Ejercicios resueltos en el itescam, Ejercicios de Derecho

¡Descarga Ejercicios resueltos en el itescam y más Ejercicios en PDF de Derecho solo en Docsity!

EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicio 5 .-

Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

que sea:

a) compatible determinado b) compatible indeterminado

c) incompatible

Justifica en cada caso tus respuestas.

Solución:

a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, no puede ser compatible

determinado; con solo dos datos (ecuaciones) no podemos averiguar tres incógnitas.

b) Por ejemplo:

x + y + z = 3  

tiene infinitas soluciones, que serían de la forma:

x − z = 1  

x = 1 + , y = 2 − 2 , z = , con   R

c) Tendrían que ser dos ecuaciones contradictorias. Por ejemplo:

x + y + z = 3  

es incompatible; no se pueden dar las dos ecuaciones a la vez.

x + y + z = 1

Ejercicio 1.

Resuelve e interpreta geométricamente el sistema:

− x + 3 y − z = (^4) 

C) x + 4 y

2 x − 6 y + 2 z = 3  

Solución:

En primer lugar, lo resolvemos mediante el método de Gauss:

1

a

2

a

• 1

a

− x + 3 y − z = 4

7 y − z = 9

www.yoquieroaprobar.e

La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible. Geométricamente, el sistema

representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres.

Ejercicio 2

Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas:

i) − 3 x + y − z = − 4  j) x + 2 y + z + t = 3 

5 x − 2 y + z = (^6) 

− x + y

• 2 t = − (^1) 

− x + y + 3 z = 0  

− x + 7 y + 2 z + 8 t = 1  

Solución:

a) − 3 1

3

a  − 1 1

a  − 3 1

2

a

1

a

− 1 1 3 0 

1

a − 1 1 3 0 

a − 3  1

a  0 − 2 − 10 − 4

a : (−2)

3

a − 5  1

a

3

a

1

a

a

0  − x + y + 3 z = 0 

y + 5 z = 2  → 



3

a − 3  2

a ^ 0 0 1

z = 0  

x = y + 3 z = (^2) 

→ y = 2 − 5 z = (^2) 

La solución es (2, 2, 0 ).

z = 0  

b)  1

1

a  1 2

a

• 1

a  0

3

a

• 1

a

1

a

a

x + 2 y + z + t = (^3) 

3 y + z + 3 t = (^2) 



3

a − 3  2

a  0 0 0 0 − 2

0 x + 0 y + 0 z + 0 t = − 2  

La última ecuación es imposible. Por tanto, el sistema es incompatible.

Ejercicio 9

En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de

mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?

b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos

hombres, mujeres y niños hay?

Solución:

a) Llamemos x al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños.

Como hay 22 personas, tenemos que:

x + y + z = 22

Con el otro dato, planteamos otra ecuación:

 y + 3 z = 2 x

Solo con estos datos no podemos saber el número de hombres (ni el de mujeres, ni el de

niños) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incógnitas,

para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuación.

b) Añadiendo una tercera ecuación con el dato que nos dan, planteamos el sistema:

x + y + z = 22  3 y^ +^ z^ =^22  z = 22 − 3 y  z^ =^22 −^18 =^4

− 2 x + 2 y + 3 z = (^0) 

− 2 y + 3 z = 0 

− 2 y + 66 − 9 y = 0 

− 11 y = − 66 → y = 6

Ejercicio 1

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:

e) x − 2 y = (^0) 

3 x − y = (^5) 

x − y = 1  

f) 3 x − z = (^4)  

y + 3 x = 2

Resuélvelos e interprétalos geométricamente.

Solución:

a) Resolvemos el sistema por el método de Gauss:

1

a

 1

1

a  1

2

a − 3  1

a  0 5

2

a − 5  3

a  0 0

3

a − 1

a

3

a  1

x − 2 y = 0  

→ (^)  →

x = 2 y = (^2)   

y = 1  

y = 1  

El sistema es compatible determinado. La solución es (2, 1).

Geométricamente, representa tres rectas que se cortan en el punto (2, 1):

b) Se trata de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Pasando la z al

o miembro en las dos ecuaciones, tenemos que :

3 x = 4 + z (^)  

x =

z

y = 2 − 3 z ^

 y = 2 − 3 z

El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son:

www.yoquieroaprobar.e

x =

y = 2 − 3  , z =  ,

con

  R

www.yoquieroaprobar.e

La solución es (−1, 3, 1).

www.yoquieroaprobar.e

b) (^) − 1 1

1

a −^1

2

a

• 1

a ^ 0

3

a

• 1

a

4

a

• 1

a

1

a − 1 1

− x + y − z = − (^2) 

2

a ^ 0 1 0

3

a

z = 2 

y + t = (^1) 



4

a − 3

a

z = − 2  

La 2

o y la 4

o son ecuaciones contradictorias. Por tanto, el sistema es incompatible.

Ejercicio 10

Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del

cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio

del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una

de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Solución:

Tenemos que:

Planteamos el sistema con los datos que nos dan:

0,9 x + 0,9 y + 0,9 z = 3,56

y =

x

z = y + 0,2 x

z =

x

• 0 , 2 x = 0, 5 x + 0 , 2 x = 0, 7 x

0,9 x + 0,9 

x

• 0,9  0,7 x = 3,

→ 0,9 x + 0,45 x + 0,63 x = 3,56 → 1,98 x = 3,

→ x = 1,

y =

x

=

z = 0,7 x = 1,

Por tanto, el rotulador marcaba 1,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros y, la carpeta, 1,26 euros.

www.yoquieroaprobar.e

Por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado, cuyas soluciones son:

x =  , y = 2 −  , z^ =^

 , (^) con   R

www.yoquieroaprobar.e

Ejercicio 11

En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos

sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540

euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6

euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de

chocolate y de nata se han de comprar el 20% más que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor

se compran a la semana.

b) Resuelve, mediante el método de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

Solución:

a) Llamamos x al número de helados de vainilla que se compran semanalmente, y al de

helados de chocolate, y z al de helados de nata.

Compran110 helados en total → x + y + z = 110 ^

x + y + z = (^110) 

Precio total 540 euros → 4 x + 5 y + 6 z = (^540)  4 x + 5 y + 6 z = (^540) 

Chocolate y nata = 20% más que vainilla → y + z = 1 , 2 x  

12 x − 10 y − 10 z = 0  

b)  1 1

1

a  1 1

a − 4  1

a  0 1 2 100

3

a − 12  1

a

1

a

a

a

a

3

a : (−22)

2

a − 3

a

www.yoquieroaprobar.e

x + y + z = (^1) 

→ − 2 y − 5 z = (^3) 

0 x + 0 y + 0 z = 5  

La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible.

Geométricamente, representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto

común a los tres.

Ejercicio 2

Resuelve estos sistemas, mediante el método de Gauss:

g) 5 x − y + 3 z = − 6 

x + 3 y − z = (^10) 

h) 2 x − y + z = 5 

3 x + 2 y = 1 

2 x − y + 4 z = − 2  

− x + 4 y − 2 z = − (^9) 

6 x + 11 y − 3 z = − 11  

Solución:

a)  5 − 1 3

2

a

 1 3

1

a  1 3

a  5 − 1 3

3

a ^ 2 − 1 4

a − 5  1

a  0

3

a − 2  1

a  0

1

a

 1 3

1

a  1 3

a : (−8)

2

a  2 − 1

3

a ^ − 7 6 − 22

7  2

a

• 2  3

a  0 0 5

x + 3 y − z = (^10)  x = 10 − 3 y + z = 10 − 12 + 1 = − (^1) 

→ 2 y − z = (^7)  →

5 z = 5  

2 y = 7 + z = 7 + 1 = 8 → y = 4

z = 1

La solución es (− 1, 4, 1 ).

b) (^)  2

3

a −^1

2

a ^ 3 2 0

1

a  2 − 1 1 5



a

1

a −^1 4 −^2

1

a −^1 4 −^2

2

a

• 3  1

a ^ 0 14

3

a  7 −^3 −^13

3

a

• 2  1

a

4

a

• 6  1

a

2

a − 2  3

a

4

a − 5  3

a

− x + 4 y − 2 z = − 9 

→ (^)  Pasamos la z al 2

o miembro:

7 y − 3 z = − 13  

− x + 4 y = − 9 + 2 z  

→

y =

z →

7 y = − 13 + 3 z

→ x = 4 y + 9 − 2 z =

 −^13

z

• 9 − 2 z =

z + 9 − 2 z =

z

Las soluciones del sistema son:

x =

, y =

z = , con   R

www.yoquieroaprobar.e

y =

200 − 2 z

− 10 z = − 250  

z = 25

Por tanto, habrá que coger 25 g del primer lingote, 50 g del segundo y 25 g del tercero.

Ejercicio 3 .-

a) Razona si los siguientes sistemas son equivalentes o no:

 x^ =^ −^2

I :

 x − 3 y + 4 z = 7 

II :

y = 1

 3 x + 2 z = 0 

z = 3

b) Añade una ecuación al sistema I, de modo que el nuevo sistema resultante sea

incompatible. Justifica turespuesta.

Solución:

a) El segundo sistema es compatible determinado. Tiene como única solución (−2, 1, 3), que también es solución del

sistema I.

Sin embargo, el sistema I tiene, además de (−2, 1, 3), infinitas soluciones más, es compatible indeterminado. Por

tanto, los dos sistemas no son equivalentes.

b) Para que sea incompatible, debemos añadir una ecuación de la forma:

a ( x − 3 y + 4 z )+ b ( 3 x + 2 z ) = k , con k  7 a