reforzar el conocimiento y el manejo de las operaciones y propiedades de los n´umeros reales que son relevantes para el c´alculo diferencial e integral. Se incluyen reactivos sobre la representaci´on decimal de n´umeros reales y las propiedades del orden, especialmente las relativas a la densidad y a la completez de este sistema.
2.1 Los n´umeros naturales
Ejercicios
Problemas
2.3 Operaciones con n´umeros reales 19
(b) B = 37. 28560 (c) C = − 13. 345.
8 no es un n´umero racional.
5 y
3 no son n´umeros racionales.
2 con a, b ∈ Q forman un campo que contiene a
Problema
a b empieza justo enseguida del punto decimal.
2.3 Operaciones con n´umeros reales
Ejercicios
(a) Si A es un n´umero real distinto de cero, entonces existe otro n´umero real B tal que A · B = 2. (b) Existe un n´umero real A tal que A^2 + A + 1 = 0. (c) El producto de dos n´umeros reales irracionales es un n´umero irracional.
2.4 Densidad de los n´umeros reales
Ejercicios
20 Los n´umeros reales
2.5 Propiedad de orden en los n´umeros reales
Ejercicios
(a) Si A y B son n´umeros reales con A < B, entonces A <
(b) Si A^2 6 A, entonces |A| 6 1.
|a 1 + a 2 + · · · + an| 1 + |a 1 + a 2 + · · · + an|
|a 1 | 1 + |a 1 |
|a 2 | 1 + |a 2 |
|an| 1 + |an|
(a) A = {x ∈ R tales que | 4 x + 1| − |x − 1 | > x − 2 } (b) B = {x ∈ R tales que |x − 3 | 6 2 |x|} (c) C = {x ∈ R tales que | 2 x − 3 | > 2 y |x − 5 | < 1 }.
Problema
para cualesquiera dos n´umeros reales a > 0 , b > 0 y m un entero positivo.
22 Los n´umeros reales
Multiplicando por n^3 obtenemos que
m^3 + pm^2 n + qmn^2 + rn^3 = 0. (2.1)
Al sumar −rn^3 en ambos lados resulta que
m^3 + pm^2 n + qmn^2 = −rn^3.
Factorizando m en el lado izquierdo:
m(m^2 + pmn + qn^2 ) = −rn^3.
Como m divide al lado izquierdo, tambi´en debe dividir a −rn^3. Pero como m no divide a n, se concluye que m divide a r. Si ahora, a partir de (2.1), sumamos a ambos lados el t´ermino −m^3 encon- tramos que pm^2 n + qmn^2 + rn^3 = −m^3.
Factorizando n en el lado izquierdo:
n(pm^2 + qmn + rn^2 ) = −m^3.
Como n divide al lado izquierdo, tambi´en divide a −m^3. Pero m y n son primos relativos; luego n = ± 1. As´ı que α es entero y divide a r.
2.6 Completez 23
Aplicando el algoritmo de la divisi´on repetidamente encontramos que
m = nq + r, con 0 < r < n, n = rq 1 + r 1 , con 0 < r 1 < r, r = r 1 q 2 + r 2 , con 0 < r 2 < r 1 , .. .
rn− 2 = rn− 1 qn + rn, con 0 < rn < rn− 1 , rn− 1 = rnqn+1.
La sucesi´on de residuos eventualmente tomar´a el valor rn+1 = 0, ya que la sucesi´on de enteros no negativos b, r 2 , r 3 ,... es mon´otona decreciente, y no puede tener m´as de b t´erminos estrictamente positivos. Aplicando el resultado anterior repetidamente, concluimos que mcd(m, n) = mcd(n, r 2 ) = mcd(r 2 , r 3 ) = · · · = mcd(rn− 1 , rn) = rn. De manera que el ´ultimo residuo no nulo obtenido mediante el algoritmo de la divisi´on es el m´aximo com´un divisor de m y n. De la pen´ultima expresi´on, obtenemos rn = rn− 2 − rn− 1 qn− 1 , y sustituyendo de manera recursiva los residuos rn− 1 , rn− 2 ,... , r 3 , r 2 , encontramos una expresi´on para rn =mcd(m, n) en la forma rn = ma + nb. En el caso particular en el que m y n son primos relativos, se concluye que existen enteros a y b tales que 1 = ma + nb.
8f. Sea C el conjunto de los n´umeros naturales n que satisfacen n < 2 n. Obvia- mente 1 ∈ C. Supongamos que alg´un n´umero natural k est´a en C. Como 2 k+1^ = 2 · 2 k^ > 2 k > k + 1, se concluye que k + 1 est´a tambi´en en C. Entonces C = N.
9b. −
10a. A =
8 no es un n´umero racional, ya que
2 y
2 no es un racional.
r es irracional. Siga la misma de- mostraci´on que para
2 tomando en cuenta que p^2 es m´ultiplo de r si y s´olo si p tambi´en lo es.
p =
, q = −
, p + q = −
